群論（Group Theory）是代數(shù)的學(xué)科分支，它的研究對象主要是群的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)。群是群論的核心概念，其被定義為：給定非空集合G，定義G上的代數(shù)運(yùn)算“·”，其通常被稱為乘法，若滿足結(jié)合律，存在單位元和逆元素，稱集合G在該代數(shù)運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，簡稱G為一個(gè)群。群具有單位元e唯一、逆元唯一以及滿足消去律等性質(zhì)，群包括置換群、循環(huán)群、對稱群、二面體群、矩陣群等。
群論的歷史可追溯至19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家（évariste Galois）為解決四次以上方程的根提出了“置換群”的概念，標(biāo)志著群論的建立。后來，法國數(shù)學(xué)家卡米爾·若爾當(dāng)（Jordan）給出了群論的基本，學(xué)科的發(fā)展日趨成熟。19世紀(jì)后半葉以來，克萊因等人將群論與幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)相結(jié)合，形成了許多新的學(xué)科。現(xiàn)在，群論分支主要有有限群論、李群論、群表示論以及幾何群論。
群論的知識在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、密碼學(xué)等領(lǐng)域都具有廣泛應(yīng)用，例如，一些晶體結(jié)構(gòu)可以通過群的對稱性進(jìn)行研究。
歷史
早期研究
在19世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)界在代數(shù)方程的理論問題方面已能解決三次和四次方程的求解問題，但對一般五次方程的根式求解問題，數(shù)學(xué)家們總是無法找到求解公式。1828年，伽羅瓦也開始著力尋找五次和五次以上方程的一般根式解。
為了研究方程的可解條件，伽羅瓦在1830年至1831年1年間三次向法國科學(xué)院投遞題為“論方程根式可解的條件”的論文，但三次投遞論文都沒能得到回應(yīng)與認(rèn)可，伽羅瓦于1832年逝世，在其逝世14年后的1846年，人們才將伽羅瓦所未能投遞的稿子整理成兩篇論文發(fā)表，其中的理論被數(shù)學(xué)界視為“伽羅瓦理論”。伽羅瓦建立了方程的根的“容許”置換，提出了“置換群”的概念，得到代數(shù)方程用根式解的充要條件是置換群的自同構(gòu)群可解，這一結(jié)論標(biāo)志著群論的建立。
基本定理的確立
1846年，法國數(shù)學(xué)家J·劉維爾（J.Liouville）出版兩部手稿，進(jìn)一步向大眾推廣群論。1852年，比薩大學(xué)的數(shù)學(xué)家恩里科·貝蒂（Enrico Betti）在托爾托利尼（Tortolini）的《編年史》（Annal）上首次發(fā)表了對伽羅瓦方程理論的論述，使群論更容易被大眾所理解。在此后，數(shù)學(xué)家塞雷（Sere）在《代數(shù)學(xué)》第三版教材書中給出了關(guān)于群論的第一個(gè)計(jì)算。
1854年，英國數(shù)學(xué)家阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）在《哲學(xué)雜志》（Philosophical Magazin）中發(fā)表了論文“論群論”，開創(chuàng)了群的抽象概念，但當(dāng)時(shí)凱萊并未對抽象群給出正式定義，直至后來，由德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Kronecker，1870年）、H.韋伯（H. Weber，1882年）和F.G.弗羅貝尼烏斯（Frobenius，1887年）才給出正式的抽象群的定義，完成群論中置換群到抽象群的過渡。
1858年，法國研究所為群論的研究設(shè)置了一個(gè)獎項(xiàng)，促進(jìn)了群論的研究，其中包括南希大學(xué)數(shù)學(xué)家埃米爾·倫納德·馬修（Enlile Leonard Mathieu）和巴黎理工學(xué)院數(shù)學(xué)家卡米爾·喬丹（Camille Jordan）分別在1859年和1860年撰寫的有關(guān)替代群的論文。此后，法國數(shù)學(xué)家卡米爾·若爾當(dāng)（Jordan）給出了群論的基本定理，即n字母與每一個(gè)在同一個(gè)字母上的固定組G構(gòu)成一組的替換總數(shù)是可交換的，此外，若爾當(dāng)還提出替代群的概念，并論證了其組成要素的穩(wěn)定性。
與其他學(xué)科相聯(lián)系
1872年，德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因在埃爾朗根大學(xué)發(fā)表了題為“近世幾何學(xué)研究的比較評論”的報(bào)告，首次提出將置換群與幾何學(xué)相聯(lián)系，給予幾何學(xué)新的定義。1873年，挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李（Sophus Lie）提出了置換群論，其將有限連續(xù)群應(yīng)用在無窮小變換中。
1882年至1883年間，迪克（W.vondyck）把上述工作納入抽象群的概念當(dāng)中，建立了（抽象）群的概念。至19世紀(jì)80年代，數(shù)學(xué)家們才成功建立了抽象群論的公理體系。至20世紀(jì)80年代，群的概念已經(jīng)普遍地被認(rèn)為是數(shù)學(xué)及其許多應(yīng)用中最基本的概念之一，它不但滲透諸如幾何學(xué)、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學(xué)分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學(xué)科如拓?fù)淙骸⒗钊骸⒋鷶?shù)群等，它們還具有與群結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的其他結(jié)構(gòu)，如拓?fù)洹⒔馕?a href="/hebeideji/905071831403521307.html">流形、代數(shù)簇等，并在結(jié)晶學(xué)、理論物理、量子化學(xué)、編碼學(xué)、自動機(jī)理論等方面都有重要作用。
群的基本概念
定義
給定非空集合，定義上的代數(shù)運(yùn)算，其通常被稱為乘法，若滿足以下三個(gè)條件，則稱集合在運(yùn)算“”下構(gòu)成一個(gè)群，簡稱為一個(gè)群：
(1) 結(jié)合律，；
(2) 單位元：存在，對任意，有；
(3) 逆元素：對任意，存在，使得，稱為的逆元素，記作；
群的運(yùn)算符“”可略去，即。
群的運(yùn)算并不要求滿足交換律，如果某個(gè)群中的代數(shù)運(yùn)算滿足交換律，則稱為交換群（阿貝爾群）。
群的運(yùn)算也可能為加法，記作，此時(shí)結(jié)合律為，；單元元素稱為零元素，記成，的逆元素稱為的負(fù)元素，記成。
群的元素可以是有限個(gè)，即有限群。也可以是無限個(gè)，稱為無限群。以表示有限群中元素的個(gè)數(shù)，稱為群的階，當(dāng)為無限群時(shí)，可以認(rèn)為=。
性質(zhì)
群具有以下的性質(zhì)：
（1）單位元唯一；
（2）逆元唯一；
（3）滿足消去律：即對，若，則；若，則仍有；
（4），則，更一般有;
（5）若是有限群，則對任意，必存在一個(gè)最小常數(shù)，使得，從而，稱為元素的階。
子群與陪集
群的非空子集如果對于的運(yùn)算也成一個(gè)群，則稱為的子群。可簡記為""。
設(shè)是的子群，是中的任意元素，則集合稱為子群在中關(guān)于的右陪集。類似地，子群在中關(guān)于的左陪集可定義為。
群同態(tài)與同構(gòu)
設(shè)和是兩個(gè)群，如果到有一個(gè)映射，使得對于中任意兩個(gè)元素都有，則稱是群到的一個(gè)同態(tài)映射，簡稱為“同態(tài)”。如果到有一個(gè)雙射，使得對于中任意兩個(gè)元素都有，則稱群與 是同構(gòu)的，記為,稱是到的一個(gè)同構(gòu)映射，簡稱為同構(gòu)。
常見的群
置換群
給定一個(gè)非空集合，記所有的可逆映射的集合為，上的運(yùn)算為映射的復(fù)合“”，即設(shè)，則，定義為：,。
其中，構(gòu)成一個(gè)群，它的單位元是恒等映射，而每個(gè)映射的逆元便是它的逆映射，此時(shí)這個(gè)群稱為的置換群。
循環(huán)群
設(shè)是群，若，使得，都有（為整數(shù)），則稱是循環(huán)群，其中是這個(gè)循環(huán)群的生成元，并記為 。
對稱群
對于非空集合到自身的所有雙射組成的集合，將映射的乘法所成的一個(gè)群稱之為集合的全變換群，記作。進(jìn)一步地，當(dāng)為有限集合時(shí)，到自身的一個(gè)雙射叫做的一個(gè)置換，設(shè)有個(gè)元素，設(shè)，這時(shí)稱的全變換群為元對稱群，記作。例如，3元多項(xiàng)式：。
二面體群
二面體群，記為，定義為一個(gè)正邊形的置換群，其包含有個(gè)元素，主要是通過正邊形的翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)得到。具體而言，即，其中為繞過一條邊以及其中心的連線的翻轉(zhuǎn)，為繞其中心軸順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)變換。
矩陣群
對于群，若對該群中的每一個(gè)元素，都有一個(gè)與其對應(yīng)的方陣，且對于群中的任意兩個(gè)元素及，都有，則方陣即為矩陣群，是為群的矩陣表示，其中矩陣群的階數(shù)稱為群的維數(shù)。
李群
設(shè)集合滿足以下性質(zhì)：
（1）是一個(gè)群；
（2）是一個(gè)維微分流形；
（3）群的乘法和逆運(yùn)算都是映射。
則可稱集合為一個(gè)維李群，其中。
群論分支
有限群論
有限群論是在由弗羅貝尼烏斯于19世紀(jì)末20世紀(jì)初所創(chuàng)立的理論，是群論中最系統(tǒng)、最本質(zhì)的部分。有限群論的主要研究對象是有限群的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)以及分類。簡單地說，一個(gè)元素有限的群即被稱為有限群。例如，上文中提到的的置換群就是一種常見的有限群。
李群論
李群論是群論的一個(gè)重要分支，由挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李開創(chuàng)。李群論主要應(yīng)用于微分方程領(lǐng)域，索菲斯·李將連續(xù)變換群應(yīng)用到微分方程當(dāng)中，并對李群在常微分方程的應(yīng)用做了全面系統(tǒng)的概述，此后索菲斯·李還將群方法應(yīng)用至偏微分方程。1969年，G. W. 布魯曼（George W. Bluman）和朱利安·D·科爾（Cole J D.）在對熱傳導(dǎo)方程的研究當(dāng)中推廣了李群方法，形成了現(xiàn)今的非經(jīng)典李群方法。李群論是抽象微分流形的最重要代表，它既是代數(shù)群，同時(shí)也是微分流形。
群表示論
群論中的群是一個(gè)相對抽象的數(shù)學(xué)概念，因此在實(shí)際應(yīng)用中需要用比較熟悉的數(shù)學(xué)對象矩陣來實(shí)現(xiàn)群論，或是將其表示出來。例如，在拓?fù)浯鷶?shù)領(lǐng)域，一個(gè)拓?fù)淙旱搅硪粋€(gè)拓?fù)淙旱倪B續(xù)同態(tài)映象稱為在里的一個(gè)表示，如果取為具有復(fù)系數(shù)的所有次非奇異矩陣所組成的群，則此表示就稱為次線性表示。
幾何群論
幾何群論出現(xiàn)于20世紀(jì)80年代末和90年代初，其主要應(yīng)用于研究立方體等三維對象，并試圖將每一個(gè)群都視為幾何對象，將幾何與代數(shù)相關(guān)聯(lián)。例如，將群的對稱性與幾何理論相結(jié)合的凱萊圖，數(shù)學(xué)家利用其來研究某個(gè)群在幾何層面的性質(zhì)。此外，上文中提到的二面體群也是幾何群論的研究對象之一。
應(yīng)用
數(shù)學(xué)
組合學(xué)
對于幾何學(xué)中復(fù)雜的空間物體，為求解其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，計(jì)算在某種同構(gòu)意義下不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或組合結(jié)構(gòu)，這是組合學(xué)中的計(jì)數(shù)問題，基于組合數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)的密切關(guān)系，數(shù)學(xué)家將群論引入組合學(xué)以解決相關(guān)的問題，其中比較重要的是圖論里的應(yīng)用。
在圖論當(dāng)中，群有著以下的作用：設(shè)為一個(gè)有向圖，為一個(gè)作用于上的群，通過定義，可拓展至上，我們稱群保持圖的鄰接關(guān)系或結(jié)構(gòu)，若。因此群在上的作用便是拓展到的邊集上，上所有的保持圖的鄰接關(guān)系的置換構(gòu)成一個(gè)群，它稱為圖的自同構(gòu)群，記為。
拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)?a href="/hebeideji/7231888461610483712.html">代數(shù)的研究是以群論、環(huán)論和域論等抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的。其中，元素組成一個(gè)滿足分離公理的拓?fù)淇臻g，并且其乘法及求逆元素的運(yùn)算是連續(xù)的抽象群被稱為拓?fù)淙骸?/p>
物理
晶體學(xué)
晶體學(xué)當(dāng)中的點(diǎn)群和空間群都是群論中的群，而晶體學(xué)的點(diǎn)群和空間群都符合群的基本規(guī)律。晶體學(xué)中的各種對稱操作可以用矩陣來描述其坐標(biāo)變換。晶體結(jié)構(gòu)中可能具有的對稱動作群有230種，稱為晶體學(xué)空間群；與晶體理想外形和宏觀物理性質(zhì)相對應(yīng)的對稱類型有32種，稱為晶體學(xué)點(diǎn)群；與晶體衍射對稱類型對應(yīng)的有11種，稱為勞厄群。
量子力學(xué)
量子力學(xué)的發(fā)展使得線性變換和群論工具有了大規(guī)模應(yīng)用的可能，科學(xué)家也因此發(fā)展了關(guān)于對稱性問題，以及針對群的表示理論的展開研究。在對稱性的研究中，科學(xué)家可以根據(jù)某體系的點(diǎn)群種類及已有的特征表得知該體系擁有什么樣的不可約表示，并且可以不經(jīng)過計(jì)算便知道該體系一共有幾個(gè)單態(tài)和幾個(gè)簡并態(tài)，這在量子力學(xué)中為電子態(tài)進(jìn)行分類的知識相當(dāng)重要。在此基礎(chǔ)上，科學(xué)家可再根據(jù)實(shí)驗(yàn)去定出不同能級之間距離的大小，從而得出體系的能譜。
化學(xué)
在化學(xué)領(lǐng)域，涉及運(yùn)用量子力學(xué)求解薛定諤方程時(shí)，須面對算符、能級、波函數(shù)以及矩陣元的計(jì)算問題，從群論的角度出發(fā)，這些問題都與分子的對稱性有關(guān)，通過對分子對稱性的分析，可以繞過求解薛定諤方程，不經(jīng)過計(jì)算便得到分子和對稱性有關(guān)的性質(zhì)，簡化問題。
此外，群論是材料學(xué)中對分子和材料的微觀結(jié)構(gòu)研究必不可少的數(shù)學(xué)工具，其能夠?qū)⒎肿涌陀^存在的對稱性和分子的某些物理性質(zhì)相聯(lián)系。化學(xué)分子具有一定的對稱性，伴隨著若干對稱操作，具有某種對稱性的分子具有旋轉(zhuǎn)、反映、象轉(zhuǎn)、反演和旋轉(zhuǎn)反演等對稱操作，通過群論能夠?qū)ζ湟詳?shù)學(xué)語言的形式表示出來。
網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)
在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中，網(wǎng)絡(luò)對高度對稱性有一定要求，而通過群論方法構(gòu)造的可遷圖正好能滿足這個(gè)要求，這種方法在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用。以點(diǎn)可遷的凱萊圖（即Caylay圖）為例，通過群可構(gòu)造出循環(huán)圖、超立方體等凱萊圖，基于交錯(cuò)群，還可構(gòu)造出交錯(cuò)群網(wǎng)絡(luò)和交錯(cuò)群圖等凱萊圖。
密碼學(xué)
群論等抽象數(shù)學(xué)理論是現(xiàn)代密碼學(xué)的基礎(chǔ)，密碼學(xué)以群為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了群冪作為基本運(yùn)算方法，此外還有包括平方-乘算法、m-ary算法、滑動窗口法、Montgomery法等也是相關(guān)的改進(jìn)算法，其中Montgomery階梯算法改進(jìn)了計(jì)算過程，以抵御側(cè)信道攻擊。
參考資料 >
Chapter4Grouptheory.UCL.2023-12-04
1 - Arthur Cayley and the First Paper on Group Theory.cambridge.2023-12-02
My hero: Evariste Galois by Andrew Miller | Books | .The Guardian.2023-12-20
The General Similarity Solution of the Heat Equation on JSTOR.jstor.2023-12-15