代數數論（algebraic number theory）是數論的一個分支。它利用代數工具來研究數論問題，研究對象是代數數域和代數整數，其中代數數域為有理數域的有限擴域。
數論大約有3000年的歷史，而代數數論的建立是從19世紀德國約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚?/a>（Gauss）出版的《算術研究》一書開始的。他開創了同余理論的研究，通過引入復整數的概念開辟了代數數論這一新的數論分支。另一位德國數學家庫默爾（Kummer）對于學科的貢獻主要在于費馬大定理證明的推進，他開始了理想數理論的研究，平息了當時的爭議。戴德金（Dedekind）在庫默爾理論的基礎上，用抽象和代數化的方式講述數論，同時避免了大量的具體計算，其1877年所寫的《代數整數論》一書奠定了經典代數數論的基礎。1920年，日本數學家高木貞治（Takagi Teiji）創建了類域論，他的證明綜合采用了代數方法和解析方法。1933年，謝瓦萊（Chevalley）擺脫了埃米爾·阿廷（Artin）的解析方法，將類域論推廣至有限域及局部域，為局部類域論的建立創造了條件。20世紀40年代開始，復雜的猜想接連被攻破。安德烈·韋伊（A.Weil）用代數幾何的方法證明了函數域上類似的黎曼猜想。后來，人們相繼驗證了高維韋伊猜想、二維的朗蘭茲局部猜想以及莫德爾猜想。1994年，安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）在經歷了一番波折后終于實現了費馬大定理的證明。
代數數論的分支有類域論以及算數代數幾何，其研究可采用解析方法。該學科的基本理論包括理想的分解、理想類群、p進數域、戴德金Zeta函數、單位群以及局部數域。其中，理想數理論為著名費馬大定理的證明做出了貢獻。此外，代數數論的理論與成果在現實世界中應用廣泛，如在通信工程領域，把信息編成二元域集合中的元素組，可以幫助檢查與糾錯，提升傳輸的準確性。
學科簡介
代數數論是數論的一個分支，它通過代數工具解決數論問題，研究工具復雜而深刻，屬于高等數論的范疇。該學科傾向于從代數結構的角度研究各類整環的性質，其中代數結構是指具備一個以上運算的非空集合，以群、環、域為代表。
代數數論的研究對象是代數數域和代數整數。代數數論將“數”的概念進行延伸，代數數域是有理數域的有限擴張。而將整數拓展到代數方程的根，可以得到代數整數的概念，它是指最高次項系數為1的整系數多項式的根。像不定方程求解這樣的整數問題，都依賴于代數整數的研究。
歷史
古代
數與自然數的概念在文字發明之前就已經產生。隨著社會生產力的發展，較大整數的計數方法以及數的運算方式被發現，?人們開始探討整數的各種性質和方程（組）的整數解（和有理數解）問題，數論由此產生，古代中國、古印度、四大文明古國都對方程的解進行了早期探索，該方程的解稱為畢達哥拉斯數。而在西方，古希臘數學家歐幾里得（Euclid）的名著《幾何原本》共13卷，其中有3卷講述數論，書中闡述了初等數論的基石——算術基本定理，證明了素數有無限多個。同一時期，丟番圖（Diophantus）發表《算術》一書，研究了三百多個數論問題，列舉了尋求一次和二次方程（組）有理數解和整數解的各種方法。
在歐洲文藝復興時代，數學也得到復興和發展，但主要是基于天文、航海、建筑和繪畫等需要的畫法幾何學，數論的進展緩慢。17、18世紀的數論中心在法國，當時的數論學家除了萊昂哈德·歐拉（Euler）之外，幾乎都是法國人，如阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Legendre）、約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）、皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Laplace）、皮耶·德·費瑪（Fermat）等。1637年，費馬在閱讀丟番圖《算術》一書時提出了一個猜想。后來，他又提出了許多猜想，引起了長城歐拉的興趣，歐拉對這些問題的解決付出了多年的努力。
近代
近代以來，代數數論的建立是從gaussian（Gauss）出版《算術研究》一書開始的。他在書中首先引入了同余記號，系統性地給出了關于同余式的算術運算法則，并證明了多項式同余式的基本定理。高斯在證明二次互反律之后，開始研究高次同余式的反轉定律，1820年前后，他為討論雙二次剩余和三次剩余理論，引入了“高斯整數”的概念，并給出了證明，但并未發表。后來，卡爾·雅可比（Jacobi）、高斯的學生艾森斯坦（F.G.Eisenstein）等人發展完善了他的理論。高斯通過建立復整數理論奠定了代數數論的基礎，系統化并擴展了型的理論以及關于素數定理的研究。
另一位德國數學家庫默爾（Kummer）對于代數數論的貢獻主要在于費馬大定理證明的推進。阿德利昂·瑪利·?！だ兆尩?/a>（Legendre）和狄里赫利（P. Dirichlet）分別于1825年和1828年獨立地證明了的情形，萊姆（Lamé）又證明了的情形，并且在巴黎科學院的學術例會上宣布他證明了皮耶·德·費瑪猜想。由于他們的證明原則上要使用環和的唯一因子分解性，奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）對這些證明產生了質疑，認為對于某些，可能不是唯一分解整環。1844年，庫默爾（Kummer）開始了理想數理論的研究，他以為在所引進的那類代數數中唯一因子分解定理成立，但狄利克雷（Dirichlet）告訴他這是錯誤的。于是，他想到借助于“理想數”這一概念可使得唯一因子分解定理成立，證明了費馬大定理的特殊情形，平息了當時的爭論。
戴德金（Dedekind）對于代數數論的發展也功不可沒，19世紀70年代，他把高斯和庫默爾對于二次域和分圓域所作的研究加以一般化和代數化。與之前學者不同的是，戴德金把他建立的理想論用于數論，用抽象和代數化的方式講述數論，并且避免了大量的具體計算。除數論之外，戴德金的工作也是代數發展的一個轉折點。他在建立代數化的數論時，也建立了抽象代數的主要框架：域、環、模和向量空間，這些代數結構和埃瓦里斯特·伽羅瓦（Galois）的群論一起，形成了抽象代數的核心。其在1877年所著《代數整數論》一書奠定了經典代數數論的基礎，并且提出了很多近世代數的術語概念。在1880年左右，克羅內克（L.Kronecker）通過對給定域添加未知量而引入模系的概念重新奠定了代數數域的數論基礎。這樣，在19世紀就有了一系列數域，包括有理數域、實數域、復數域、代數數域以及一個或多個變數的有理函數域等。
19世紀代數數論的發展被戴維·希爾伯特（Hilbert）的成就推向又一高峰。在1893—1898年期間，他主要從事代數數域理論的研究。1893年，德國數學會要求他和赫爾曼·閔可夫斯基（H.Minkowski）在兩年內提交一份關于數論的報告。希爾伯特在報告《代數數域理論》中講述了他本人對于代數數論的研究，該報告花很大篇幅講述庫默爾擴張的種（genus）理論，發明了冪剩余符號和局部希爾伯特符號來表達“明顯”的互反律。他對于克羅內克—韋伯（Kronecker-Weber）定理給出了證明。基于對相對二次擴張的深刻研究，在報告中戴維·希爾伯特也對于尼爾斯·亨利克·阿貝爾擴張的各種性質進行了猜測，這些猜測在20世紀初期得到確認，也推動了類域論的建立。
1920年，日本數學家高木貞治（Takagi Teiji）創建了類域論，其證明綜合采用了代數方法和解析方法。1927年，埃米爾·阿廷（Emil Artin）引入了阿廷映射，對類域論的敘述方式進行了改造，證明了一般互反律，從而完成了喬治·阿貝爾類域論的理論。后來，一些學者對類域論進行了更加深入的推廣研究。希爾伯特第11問題是在研究任意數域上的多變量二次型方程的解，對于這個問題，德國數學家哈瑟（Hasse）于20世紀30年代給出了答案，并由此創造了數論中一種新的研究方法，即局部—整體原則。1933年，謝瓦萊（Chevalley）擺脫了埃米爾·阿廷的解析方法，將類域論推廣至有限域及局部域，奠定了局部類域論的基礎。3年后，他引入了理想元的概念，并提到借助該概念可能完成類域論的形式化。1940年，謝瓦萊將理想元改造為伊代爾（idèle），并完成了類域論的算術化工作。借助伊代爾，他通過局部類域論得到了和全局類域論相同的結果，這也被譽為第一個“從局部過渡到整體”的明確實例。此后，伊代爾概念成為了代數數論的基本概念。
戴維·希爾伯特第8個問題是：有理數域和有理整數環上的數論問題（如黎曼猜想等）能否推廣到任意數域和它的整數環上。1940年，安德烈·韋伊（A.Weil）在美國研讀了高斯的兩篇文章，研究有限域上皮耶·德·費瑪曲線和埃米爾·阿廷—施賴埃爾（Artin-Schreier）曲線的函數域，用高斯和計算出這些函數域的函數。基于此，韋伊（A.Weil）提出猜想，該猜想正是黎曼猜想在函數域上的模擬。為了證明這個猜想，韋伊（A.Weil）在1946年專門寫了一本書——《代數幾何原理》。1948年，他用代數幾何方法完成了證明，并對某些高維代數簇在有限域上的點數作了具體的計算，同時在拓撲學的啟發下提出了高維代數簇的函數零點猜想。
現代
1967年，安德烈·韋伊（A.Weil）寫了《基礎數論》一書。這本書討論了代數數論在1967年以前30年的發展，也就是局部緊群和其上的測度與積分在代數數論研究中所起的作用。書中，韋伊（A.Weil）對代數數論和類域論采取了全新的觀點和處理方法，成為了后人從事代數數論研究的樣板。同年，美國數學家朗蘭茲（Langlands）以一系列猜想的形式提出了朗蘭茲綱領。這些猜想的本質是試圖發現復的和p-進李群的無窮維表示理論、調和分析、代數幾何與數論之間的深層聯系，其對于純粹數學的一個廣闊的領域表達出一種普遍而富有哲理的觀點，因此被人們稱之為朗蘭茲哲學。
1973年，數學家弗拉基米爾·德林費爾德（V.G.Drinfeld）證明了高維韋伊猜想。1974—1977年，他又在函數域上研究一種新型的模結構，稱之為“橢圓?！?，后人把這種模結構推廣到高維，統稱為德林費爾德模。后來，德林費爾德又在1978年和1988年分別證明了二維的朗蘭茲局部猜想以及帕特森（Petersson）猜想。1983年，德國青年法爾廷斯（Gerd Faltings）證明了莫德爾猜想。他首先證明了J.H.泰勒（Tate）猜想，然后由泰勒猜想再推出關于尼爾斯·亨利克·阿貝爾簇的沙法列維奇（Shafarevich）猜想，由此也就證明了關于曲線的沙法列維奇猜想和莫德爾猜想，他使用的方法本質上是皮耶·德·費瑪發明的無窮下降法。
1993年，安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）吸收了梅祖爾文章中的思想后，部分解決了TSW猜想并證明了費馬猜想，他于1993年6月在劍橋大學有200多名世界數學家參加的大會上，宣布了他的證明。但是，到了11月，他的導師指出其證明的漏洞。12月，懷爾斯承認存在問題，但表示會很快克服，并約請自己的學生泰勒（Taylor)??共同研究。直到1994年9月19日，他最終正確證明了費馬猜想。次年5月，懷爾斯的論文《模橢圓曲線與費馬大定理》發表在《數學年刊》上。
代數數論分支
類域論
簡介：類域論是代數數論的重要分支。代數數域是有理數域上的有限次代數擴張，比如說添加一個次不可約整系數方程的根。對于一個固定的代數數域，可以考慮它的正規擴張域，每一個對應一個伽羅瓦群。假如伽羅瓦群是交換群（阿貝爾群），這個擴張就被稱為阿貝爾擴張。類域論就是研究怎樣用的元素來描述的所有尼爾斯·亨利克·阿貝爾擴張的問題。
研究成果：類域論經歷了產生、發展、建立、簡化和推廣等階段。其主要成果包括：戴維·希爾伯特對阿貝爾擴張有了自己的理解，提出了“相對阿貝爾擴張”等一系列猜想；富特溫勒揭示了希爾伯特第9問題和第12問題之間存在聯系；高木貞治重新定義了類域的概念；謝瓦萊使用了局部—整體原則，借助伊代爾的概念將類域論完全算術化。此后，類域論可進一步擴展至函數域和非阿貝爾擴張，維特證明了函數域上的類域存在定理，蘭利用代數幾何的方法發展了有限域上函數域的類域論。
算數代數幾何
簡介：算術代數幾何是將代數幾何學和代數數論交織在一起形成的交叉性分支。德國數學家菲利克斯·克萊因（F. Klein）認為，幾何學是研究某些對象在某個群作用下不變量的理論，代數幾何學是研究域上代數方程組解的性質。具體來說，代數幾何學研究的對象是代數方程零點的集合，從直觀上講，它們是平面的代數曲線、空間的代數曲線和代數曲面。在任意維數的（仿射或射影）空間中，由若干個代數方程的公共零點所構成的集合通常叫做代數簇。隨著數學的發展，人們對高維空間的認知需求越來越明顯，對高維代數簇的研究也不可避免。
研究成果：當經典的代數幾何邏輯基礎問題被徹底解決后，代數幾何學取得巨大進展。函數域不僅是數論對象，也是幾何對象（它是代數曲線的函數域），所以數學家希望對函數域算術性質的研究能得到代數幾何學的結果。人們經過20世紀前30年的實例考查，終于在40年代得到重大成果。皮埃爾·德利涅證明了數論中的安德烈·韋伊猜想；法爾廷斯證明了莫德爾猜想；安德魯·懷爾斯證明了著名的費馬大定理；吳寶珠證明了朗蘭茲綱領中的基本引理。
基本方法
解析方法
數論中的解析方法以函數論為工具來研究數論問題，它主要包括：伯恩哈德·黎曼函數與狄里赫利函數的理論、復變積分法以及指數和即三角和的方法等。對每個代數數域，戴德金構作了一個函數，當的實數部分大于時，定義它的級數收斂并且有無窮乘積展開，它也可以解析開拓成整個復平面上的亞純函數，并且有函數方程把和聯系起來。的各種解析特性可以反映代數數域和它的整數環的代數和數論性質，所以解析方法也是代數數論的重要研究手段。
基本理論
理想的分解
整數域中，算數基本定理成立，即每個大于的整數一定可以唯一地（在不計次序的意義下）表示為素數的乘積。但是代數數域中，這個定理不一定成立。代數數域的整數環是戴德金環，其理想可以分解為素理想的乘積。
戴德金整環的定義：環是戴德金環（Dedekind），如果
（1）是整環。
（2）是整閉環。
（3）是諾特環（Noether）。
（4）所有非零素理想是極大理想。
理想類群
定義
設為數域，稱整數環內的理想為整理想。稱內非零有限生成子模為的分式理想。設。定義分式理想的乘積為。記為的分式理想群，則為的子群，稱的元素為主理想。以記商群，并稱它為的理想類群。
性質
理想類數的定義：的全體理想類組成一個有限乘法群，以或表示這個群的元素的個數，稱為代數數域（或代數整數環）的類數。
性質：理想類群是有限的。
證明：引入定理：對于的的每個理想類，必有，使得
（5.2.1）
該定理可以推出理想類數有限性的證明，在中滿足式（5.2.1）的理想只有有限個，所以理想類也只能有有限個。
理想類群的另一種定義：設為數域，為的分式理想群，為的模。由全部的素理想所生成的子群記為。定義
，
稱為模射線。稱商群為模射線理想類群，也稱模射線類群或模理想類群，它的元素為模射線類。
類域論基本定理：設為有限交換數域擴張。則存在的模和交換群同構
。
判別式
通過嵌入的方式可以將數域中的理想看成向量空間中的格，證明類數公式。
設。考慮維向量空間的幾個性質。
（1）通過嵌入，把的理想看成向量空間的格。
（2）利用對函數定義，通過把的單位群看成向量空間內超平面的格。
（3）決定理想類內范數的主理想個數的漸進公式，并證明類數公式。
p進數域
定義：在有理數域中有絕對值，即對，如果，取，否則取。還有另一個辦法，設整數為素數，從整數唯一分解性質知：任一唯一決定整數使可表達為
。
這時定義及?？梢宰C明亦有絕對值同樣的性質。
對每一個素數可以構造一個域，它的元素是：
，
戴德金Zeta函數
定義：對于數域，有一個自然環，叫作的整數環。它是由中滿足上首項系數為的方程的根所組成，高斯引理說明。用素理想定義，可以將進賦值概念擴充到上。同時，也可以推廣為上所有的非平凡賦值都是進賦值。進一步，還可以驗證，雖然遠比大，但確有恒等式，所以定義，可以定義數域的戴德金函數如下：
，
乘積是對的所有非零素理想實行的。這里伯恩哈德·黎曼函數與是重合的。
單位群
狄利克雷單位定理：設是次代數數域，且有成立。那么，必有個單位數是獨立的。
該定理提供了乘法群單位結構的描述：
狄利克雷—赫爾曼·閔可夫斯基單位定理：單位群必有一組基，基中是單位根群的生成元素，是一組獨立的單位，使得每個必可表示
，
這里是唯一確定的，是模唯一確定的。
局部數域
定義：如果特征為的完備離散賦值域的剩余域有限，則稱為局部數域。
擴張：設是局部數域，剩余域有個元素，則有循環子群有個元素，投射限制至為雙射。有元素使得是內其階與互質的單位根集。
局部域上的擴張為無分歧的擴張：設有限擴張是由階與互素的單位根集生成的，則是無分歧循環擴張。
相關猜想
費馬大定理
定理內容：費馬大定理是皮耶·德·費瑪（Fermat）以注釋的形式提出的定理，該注釋寫在他所抄的丟番圖所著的古希臘《算術》一書的頁邊空白處。在筆記中，費馬聲稱：丟番圖方程沒有非零解。方程可表示為：
，
其中和是整數，費馬大定理表述的是時的情況。在該定理中，限制是必要的，因為有許多基本公式可以生成滿足方程的無限多個畢達哥拉斯三元組，即，只有當時，。
證明：該定理的證明與代數數論的發展進程有關，庫默爾意識到唯一因子分解成立是解決猜想的關鍵，他證明了對以內除以外的所有奇數，費馬大定理都成立，取得了第一次重大突破。借助于數形結合的方法，費馬大定理可轉換為證明曲線沒有坐標非零的有理點。后來，安德魯·懷爾斯以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題幾乎證明了費馬大定理。經過1年多的修補，他發表了長文《模形橢圓曲線和費馬大定理》和一篇短文，最終完成了該猜想360年的求證之旅。
應用
密碼學
代數數論中的素數分解、離散對數等問題被廣泛應用于密碼學中。例如，RSA算法是一種公鑰密碼體制，其理論基礎是尋找大素數容易，而分解兩個大素數的積在計算上不可行。其安全性建立在素數分解的基礎上，屬于分組密碼類型，多用在數字簽名、密鑰管理和認證等方面。又如，ElGamal算法是另一種公鑰密碼體制，其安全性基于有限域上計算離散對數問題的困難性。但是，為了使這種公鑰密碼算法具有足夠的密碼強度，一般要求模數的長度在150位以上。
物理學
準晶是內部結構介于晶體和非晶體之間的一種新狀態，它的內部結構具有長程有序性，但不具有晶體結構的平移周期性。對于準晶結構的探索，很多方法針對不同的物理性質會提出不同的模型。而基于代數數論的思想可知，不論準晶結構是由什么方法構造出來的，其在適當建立的坐標系下，都具有實二次代數數的坐標表示，從而得到在實二次數域上只可能存在具有5，8，10，12次對稱的準晶。由此，還可以得到，在全實代數數域上還可能存在很多不同對稱性的準晶。
工程學
在工程學領域，代數數域的研究對象和方法也經常出現?，F代通訊時代，各種具體信息（電報、電話、圖像、數據等）都要編成數字符號進行傳輸，每個信息編成某有限集合元素的一個元素組。其中二次域較為常見，也常把集合取成有限域，因為它可做四則運算。例如，有8個信息在二次域上被編成代碼傳輸，在傳輸中可能出現錯誤。為了使通信有檢查和糾錯能力，一個簡單的辦法是把每個碼重復三次編成再傳出，有意義的信號就組成向量空間中一個8元子集合。發出信息之后，若在信道中出兩個錯，就可以檢兩個錯；如果出一個錯，就可以直接把錯糾正過來。
參考資料 >
代數數論.術語在線.2024-04-24