達朗貝爾原理（外文名：d'Alembert's principle）是一種解決非自由質點系動力學問題的普遍方法，這種方法的基本思想是用靜力學中研究平衡問題的方法來研究動力學問題，因此又稱為動靜法。達朗貝爾原理可敘述為質點系的每一個質點所受的主動力、約束反力、慣性力構成平衡力系。
18世紀，隨著機器動力學的發展，科學家們探索用靜力學的分析方法解決動力學的問題。萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler）進一步明確了慣性力的概念并提出了比較和測量力的原則。法國科學家讓·勒龍·達朗貝爾（Jean le Rond d'Alembert）沿著歐拉的研究進路更深入了一步。1743年，讓·達朗貝爾發表了《論動力學》，提出了一個關于非自由質點動力學的原理，1856年德洛內將這個原理稱為達朗貝爾原理。
達朗貝爾原理可以快速有效的解決已知運動求約束力的問題，在工程技術領域得到廣泛應用。如不對稱剛性變形飛行器中廣泛應用的凱恩(Kane)方法、全地形移動機器人懸架動力學建模等都應用了達朗貝爾原理。
簡史
靜力學研究物體在力系作用下的平衡條件，動力學則研究物體的機械運動與作用力之間的關系，兩者研究對象的性質不同。在18世紀，隨著機器動力學的發展，科學家們探索用靜力學的分析方法解決動力學的問題。物理學家萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler）讀過許多牛頓的著作，他一直試圖將力學規范為一門理性科學。有關質點動力學問題，歐拉做出兩個重要的貢獻：一是進一步明確了慣性力的概念；二是提出了比較和測量力的原則。歐拉認為，慣性力存在于所有物體中，是物體保持其原來狀態不變的一種體現。而力的比較和測量最終是靜力學的任務，動力學中的力的比較和測量可以劃歸為靜力學問題。正是基于此，歐拉提出靜力學中力的合成和等價問題可以擴展到動力學中。歐拉的動力學體系只有一個定律，即：速度的增量正比于施加的外力的大小和作用的時間。表面看來，萊昂哈德·歐拉的力學規律實際上是牛頓第二運動定律的一個變形，但與牛頓不同的是，歐拉給出了測量和表示力、質量及速度變量等物理量的規范。
達朗貝爾原理的發現源自于“求解擺心”這一歷史經典難題，即一根穿過兩重物的剛性桿， 一端置于某固定點，來回擺動，問它的擺心位置。法國科學家讓·勒龍·達朗貝爾（Jean le Rond d'Alembert）沿著歐拉的研究進路更深入了一步。他使用了歐拉界定的慣性力概念，在此基礎上提出動力學問題都可歸為靜力學問題并通過靜力學原理解決的基本分析方法。1743年，讓·達朗貝爾發表了《論動力學》，提出了一個關于非自由質點動力學的原理，1856年德洛內將這個原理稱為達朗貝爾原理，達朗貝爾原理像一座橋梁一樣把靜力學和動力學連接起來。
后來，約瑟夫·拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange）在達朗貝爾原理的基礎上提出了一個更為普遍的動力學方程，進而完善了分析力學方法和符號系統，構建了較為完善的分析力學體系。
原理
慣性力
慣性力是達朗貝爾原理中的一處重要概念。當物體受到力的作用而使運動狀態發生變化時，由于物體的慣性引起了對外界抵抗的反作用力，這種力就稱為慣性力。
例如，若人以力推車，車的質量為，加速度為，如下圖所示。根據作用反作用性質，車也將以相等相反的力作用于人。因此，慣性力的大小等于物體的質量與加速度的乘積，但方向與加速度的方向相反，作用在人的手上。由此可知，慣性力并不是作用在運動的物體上，而是作用在使物體產生加速度的另一物體上。
質點的達朗貝爾原理
設一個質量為的質點，受到固定曲線的約束而沿此曲線運動，質點的加速度為，作用于質點的主動力為，約束力為，根據牛頓第二運動定律有，將移到等號右端，有，令，則有（式1），此式在形式上是一個平衡方程。若假想是一個力，它的大小等于質點的質量與加速度的乘積，方向與加速度的方向相反，因為這個力與質點的慣性有關，所以稱為質點的慣性力。
式1可敘述為：當非自由質點運動時，如果在質點上除了作用有真實的主動力和約束力外，再假想地加上慣性力，則這些力在形式上組成平衡力系。這就是質點的達朗貝爾原理。
質點系的達朗貝爾原理
如下圖所示，考察由個質點組成的非自由質點系，取質點系中任一質點，其質量為，作用于質點上的主動力的合力為，約束力的合力為，若加速度為，則慣性力為。于是由質點的達朗貝爾原理有（式2）。
式2表明：在質點系運動的任一瞬時，作用于每一個質點上的主動力、約束力和虛擬的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質點系的達朗貝爾原理。即作用于整個質點系的主動力系、約束力系和虛擬的慣性力系在形式上也組成平衡力系。根據靜力學中力系的簡化理論，這三個力系的主矢和對任一點的主矩應滿足（式3）。
對整個質點系而言，作用于每一個質點上的真實力，又可以按照內力和外力來劃分，并且注意到內力總是成對出現且大小相等、方向相反，有，，則式3又可表示為（式4），即作用在質點系上的所有外力與虛加在每個質點上的慣性力在形式上組成平衡力系。這是質點系達朗貝爾原理的又一表述。其中，為慣性力系的主矢，為慣性力系的主矩。式4表明：對整個質點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質點系的慣性力系與其外力的平衡，而與內力無關。
相關理論
牛頓第二定律
牛頓第二定律是指物體所受的合外力等于物體動量的瞬時變化率。動量是物體運動狀態的描述，牛頓稱之為“運動的量”，是力學中最基本的概念之一。具有相同速度而質量不同的物體受相同力的作用，它們速度的變化是不同的，所以不能簡單地用速度來表征物體運動狀態的變化，除了速度還要考慮物體的質量。將質點動量定義為質點質量與其速度的乘積。它是一個矢量，方向與速度方向相同，記為，在國際單位制中，動量單位是。牛頓第二運動定律在數學上可表示為。達朗貝爾原理是牛頓第二定律的另一種表述形式，把動力學簡化為靜力學問題。
牛頓第三定律
牛頓第三定律是指兩個物體間的相互作用力大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。若物體以作用在物體上，物體必同時以作用在物體上，和在同一直線上，且。達朗貝爾原理被看作是牛頓第三定律的一個推論。
拉格朗日方程
將達朗貝爾原理與虛位移原理相結合，可以推導出動力學普遍方程，它是分析力學的基礎，進一步由動力學普遍方程可推導出拉格朗日方程。拉格朗日方程的表達式為。
影響
達朗貝爾原理實際上是給出了有關約束力的公理，需將約束力寫在方程的一邊，將主動力和慣性力寫在方程的另一邊。正是有了達朗貝爾原理，后來約瑟夫·拉格朗日在其著作中提出分析靜力學的一般原理，即虛位移原理或虛功原理，并與達朗貝爾原理結合而得到動力學普遍方程，奠定了分析動力學的基礎。
應用
變形飛行器動力學建模
變形飛行器具有大型的變形結構，無法像常規飛行器那樣將飛行器作為一個剛體來建模。作為一類典型的多剛體組合系統，其建模難度較大，且得到的多剛體數學模型形式復雜，且為方便后續控制器設計，還需對所得到的數學模型進行簡化處理。其中一種方法是在不對稱剛性變形飛行器中廣泛應用的凱恩(Kane)方法。凱恩方法采用廣義速率代替廣義坐標，利用達朗貝爾原理直接建立動力學方程，將矢量形式的力和達朗貝爾慣性力直接向特定的單位基矢量進行投影，以消除約束力。凱恩方法是一種兼有矢量力學和分析力特點的多體動力學建模方法，該方法消除了動力學方程中的內力項，可以避免繁瑣的導數運算，可以進行系統化推導，同時適用于完整系統與非完整系統。
全地形移動機器人懸架動力學建模
全地形移動機器人具有多地形行走的需求，設計時需要滿足其路面的通過性與減振需求，在設計懸架減振機構時，需分析移動機器人行走過程中懸架受力情況，基于達朗貝爾原理，建立懸架動力學模型。
參考資料 >