萊昂哈德·歐拉（德語：Leonhard Euler, 1707年4月15日～1783年9月18日）, 瑞士數學家、物理學家、天文學家、邏輯學家。
萊昂哈德·歐拉生于瑞士巴塞爾，13歲進入巴塞爾大學，分別在15、16歲獲得學士、碩士學位。1727年，歐拉被圣彼得堡科學院邀請到俄國講學，1733年被選為彼得堡科學院院士。1741年，歐拉被普魯士王國腓特烈大帝邀請到柏林科學院工作。1766年，歐拉回到俄國圣彼得堡。1783年9月18日卒于圣彼得堡。
在數學方面，歐拉是變分法的奠基人和研究復變函數論的先驅者，他在數論、概率論、導數幾何學、代數拓撲學等領域也有重大貢獻。在力學方面，他是理論流體力學的創始人，為流體力學的創立建立了顯著功績。他提出了理想液體平衡和運動微分方程并得出該方程的積分；他還導出了連續性微分方程，證明了連續介質的動量定理。在物理學、天文學方面，歐拉提出了物鏡原理，光通介質現象和分色效應。
歐拉是數學史上最高產的數學家，平均每年可寫出800多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等領域的課本。到2022年，數學界整理出版的歐拉全集已出到80卷。此外，歐拉的研究還涉及建筑學、彈道學、航海學等領域。歐拉的著作不僅包含許多開創性成果，而且表述清晰、極富啟發性，行文優美流暢，被人們譽為“數學界的莎士比亞”。歐拉的工作使得數學更接近于現在的形態。他不但為數學界作出貢獻，更把數學推至幾乎整個物理的領域。瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber曾表示：“沒有歐拉的眾多科學發現，今天的我們將過著完全不一樣的生活。”法國大數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾說過一句話——讀讀歐拉，他是所有人的老師。萊昂哈德·歐拉和阿基米德（Archimedes，公元前287-公元前212）、艾薩克·牛頓（Issac Newton，1642-1727）、高斯（Johann Carl Friedrich Causs，1777-1855）被不少數學史學家們并稱為有史以來最偉大的四位數學家。
人物生平
早年經歷
萊昂哈德·歐拉于1707年4月15日出生在巴塞爾市（Basel，又寫作Basle）的一個普通家庭。歐拉的祖先大都是工匠，他的父親保羅·歐拉（Paul Euler）是一位新教徒牧師，也是歐拉的數學啟蒙老師。13歲時，歐拉進入巴塞爾大學學習。在大學期間，歐拉跟著約翰·白努利（Johann Bernoulli，又名John Bernoulli，1667-1748，瑞士數學家）學習，并且與約翰·伯努利的兩個兒子丹尼爾·伯努利(Daniei Bernoulli)和尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli)成為朋友。1722年，歐拉獲得文理學士。1723年，歐拉獲得哲學碩士學位。
按照父親的意愿，歐拉接著進入神學系學習希伯來語、希臘文和神學，但他拒絕當牧師。1725年，歐拉重新走回數學與科學的研究之路。1726年，歐拉撰寫了一篇關于船桅的論文，獲得法國科學院的二等獎。
職業生涯
圣彼得堡科學院
1727年，歐拉在爭取巴塞爾大學物理教師職位失敗后，接受了俄羅斯彼得大帝創立的圣彼得堡科學院的一項工作，他受科學院指派到數學物理學所工作。歐拉在該時期研究指數函數，引進了數學中的重要符號e=2.718……。歐拉的工作需要學習生理學，但仍能從事數學研究，他特別專注于幾何學、三角學、分析、數論、力學、天文學和制圖。
1731年，歐拉在科學院獲得物理學教授的職位。1733年，歐拉擔任了數學教授一職。1734年，歐拉和一位移居俄羅斯的瑞士畫家（時任科學院預科學美術教師）G·葛塞爾（Gsell）的女兒柯黛琳娜·葛塞爾（Katharina Gsell）結婚。
圣彼得堡科學院的職責之一是解決俄國政府在抽樣及其它技術方面所遭遇的問題，這就使得歐拉可以研究多種學科，如：制圖、造船、航海學等。1735年，法國寄來一道彈性力學問題，希望有數學家能在幾個月內找到答案，歐拉用了三天時間便解答出來。1741年，他已經發表論文55篇以上，另外還完成了30篇。
在圣彼得堡科學院工作期間，他提出了歐拉公式（Euler formula），接著又給出了歐拉常數（Euler constant）。以π來表示圓周率，雖不是歐拉首創，但卻是在1737年歐拉采用后才廣為流傳的。在歐拉的數學生涯中，他的視力一直在惡化，在歷經了一場幾乎致命的高燒后的第三年——1738年，歐拉的右眼近乎失明，他將此歸咎于他為圣彼得堡科學院所進行的辛苦的地圖學工作。
柏林科學院
1741年，由于俄國沙皇的排擠和刁難，歐拉被迫離開圣彼得堡科學院，他接受普魯士國王腓特烈大帝（Frederick）的邀請，去往柏林科學院。他最初被任命為柏林科學院院士、物理數學研究所所長。他是科學院院務委員和學術著作出版委員會委員、科學院圖書館顧問，兼管天文臺和植物園的人事、財務，并負責歷書和地圖的出版工作。盡管歐拉一直未被任命為院長，但事實上一直領導著整個科學院，直到離開柏林。1748年，歐拉完成了世界第一部溝通微積分與初等數學的分析著作《無窮小分析引論》；1749年，他出版了《航海科學》；1755年，他完成了另一部著作《微分學原理》。俄國天文學家魯莫夫斯基在德國留學時，就曾在歐拉的領導下進行研究，回國后即擔任圣彼得堡科學院的天文學教授。
在柏林的25年間，歐拉發表了275篇（部）論文及書籍，除此之外另有100篇已成稿。論文題材包羅萬象，甚至有關于牙齒的咬合理論。對于如今數學中主要領域的拓撲學，歐拉是第一位探討者。歐拉主要用拉丁文和法文寫作，但也精通其它文字。他曾將一本關于造炮學的英文書籍翻譯成德語，并加上自己寫的關于彈道學的附錄（厚度為原書的四倍）。
這段時期是歐拉科學生涯的第二個黃金時期，他的科學才能和成就逐漸為世界所承認。1749年，他當選為倫敦皇家學會會員；1753年，他被聘為巴塞爾市物理數學會會員；1755年，他成為巴黎科學院院士；同年，他成為瑞典皇家科學院的外籍成員。
此時，歐拉雖身在柏林，卻仍為圣彼得堡寄了上百篇論文，還不時對那里的事務提供咨詢意見，俄羅斯也照常支付他的部分薪金。盡管歐拉要負擔一大家子，但他是富有的，除了在柏林的住宅以外，他在夏洛滕堡還擁有一個農場。1760年，俄國人入侵，在進犯勃蘭登堡侯爵邊境期間，歐拉的農場遭到搶劫。俄將軍聲稱他“不是對科學宣戰”，于是給予了歐拉多于實際損失的賠償。當伊麗莎白女皇聽說了歐拉的損失后，除了賠償了他的損失外，還加上一筆數目可觀的款項。
回到圣彼得堡
1766年，歐拉回到圣彼得堡。不久之后，他的左眼患上白內障，視力幾乎喪失。1771年，圣彼得堡發生了一場大火災，歐拉的書籍、資料和大量研究成果都化為灰燼。一位仆人冒著生命危險將他從火海中救出。之后，在一次失敗的手術后，歐拉差不多變成了全盲，但這仍未減緩他的工作速度。他的學生和兒子擔任他的助手，秘書則協助抄錄工作。歐拉的記憶力驚人，他能記得黑板上冗長且復雜的數學運算；他的心算能力也高人一等，常能憑借心算來更正別人筆算的錯誤。1772年，歐拉雙目失明，卻仍證明出231-1為一質數，而此為一十位數。在他完全失明之前，已能用粉筆在黑板上盲寫公式，助手摘抄下來，他再口述一些對公式的說明。因此，歐拉完全失明以后，他的產量沒有降低，他幾乎一半的著作是在1766年以后完成的。
1773年，歐拉的第一任妻子柯黛琳娜去世。之后歐拉再婚，他的第二任妻子是柯黛琳娜同父異母的妹妹。
第二次在圣彼得堡時期可能是歐拉一生最多產的一個時期，他共發表400多篇作品，它們不僅涉及已提到過的每一個論題，還進入了幾何學、概率論和統計學、制圖學，甚至是寡婦撫恤基金和農學。在大量作品中，出現了3部有關代數、月球理論和造船科學的重要專著，及有關數論（E792）、自然哲學（E842）、屈光學（E845）等重要論著的片段。這段時期，歐拉完成的著作包括：三冊光學的書（1769-1771）、三冊積分學的書（1768-1770）、兩冊由他口授并由男仆抄錄的代數學書籍（1770）、一冊775頁關于月球運轉的書、一冊海軍學生手冊（1773）、一冊建立保險原理的重要書籍（1776），其中那冊775頁關于月球運轉的書在發表后的長達100年時間內仍未被完全理解。
從1738年到1772年，歐拉共12次獲得巴黎科學院的獎金。
1783年9月18日下午，為了慶祝計算氣球上升定律的成功，歐拉請朋友們吃飯。他剛寫出計算天王星軌道的要領，在和孫子逗笑時，突發疾病去世。
主要成果
數學符號
常數e
指數常數“e”是一個超越數，也是一個無理數，可以舍入為2.71828，它被定義為自然對數函數的底。e也被稱為歐拉數，因為歐拉是首個將其本質研究透徹的學者，因此用他名字的首字母命名。盡管歐拉很早就使用這個符號，但它第一次公開出現是在他1736年的著作《力學》中。
f（x）
1734年，歐拉使用f（）表示+c的函數。這是數學史上首次使用f（x）表示函數，且一直沿用至今。
π
1736年，歐拉將表示圓周率的希臘字母π推廣使用，該符號是1706年由瓊斯在《數學新導論》中首次使用。
其它
歐拉還引進了求和符號、虛數單位i等，對分析表述的規范化起到了重要作用。
解析數論
萊昂哈德·歐拉是數論的創始人，在他的數學及其應用各分支的756篇論文中，大約100篇是關于數論方面的。這些論文在1849年被翻印成拉丁文版《算學全集》（《Commentationes arithmeticae collectae》），分為二卷。
證明費馬小定理
17世紀中葉，法國數學家皮耶·德·費瑪提出：如果p是素數，a是正整數，且gcd（a，p）=1，則ap-1=1(mod p)。該定理被稱為費馬小定理。1736年，歐拉首先引進了重要的歐拉函數φ(n)，然后用多種方法證明了費馬小定理，于1741年發表。
分析學與數論
1737年，歐拉在研究無窮級數和無窮乘積的收斂性時，第一次把分析學與數論關聯起來。
無線下降法
大約1637年，費馬提出猜想：當整數n>2時，關于x、y、z的方程+=沒有正整數解。該定理被稱為費馬大定理。1753年，歐拉在給哥德巴赫的信中證明了n=3時的費馬猜想。1770年，他的證明發表在《代數指南》書中，方法是“無線下降法”和形如數系的唯一因子分解定理，該方法多次被后人引用。
歐拉判別法
歐拉還有整套的論文是關于素數平方剩余論的。他提供了平方剩余的判別法，即“歐拉判別法”。
解析法與數論
歐拉首先把解析方法應用到數論的研究中，例如：在推導公式
（n）=（n-1）+（n-2）-（n-5）-（n-7）+（n-12）+（n-15）-（n-22）-…時，（n）表示數n的所有約數之和，而各減數1、2、5、7、12、15，…適合公式，同時，右邊的多項式一直加到n-x變成負數之前為止，并認為（0）=n。
代數
歐拉所著的《無窮小分析引論》（兩卷，1748出版）是第一部突出函數概念的著作，歐拉把函數定義為由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達式。他概括了多項式、冪函數、對數表達式和三角表達式，并定義了多元函數。歐拉認為，代數函數中只有自變量之間的代數運算，而代數運算則分兩類：只包含四則運算的有理運算和還包括開方的無理運算。
微積分
微積分著作
積分作為原函數的概念是歐拉創建的基本概念。歐拉通過他的《微分學原理》（1755出版）《積分學原理》（三卷，1768-1770出版）等著作，把前人的發現加以總結定型并注入他的見解。例如：歐拉首創了對函數logx與的現代講法，并發現logx是無窮多值的；他導出了三角函數和指數函數之間聯系的著名公式=+。
導數
歐拉首先把偏導數歸作為微分學的基本概念，他提了二階偏導數的演算，并給出了關于微分后的結果與微分次序無關的理論（但未給出證明），他研究二元函數的極值，給出了全微分的可積條件，并確定未定式、-的極限運算規則。
歐拉-馬歇羅尼常數
1735年，歐拉定義了微分方程中的歐拉-馬歇羅尼常數，他也是歐拉-馬歇羅尼公式的發現者之一，這一公式在計算復雜的積分、求和與級數的時候極為有效。
發展定積分理論
如今在微積分教學中的方法與技巧，幾乎都可以在歐拉的作品中找到。他發展了定積分理論，并演算了大量的反常積分，如，從而奠定了函數與函數的理論基礎。歐拉提出了積分因子的概念，并確定了可采用積分因子的方程類型，證明了凡是可用分離變量求解常系數一般一次方程的問題。
幾何學
七橋問題
18世紀，東普魯士首府加里寧格勒被普萊格爾河橫貫，這條河有兩條支流，在城中心匯成大河，河中央有一座小島，有七座橋把島和河岸連接起來。人們產生了一個問題：能否一次走遍七座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起點？這就是七橋問題。1736年，歐拉向圣彼得堡科學院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，他將此問題轉化成一個幾何問題——一筆畫問題，他不僅解決了問題，還給出了連通圖可以一筆畫的充要條件：奇點的數目不是0個就是2個。在解答七橋問題的同時，歐拉開創了數學的一個新分支——圖論與幾何拓撲。
歐拉公式
1750年，歐拉發現，任何一個凸多面體，如果有n個頂點、m條棱和f個面，則有n-m+f=2.這個公式可以推廣到平面圖上，稱為歐拉公式。
歐拉線
1765年，歐拉證明了三角形的重心、外心和矩心是共線的，位于“歐拉線”上。
其它成果
音樂
1729年，歐拉出版了《音樂新理論的嘗試》（Tentamen novae Theoriae Musicae），這本書被認為是寫給精通數學的音樂家和精通音樂的數學家的。書中提出了一個“調性網絡”（Tonnetz）問題：從音程來說，F到C，C到G，G到D都是五度，C到下方A是三度，A到E也是五度。這樣一來，十二個音符都有了位置，它們不再是一維的性狀，而展現了平面關系，這些音符不能遍歷。
力學
在力學中，歐拉繼承和發展了丹尼爾·貝努利的流體力學成就，進一步奠定了流體力學的理論基礎，他所著的以流體力學與船舶力學相結合的論文《論船舶的左右及前后搖晃》獲得了巴黎科學院獎金（1759）。在光學方面，歐拉完成了折射望遠鏡、反射望遠鏡及顯微鏡的許多計算問題，推動了幾何光學的發展。并且在物理光學方面，歐拉是十八世紀堅持光的波動說的主要代表人物之一。
分析天體力學
1748-1752年，歐拉創立了任意常數變易法，因此誕生了分析天體力學。1753年，他創立了較完整的月球運動理論。因為月球同時受到地球、太陽和大行星的作用，它的運動非常復雜，不完全符合開普勒定律。1766年，歐拉的《月球運行表》出版，1772年，他的《月球運動理論》修訂再版，并附加更精密的月球運行表。
統計學
歐拉在統計學領域也作出重要貢獻。1760年，歐拉曾對人類死亡與增殖數量進行研究并發表文章，他是在人口統計方面第一次企圖通過編制死亡率表來對人口變動進行考察的人。他還為法國統計學家蘇斯密爾西（Johann P·Sussmilch，1707-1767）研究人口統計問題提供幫助。1776年-1783年，歐拉曾寫過幾篇關于保險統計和年金計算方面的文章，他認為保險統計和養老金的計算最好通過編制生命表來進行。
概率論
歐拉在概率論和有關機遇游戲的概率計算方面也有很多貢獻。在柏林科學院期間，他先后發表了《關于機遇游戲和概率計算》《抽彩中的順序概率》《對概率計算中一些非常困難問題的解法》等文章，他在文章中的討論對概率論的發展和在統計學方面的應用起了開拓和促進作用。
拉丁方
1782年，歐拉發明了“拉丁方”的概念。當時普魯士國王腓特烈大帝要舉辦閱兵式，計劃從6支部隊中各選6名官兵，組成36人方隊作為先導部隊。組隊要求各隊的6名官兵分別是少尉、中尉、上尉、少校、中校、大校各一，且36人方陣中每行、每列都有各部隊、各級別官兵各一人。歐拉用拉丁字母A、B、C代表不同部隊，希臘字母、、代表不同級別官兵，然后將這些字母填進九宮格。后來人們稱它為“希臘·拉丁方”，簡稱“拉丁方”。有人認為，拉丁方是幻方的雛形。
經濟學
在經濟學方面，歐拉得出結論：如果產品的每個要素正好用于支付它自身的邊際產量，在固定規模報酬的情形下，總收入和產出將完全耗盡。
主要論文與著作?
社會職務
人才培養
歐拉雖不是教師，但是他的教學影響超過任何人。身為世界第一流的學者、教授，歐拉肩負著解決高深課題的重擔，并熱心于數學的普及工作。他的著作《無窮小分析引論》《微分學原理》《積分學原理》產生了深遠影響。有的學者認為，自1784年以后，初等微積分和高等微積分教科書基本都是抄襲歐拉的書，或是抄襲那些抄襲歐拉的書。歐拉編寫過大量中小學教科書，他寫的初等代數和算術教科書考慮細致，敘述有條理，使這些書嚴密又易于理解。
歐拉曾花二十多年研究變分法，在研究接近尾聲、且大批論文也整理完畢之時，他發現年僅23歲的約瑟夫·拉格朗日在某方面有創新見解，于是他壓下自己的論文，去幫助那位青年，繼而使變分法創始人的榮譽歸拉格朗日所有。
人物評價
數學家紐曼（Newmann，J.R.）在1956年評價：歐拉是數學家之英雄。
數學家、天文學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（P.S.Laplace）說：讀讀歐拉，他是我們一切人的老師。這個世界上所有的人都將記住他，并以他為榮。
法國數學家孔多塞（Condorcet）評價：他的成就不是完全由論文所反映的。
美國數學家克萊因（Kline）評價：沒有一個人像他那樣多產，像他那樣巧妙地把握數學；也沒有一個人能收集和利用代數、幾何、分析的手段去產生那么多令人欽佩的成果。他是頂呱呱的方法發明家，又是一個熟練的巨匠。
德國數學家高斯（Gauss）評價：學習歐拉的著作乃是認識數學的最好途徑，沒有什么別的可以代替它。
法國天文、物理學家阿拉哥評價：歐拉對于計算好像一點也不費力，正如人呼吸空氣，老鷹乘風飛翔一樣。
俄國數學家盧津評價：歐拉天生的一個突出特點：他從不走捷徑進行創造性的研究，他總是帶著發狂一般的熱情把整個身心奉獻給某項研究工作，他的天才表明他的能力是出類拔萃、非凡絕倫的。
瑞士教育與研究國務秘書Charles Kleiber評價：沒有歐拉的眾多科學發現，今天的我們將過著完全不一樣的生活。
中國科學院數學與系統科學研究院研究員李文林評價：在數學和物理的很多分支中到處都是以歐拉命名的常數、公式、方程和定理，他的探索使得科學更接近我們現在的形態。
人物關系
保羅·歐拉
萊昂哈德·歐拉的父親保羅·歐拉（Paul Euler）是一位基督教新教的牧師，畢業于巴塞爾大學神學系。他非常喜愛數學，在大學時常去聽雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，又名James Bernoulli，1654-1705，瑞士數學家）的數學講座。1706年，保羅與另一位牧師的女兒瑪格麗特·勃魯克（Margarete Brucker）結婚。第二年，歐拉出生了。1708年，保羅居家搬遷至巴塞爾市附近的村莊——里亨（Riehen），在這里，歐拉度過了他的童年時光。
在萊昂哈德·歐拉小時候，父親曾教他一些基本的數學，之后又為他請了一位私人教師。本來父親希望歐拉學習神學，由于歐拉的才能和異常勤奮的精神，同時受到約翰·白努利（Johann Bernoulli，又名John Bernoulli，1667-1748，瑞士數學家）的賞識，并在19歲因一篇關于船桅的論文而獲得巴黎科學院獎的獎金，于是父親就不再反對他攻讀數學了。
柯黛琳娜·葛塞爾（Katharina Gsell）
柯黛琳娜·葛塞爾（Katharina Gsell）是一位移居俄國的瑞士畫家的女兒。1734年，歐拉和她結為夫婦。1773年，陪伴了歐拉40年的妻子卡塔琳娜·葛塞爾去世。后來，歐拉再婚，他的第二任妻子是柯黛琳娜同父異母的妹妹。他和兩任妻子一共養育了13個孩子。歐拉喜歡和孩子們做游戲，并念書給他們聽，甚至抱著孩子進行數學研究。由于當時的環境因素，其中8個孩子因各種疾病而早年夭折了。
約翰·伯努利
約翰·伯努利（Johann Bernoulli，又名John Bernoulli，1667-1748）是瑞士數學家，出生于巴塞爾市，青年時期經商，后來在他的哥哥雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，又名James Bernoulli，1654-1705，瑞士數學家）的指導下研究數學，并學習醫學。約翰·伯努利在27歲時獲得巴塞爾大學博士學位，不久后他愛上了微積分學。他在28歲時擔任了荷蘭格羅寧根大學數學物理教授，在哥哥雅科布·伯努利去世后，他繼任巴塞爾大學數學教授達43年之久，還被選為彼得堡科學院名譽院士。
約翰·白努利是位多產的數學家。在幾何方面，他給出了空間坐標定義，曾研究過多種特殊曲線，建立了焦散曲面；在力學方面，他提出了所謂虛擬速度原理，對光學中的反射和折射研究頗多。
歐拉在巴塞爾大學就讀神學和希伯來語時，約翰·伯努利任該校數學教授。他每天講授基礎數學課程，同時還給一些有興趣的高材生開設更高深的數學、物理學講座，歐拉是約翰·伯努利最忠實的聽眾。歐拉的數學天賦引起了約翰·伯努利的注意，于是他決定每周單獨給歐拉上一次課。最終，約翰·白努利說服了歐拉的父母：這個孩子的數學天賦遠超他做一個牧師的潛力。
后世紀念
前蘇聯
在俄國生活了30多年的歐拉，創立了俄羅斯第一個數學學派——歐拉學派，培養了一大批優秀的俄羅斯青年數學家。在許多前蘇聯和俄羅斯的書籍里，歐拉都被稱為是“偉大的俄羅斯數學家”。1957年，為了紀念歐拉誕辰250周年，前蘇聯發行了印有歐拉頭像的郵票。
瑞士
歐拉誕生在瑞士，雖然成年后一直生活在圣彼得堡和柏林，但他的肖像仍出現在瑞士法郎上，與英鎊上的艾薩克·牛頓一起成為至今仍流通歐洲的紙幣上僅有的兩位科學家。
1957 年，瑞士為紀念歐拉誕生 250 周年而發行了郵票，上面出現了歐拉公式：eiφ=cosφ+isinφ。
2007年，瑞士發行了新的紀念郵票，紀念歐拉誕辰300周年。
德國
為了紀念曾經生活在德國的歐拉，德國曾于1950年, 1957年, 1983年分別發行了紀念郵票。
美國
2013年4月，在歐拉去世300多年后，字母控股將其搜索引擎的主頁換上了歐拉的公式元素，以此來紀念他的成就。
參考資料 >
讀讀歐拉，他是所有人的老師.中國科學院.2024-01-25
看數學大神歐拉如何處理微積分？“非常簡單！”.澎湃網.2024-01-24
代數學簡史.上海交通大學.2024-02-07
紀念歐拉誕生 300 周年（原載《數學教學》2007年第8期）.華東師范大學數學科學學院.2024-01-26
數學界傳奇人物的歐拉，一生如開掛，有人說他引領了18世紀的數學.搜狐.2024-01-26