偏微分方程（Partial Differential 方程）是方程論的基本概念之一，其定義為：如果微分方程中的未知函數是多元函數，未知函數的偏導數是偏導數，則稱其為偏微分方程。
偏微分方程起源于微積分理論形成后不久，18世紀初，學者們開始結合物理問題研究數學方程。瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1734年提出了一種特殊的偏微分方程——弦振動的二階方程。后來，法國數學家讓·達朗貝爾（d’Alembert）明確推導了弦振動方程，給出了其通解表達式，由此開創了偏微分方程這一學科。1839年，德國數學家杜布瓦—雷蒙（Du Bois-Reymond）引入了偏微分方程的標準分類法。法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）于1848年在他的一系列論文中將階數大于的偏微分方程化為一階偏微分方程組，然后討論了方程組解的存在性。其工作后來被柯瓦列夫斯卡婭（Kovalevskaya）獨立地發展為一般的形式，并被發表在1875年的論文《偏微分方程理論》中。20世紀，該理論進一步取得了飛快的發展，并收獲關注和重視。法國數學家雅克·阿達馬（Hadamard）建立了偏微分方程定解問題適定性的概念，他被譽為二階線性偏微分方程的總結者。2000年，美國克雷數學研究所將流動控制方程解的存在性與光滑性問題確定為千禧年七大數學難題之一。
偏微分方程按歷史發展過程可分為線性、半線性、擬線性和完全非線性四種類型；按方程形式的角度來說，可分為橢圓型、拋物型和雙曲型偏微分方程。偏微分方程的解法主要有解析解法、半解析解法和數值解法三種類型。此外，該概念可廣泛地應用于自然科學和社會科學的各個領域，如物理學中，薛定諤方程可以用于描述量子力學中勢場內的粒子狀態。
定義
一個含有未知函數的導數或微分的等式稱為微分方程。如果微分方程中的未知函數是一元函數，則稱其為常微分方程；相反地，如果未知函數是多元函數，未知函數的導數是偏導數，則稱其為偏微分方程，即偏微分方程是包含未知多元函數偏導數的一個等式。
一般形式：一般地，含有個自變量的偏微分方程可寫成如下的形式：
其中是已知函數，是未知函數，中可以不顯含自變量和未知函數，但是必須含有未知函數的某個偏導數。偏微分方程中出現未知函數偏導數的最高階數稱為方程的階。
發展歷史
起源與創立
偏微分方程起源于微積分理論形成后不久，早在17世紀世紀末期，萊布尼茨（Leibniz）文章的推導過程中就已經出現了偏微分方程。在18世紀初，學者們開始結合物理問題研究偏微分方程，早期引起數學家們興趣的是弦的振動問題。英國數學家泰勒在1713年至1715年導出了一根張緊的振動弦的基頻。瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在30年代開始了對偏微分方程的研究。1734年，他在自己的著作中提出了特殊的偏微分方程——弦振動的二階方程。1743年，法國數學家讓·達朗貝爾（d’Alembert）在《論動力學》一書提出和總結力學中的達朗貝爾原理和虛功原理時，給出了特殊的偏微分方程，但是著作在當時并沒有引起關注。
后來，達朗貝爾在論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，明確推導了弦振動方程，給出其通解的表達式，并提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式，由此開創了偏微分方程這一學科。隨著對萬有引力的研究，1752年，萊昂哈德·歐拉的論文中首次出現了拉普拉斯方程。之后，約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Legendre）對該方程的解進行了深入研究，并引出了勒讓德多項式的概念。1785年，數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Laplace）在發表的論文《球狀物體的引力理論與行星形狀》中引進了標量函數，并推導出所滿足的方程——拉普拉斯方程，它后來被稱為拉普拉斯方程。
歸納與完善
19世紀，隨著物理學科研究的不斷擴展，偏微分方程的重要性逐漸凸顯，它出現了一些新的類型，已有類型的應用范圍也在不斷擴大。1807年，法國數學家傅里葉（Joseph Fourier）向巴黎科學院提交了關于熱傳導方程的論文，并斷言任一函數都能夠展開成三角函數的級數。1822年，他又出版了《熱的解析理論》一書，并指出任意周期函數都可以用正弦函數和余弦函數表示，提出了求解熱傳導方程的變量分離法。但是，這種思想缺乏嚴格的論證。1828年，英國數學家喬治·格林（George Green）在小冊子《關于數學分析應用于電磁學理論的一篇論文》中，引入了位勢概念，把位勢函數的概念移用到電磁學中，他求解位勢方程解的方法與用特殊函數的級數方法相反，稱為奇異點方法。1839年，德國數學家杜布瓦—雷蒙（Du Bois-Reymond）引入了偏微分方程的標準分類法，他將拉普拉斯方程、熱傳導方程、波動方程分別稱為橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程。至此，數學家們逐漸歸納清楚了二階線性偏微分方程的類型。
19世紀中期，數學家們通過對解的存在性問題的討論進一步完善了偏微分方程理論。法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）于1848年在他的一系列論文中將階數大于的偏微分方程化為一階偏微分方程組，然后討論方程組解的存在性，并給出了證明存在性的優函數方法。1864年，數學家詹姆斯·麥克斯韋（Maxwell）在英國物理學家邁克爾·法拉第（Michael Faraday）關于電磁實驗的基礎上提出了麥克斯韋方程組。之后，柯西的工作被俄羅斯數學家柯瓦列夫斯卡婭（Sofia Kovalevskaya）獨立地發展為非常一般的形式，并于1875年發表了論文《偏微分方程理論》，其中有關偏微分方程解的存在唯一性定理后來被稱為柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理。
豐富與發展
20世紀，偏微分方程理論的研究得到了豐富。1990年，數學家戴維·希爾伯特（Hilbert）提出的“23個數學問題”中，有3個問題與偏微分方程有關。而偏微分方程的定解問題在19世紀末已有許多解法，但是其系統理論到20世紀才趨于成熟。法國數學家雅克·阿達馬（Hadamard）在20世紀初建立了偏微分方程定解問題適定性的概念，被譽為二階線性偏微分方程的總結者，而且他還根據二階方程的特征表達式對方程進行了分類。為了研究不同類型方程的共性，雅克·阿達馬還提出了一般方程基本解的概念，該概念成為了偏微分方程理論的基礎。20世紀30年代以來，各種泛函分析方法被應用于偏微分方程的研究，不僅可以討論二階方程，并且發展了高階方程的理論，在一般的一階方程組中也取得了許多成果。
第二次世界大戰之后，偏微分方程理論進一步取得了飛快的發展，并收獲關注和重視。20世紀50年代中期，赫爾曼德爾（Lara Valter H?rmander）、瑪爾格朗日（Bernard Malgrange）與埃倫普里斯（Leon Ehrenpreis）獨立證明了常系數線性偏微分方程的可解性。但是，漢斯·盧伊（Hans Lewy）在1957年舉出了一個簡單的反例，表明無窮次可微系數（甚至多項式系數）的一次方程可能沒有解。1973年，費弗曼（Charles Louis Feferman）給出了非退化線性偏微分方程局部可解性的一個充分必要條件。20世紀末，隨著計算機性能的提高，偏微分方程的數值解法得到了充分的發展和應用，各種數值求解軟件使方程的求解變得簡單快捷。2000年，美國克雷數學研究所將流動控制方程（納維—喬治·斯托克斯方程）解的存在性與光滑性問題確定為千禧年七大數學難題之一。
性質
適定性
定解問題：定解問題是求給定泛定偏微分方程（在某個區域內）并滿足相應定解條件的解的問題。根據不同的定解條件，它一般可分為初值問題、邊值問題和混合問題三類。
適定性：偏微分方程的定解條件是為了確定偏微分方程的解對解函數附加的條件。偏微分方程的適定性是指其定解條件，具體有三個：
（1）解的存在性；
（2）解的唯一性；
（3）解的穩定性。
偏微分方程解的穩定性要求解隨方程系數、邊界條件和分析區域的變化是連續的。只要三者之一得不到滿足時，則建立的偏微分方程不是適定的，不適定的偏微分方程不能合理反映所描述對象的物理本質。一般來說，導致偏微分方程不適定的因素主要有：
（1）解不存在或定解條件過多；
（2）解不唯一或定解條件過少；
（3）定解條件與偏微分方程的型不匹配，或解隨方程系數、邊界條件和分析區域的變化不連續。
例（驗證方程的非適定性）：求解以下給定邊界條件下的二維拉普拉斯方程的解：
解：用分離變量法求解，令
代入方程，利用定解條件可以得到方程的解為
該問題的解存在且唯一，但是其解并不可靠。因為當增大時，解函數將以的速率增大，在時，即使很小很小的，解也趨于。但按邊界條件，。這表明，在時，方程的解不連續，即解不能連續地依賴邊界條件，所提的問題不適定。非適定性的原因在于：問題的控制方程是橢圓型的，必須給定封閉邊界上完整的邊界條件，問題才能適定。問題給定的邊界條件只給了上半平面上的條件，對上半平面的條件并未給定，實際給定的是一個開邊界條件，不符合求解方程的物理本質和數學特征。
局部解的存在性
初值問題：初值問題又稱柯西問題，指只有初始條件無邊界條件的定解問題。它是求滿足偏微分方程及給定初始條件的解的問題，也是由偏微分方程的解在初始時刻的瞬時性態探討它在以后時刻性態的問題。
局部解的存在性：奧古斯丁-路易·柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理是偏微分方程的一個普遍的存在定理。以階線性偏微分方程為例，柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理指對于柯西問題中分別是其復變元在原點附近的解析函數，有唯一的在原點附近解析的解存在。該定理也適用于非線性的，以及方程組的情形。但是，都要求未知函數對的最高階導數已經解出。
相關概念
特征：對于一個偏微分方程，并不是任何曲面都可以作為某個解的弱間斷面，它必須滿足一定條件，稱滿足此條件的曲面為特征曲面，簡稱為特征。
特征超曲面：在一般的階線性偏微分算子上，是多項式，其象征為，主象征為。記為，
相應于以上結果是：對于超曲面有如果一個超曲面
適合，則稱它是的特征超曲面。
特征集的超曲面：如果不是在空間的某區域中討論而是在中討論它，即討論
，
可以給出一個相應的定義：算子的特征集為對于超曲面
其上每一點都有一個法線向量。如果把超曲面上一點與該點的法線向量合起來成為一個接觸元素，那么特征曲面就是其一切接觸元素均屬于特征集的超曲面。
次特征：次特征并非某一區域中的一階偏微分方程。但若考慮相應的一階偏微分方程，則其也有自己的特征，即常微分方程組的積分曲線。這個積分曲線稱為的次特征。
分類
按歷史發展過程分類
按歷史發展過程，偏微分方程分為線性偏微分方程、半線性偏微分方程、擬線性偏微分方程和完全非線性偏微分方程四種類型。
線性偏微分方程
線性偏微分方程指所有未知函數及其偏導數都是線性的偏微分方程，即未知函數及其各階偏導數的最高次數是一次的偏微分方程。一般形式為：
，
其中和是上的已知實函數。例如，波動方程
。
半線性偏微分方程
半線性偏微分方程指含未知函數的偏導數的項都是線性的非線性偏微分方程。它的一般形式為：
，
其中和是上的已知函數，至少有一個不恒等于零，而關于不是線性的。例如，反應擴散方程
。
擬線性偏微分方程
擬線性偏微分方程指未知函數的最高階偏導數是線性的非線性偏微分方程。它的一般形式為：
，
其中和是上的已知函數，至少有一個含有中的項。例如，方程
。
完全非線性偏微分方程
完全非線性偏微分方程指未知函數的最高階偏導數是非線性的非線性偏微分方程，即不能夠寫成上述3種情形之一的偏微分方程。例如，哈密頓—雅可比（Hamilton-Jacobi）方程
，
這里是的非線性函數。
按方程形式角度分類
按方程形式分類，偏微分方程分為橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程和雙曲型偏微分方程3類。
橢圓型偏微分方程
橢圓型偏微分方程簡稱橢圓型方程，廣泛應用于彈性力學中的平衡、滲流理論、勢場論（靜電場和引力場）、穩態溫度場、濃度擴散等物理現象的描述。橢圓型方程的一般形式為：
，
式中，當時表示二維問題，當時表示三維問題；稱為方程的源項，若源項等于零則該方程退化為拉普拉斯方程，若源項不為零則該方程為泊松方程。
拋物型偏微分方程
拋物型偏微分方程簡稱拋物型方程，又稱熱傳導方程，該類型方程和橢圓型方程相比，主要多了一個一階時間項。它廣泛應用于描述多種物態性質的非穩態過程，如非穩態熱傳導、擴散、聲學、電磁學振動等過程。拋物型方程的一般形式為：
。
雙曲型偏微分方程
雙曲型偏微分方程簡稱雙曲型方程，又稱波動方程，廣泛應用于聲波、流體波動及弦（膜）振動等現象的描述。雙曲型方程的一般形式為：
。
推廣至方程組
兩個自變量的一階線性偏微分方程組的一般形式為：
其中，都是區域中關于的充分光滑函數。方程組也可以寫為向量形式
其中，，是階矩陣，。
雙曲型方程組：若方程組在區域內的一點的特征方向（即的特征值）都是實的，則稱它是雙曲型方程組；若在內的每一點都是雙曲型的，則稱它在內是雙曲型方程組；進一步地，若所有的特征方向實而互異，則稱它是嚴格（狹義）雙曲型方程組。
橢圓型方程組：若方程組在區域內沒有實的特征方向，則稱它在該點或內是橢圓型方程組；若在內的每一點都是橢圓型的，則稱它在內是橢圓型方程組。
混合型方程組：若方程組在區域內的某些部分是雙曲型的，在其余部分是橢圓型的，則稱此方程組在內是混合型方程組。
方程解法
解析解法
解析解法所得的偏微分方程的解是嚴格意義上的解，解的結果體現為函數表達式。解析解法對區域限制比較苛刻，僅適用于如圓形、矩形、柱面、球面域等具有對稱性的規則計算域，對于絕大多數不規則區域問題，很難得到確定的解析解。偏微分方程的解析解法有分離變量法、積分變換法、變量替換法、基本解方法和疊加原理法等。
分離變量法
分離變量法的基本思想是將多變量的偏微分方程化為一些單變量的常微分方程，求出滿足泛定方程和邊界條件的足夠數量的特解，然后利用疊加原理，使之滿足其他定解條件（如初始條件），從而得到原定解問題的解。分離變量法所得的解往往具有傅里葉級數形式，因此也被稱為傅里葉法。分離變量法的數學基礎是常微分方程的特征值理論與線性方程解的疊加原理，因此它適用于各種類型的線性偏微分方程。
積分變換法
積分變換法是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求解方法。對于多個自變量的線性偏微分方程，通過實施積分變換來減少方程的自變量個數，直至化為常微分方程，再經過反演，就得到了原偏微分方程的解；同時，定解問題的解可以直接由積分給出。積分變換法分為傅里葉變換法與拉普拉斯變換法。
傅里葉變換法：對偏微分方程兩端應用傅里葉變換，方程就變為了常微分方程，解出像函數，再做傅里葉逆變換，就求出了原函數。傅里葉變換法可以用于求解偏微分方程的柯西問題，也可用來求解齊次的方程以及非齊次的方程，且對于雙曲型、拋物型、橢圓型三類方程一般都適用。
拉普拉斯變換法：通過初值問題的拉普拉斯變換將偏微分方程變為常微分方程，然后再求常微分方程的解，解的結果通過求拉普拉斯逆變換后即得到原方程的解。對于邊值問題，利用拉普拉斯變換法求解偏微分方程時需要把空間坐標延拓到上半平面，這樣可以先對一個偏微分方程的初值問題求拉普拉斯變換，把偏微分方程變為常微分方程，然后根據此常微分方程再對邊值問題求拉普拉斯變換；經兩次變換后原偏微分方程變成了代數方程，解此代數方程后同樣經兩次求拉普拉斯逆變換就可以得到原方程的解。拉普拉斯變換法適用于求解常系數線性的偏微分方程。
變量替換法
變量替換法利用復合函數求導的鏈式法則，通過變量替換把某些復雜的偏微分方程化簡。它可以用于求解線性偏微分方程、伯努利方程、黎卡提方程等。
例：將偏微分方程化為。
解：作變換，，得
于是有
即。
基本解方法
偏微分方程的基本解是一種具有特定奇異性的解，由它可以構造出一般的解。基本解方法也稱點源函數法或格林函數法，其基本思想是：先求基本解，直接利用它求解相對應的非齊次方程（即非齊次項為任意一般函數的形式），其解（即任意一般源匯所產生的場）可表達為基本解與非齊次項的卷積。該方法適合求解線性偏微分方程。
疊加原理法
偏微分方程的疊加原理指一個邊界條件的存在不影響別的邊界條件和初始條件所產生的解，并且不同邊界條件產生的解之間不互相影響。即一系列邊界條件的綜合影響可以轉化為先求每一個單獨條件的解，然后把結果合并起來，仍然是待求問題的解。疊加原理法的基本思想是：將一個復雜問題的求解利用疊加原理化為幾個較簡單問題的求解，從而使問題得以解決。該方法可以用來求解齊次的方程以及非齊次的方程。
半解析方法
半解析方法是指把解析方法和數值方法結合起來，首先從數值結果和圖形顯示中獲取定性啟示，再試圖用解析方法給予證明，然后又反過來用數值分析檢驗解析的推論。它具有表達式簡單、計算量小且精度高的優點。偏微分方程的半解析方法主要有Adomian分解法、同倫攝動法等。
Adomian分解法
Adomian分解法又稱為逆算符法，其基本思想是先把一個真解分解為若干個解的分量之和，再設法分別求出各階解分量，然后讓這些解分量的和以所需的精度進行逼近。求解中需要將方程映射按照算符分解為線性、非線性、確定及隨機性各部分，然后根據已知初值或邊值條件，從中設法找出方程中的其余部分解分量與部分解分量之間的關系，最后對非線性方程中最難處理的非線性項提出一個與之等價的多項式，用這個可以迭代求出的多項式代替方程中的非線性函數，此多項式稱為Adomian多項式，它只由前面低階的解分量及方程的非線性函數來共同確定。Adomian分解法適用于求解非線性偏微分方程，具有計算過程簡單、收斂速度快、不需要其他近似條件等優勢。
同倫攝動法
同倫攝動法的基本思想是通過行波變換并結合同倫攝動理論，把求解某些非線性偏微分方程的問題轉化為求解常微分方程的初值問題，最后得出近似解。該方法簡單而有效，可以任意選取初始猜測解，不依賴非線性方程中的小參數，同時可以簡化復雜的求解過程；所獲得的數值解能夠很好地反映出方程解的一個實際精度，即所取得的數值解有實際意義；所獲得的數值解的精度隨迭代次數的加大而升高，這個過程可以通過計算機來實現進而避免復雜的實際運算量；可以分析研究一大類（包括復雜的藕合方程）實際的數學物理方程數值解問題，只需給出滿足方程的初始條件而不需要任何的假設或者限制條件。同倫攝動法適用于求解非線性偏微分方程。
數值解法
數值解法求解的一般思路是將難以處理的非線性問題轉化為求解線性方程組。在轉化過程中，會對解的精度產生影響，因此數值解法主要獲得的是近似解。它的求解結果通常體現為問題區域內離散點的解分布，通過插值法來獲得問題區域的整體解。偏微分方程的數值解法主要有有限差分法、有限體積法和有限元法。
有限差分法
有限差分法是一種直接將導數問題變為代數問題的近似數值解法。其基本思想是：將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域，然后將偏微分方程的偏導數用差商代替，推導出含有離散點上有限個未知數的差分方程組。有限差分法所求出的差分方程組的解，就是微分方程定解問題的數值近似解。有限差分法可以基于泰勒展開式，思路明晰，很容易推廣至高精度的格式。但它直接利用方程的微分形式，在遇到激波和界面等間斷時易發生數值振蕩。因此，該方法適用于求解邊界條件較為規則的情況。
有限體積法
有限體積法是一種以代數方程的形式表示偏微分方程的方法。其基本思想是：關注定義域內的一系列離散單元的積分平均值，采用近似的方法求得單元各面上的通量，再利用微分方程的積分形式求得積分均值的演化。有限體積法的關鍵是在導出離散方程的過程中，需要對界面上的被求函數本身及其偏導數的分布作出某種形式的假定，用有限體積法導出的離散方程可以保證具有守恒特性，而且離散方程系數物理意義明確，計算量相對較小。但與有限差分法相比，有限體積法的缺點是難于建立二階以上的三維高階差分近似。該方法適合于處理可壓縮流的問題。
有限元法
有限元法是一種吸收了有限差分法中離散處理的內核，又采用了變分計算中選擇逼近函數對區域進行積分的方法。其基本思想是：把求解域先劃分為大量的單元，其中任意大小和方向的三角形網格尤其適用于二維的情況；三角形頂點稱為節點，并與相鄰單元相連接；然后將偏微分方程離散為代數方程組求解。該方法的優點是易于處理復雜幾何區域，易于與各種邊界條件組合使用，可同時提供節點和整個求解域內的解；缺點是求解速度較有限差分法和有限體積法慢。該方法適用于求解對稱方程。
意義
作為典型的功用型概念，偏微分方程無論是在自然科學方面還是在數學自身內部的需要方面，其背景都很強，這種特征在數學中可以說是獨一無二的，主要體現在以下兩個方面：
（1）偏微分方程是儲存自然信息的載體，自然現象的深層次性質可以通過數學手段從方程中推導出來。
（2）偏微分方程作為一種語言，在表達自然定律方面比文字具有更強的優越性，因為定律中許多更深刻的涵義只能通過方程的形式才能表達出來。特別是許多自然現象的規律從本質上講就必須用數學方程來揭示。例如電磁相互作用的統一性只能用麥克斯韋方程體現出來；弱電相互作用統一理論必須用溫伯格—薩拉姆（Weinberg-Salam）模型進行刻畫。
應用
物理學
偏微分方程在物理學中有著廣泛的應用，許多基本規律的數學形式都是偏微分方程。在研究較復雜的物理運動過程中，利用偏微分方程可以反映運動規律的量與量之間的關系，能夠比較容易地建立起變量和未知函數及它的偏導數（或微分）之間的關系。例如，偏微分方程中的勢方程可以用于描述重力場、靜電場和靜磁場隨時空變化發展的過程，以及擴散現象、液體和氣體的內摩擦現象等；麥克斯韋方程可以用于描述電磁場；薛定諤方程可以用于描述量子力學中勢場內的粒子狀態；熱傳導方程可以用來描述物體內溫度分布等。
經濟學
在經濟學領域，偏微分方程中的布萊克—舒爾斯（Black-Scholes）模型可用于描述金融市場中的期權定價，但通常只運用于歐式期權，無法反映美式期權的價值。布萊克—舒爾斯模型充分揭示了期權權利金的決定因素，使人們深入了解期權，不僅從數學角度給期權合法化提供了依據，而且為人們在期權定價方面提供了便利和可操作性。例如在投資中，如果公司希望用短期閑散資金用來投資從而獲利，如果要購買債券期權的話，可以通過預測未來短期內的理論平均值，然后利用布萊克—舒爾斯模型進行期權定價評估。
計算機科學
偏微分方程也被應用于計算機科學領域，如，圖像處理中的偏微分方程主要用于圖像復原、邊緣檢測、圖像分割、圖像校準、運動物體跟蹤、物體檢測、光流、圖像量化等方面。其基本思想是利用偏微分方程把圖像變形，然后求解該方程來獲得圖形處理的期望結果。偏微分方程具有各項異性的特點，在圖像處理中可以在去噪的同時很好地保持邊緣。比如，在圖像修復中，利用偏微分方程對圖像進行建模，可以使得待修復區域周圍的有效信息沿等照度線自動向內擴散，在保持圖像邊緣的基礎上平滑噪聲。
參考資料 >
Navier-Stokes equation.britannica.2024-06-12