多項式（英文：polynomial）是代數的基本研究對象之一。設P是一個數域，x是一個文字，形式表達式anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0稱為系數在數域P上x的一元多項式，多元多項式是一元多項式的推廣，是數域P上有限個n元單項式的和。
多項式論是代數學的一個古老分支，公元前3世紀古希臘數學家歐幾里得（Euclid）所著《幾何原本》一書有對代數方面的文字敘述。在中國的《九章算術》(成書不晚于公元1世紀）中，有記載并介紹一次方程組的解法，在李冶的《益古演段》和秦九韶的相關著作中，以可見到用籌算的方法來表示一個方程或多項式，并在之后逐步地建立了多項式運算。16世紀，意大利代數學家求得了三次和四次方程的相應求解公式。后來，越來越多的數學家參與到方程問題的研究中，如勒內·笛卡爾（Descartes）、約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Abel）等人，發展了許多有關多項式的復雜理論。
多項式與數一樣，也可以進行相應的四則運算，但多項式的除法與整除理論密切相關。其他的運算包括求最大公因式以及因式分解，分別應用了輾轉相除法以及分解重因式法。多項式在工程學、計算機科學和電信技術等領域應用廣泛，如在工程學領域，可應用多項式插值法是尋求太陽帆板展開關節運動的最優軌跡；在計算機科學中，多項式函數可用于優化三角函數的計算方法。
定義
一元多項式
定義：設是一個數域,是一個文字，形式表達式稱為系數在數域上的一元多項式，或稱數域上的一元多項式，其中是一個自然數,是數域中的數，稱為系數域或基域。在多項式中,稱為次項,稱為常數項,稱為次項的系數，常用等表示的多項式。
例如:是有理數域上的多項式;是復數域上的多項式。
多元多項式
多元單項式的定義：設是一個數域,形如的表達式，稱為上的一個元單項式，式中為個文字,為自然數。
多元多項式的定義：一般地，數域上有限個元單項式的和稱為上的一個元多項式，亦稱多元多項式,元多項式常用等來表示。
例如：三元四次多項式
簡史
起源
多項式論是代數學的一個古老分支，早在公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得（Euclid）所著《幾何原本》一書中有對代數方面的文字敘述。在中國的《九章算術》(成書不晚于公元1世紀）中，有記載并介紹一次方程組的解法，后來在李冶的《益古演段》和秦九韶的相關著作中，介紹了用籌算的方法來表示一個方程或多項式，并在之后逐步地建立了多項式的相關運算。
發展
16世紀，意大利代數學家求得了三次和四次方程的相應求解公式。后來，越來越多的數學家參與到方程問題的研究中，如勒內·笛卡爾（Descartes）、約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Abel）等人，發展了許多有關多項式的復雜理論。多項式論以數域上一元多項式的因式分解理論為中心內容，討論復數域、實數域和有理數域上的一元多項式以及多元多項式中的基礎知識和基本理論，并借助多項式的性質來討論代數方程的根的計算和分布，包括整除性理論、最大公因式、因式分解定理、重因式等內容。
四則運算
加法
設數域上元多項式和將多項式中對應的同類項的系數相加得到的元多項式，稱為與的加法，簡記為
減法
同多項式的加法類似，若是數域上的任意多項式，用表示把的每一個系數都變號后所得的多項式，數域上的多項式稱為上的多項式與的差，記為
乘法
設數域上的兩個元多項式，把的每一項分別與的每一項相乘，再把乘積相加（合并同類項）得到一個元多項式，稱為與的乘積，記為
多元多項式的加法和乘法運算是一元多項式運算概念的推廣，其加法和乘法運算滿足交換律和結合律；乘法對加法滿足分配律。
除法
在一元多項式環中，可以作加、減、乘三種運算，但是乘法的逆運算——除法，并不是普遍可以做的。因此整除就成了兩個多項式之間的一種特殊的關系。
整除
如果有數城上的多項式使等式成立，那么稱多項式整除記為如果不能整除則記為
當時,就稱為的因式,稱為的倍式。
帶余除法
對于一元多項式環中任意兩個多項式與其中一定有中的多項式存在，使成立，其中的次數小于或者并且這樣的是唯一決定的。帶余除法中所得的通常稱為除的商,稱為除的余式。
例如:除商式為余式為
其他運算
求最大公因式
最大公因式的定義：設多項式如果多項式滿足：
1.
2.與的任一公因式都是的因式，
則稱為與的最大公因式。
特別地，根據定義，兩個零多項式的最大公因式就是
輾轉相除法亦稱歐幾里得算法，是求多項式最大公因式的一種方法。
方法：設是中不全為零的多項式，
因式分解
重因式的定義：如果數域上的不可約多項式的次冪整除且不整除則稱是的一個重因式，當那么不是的因式；當時,稱為的重因式；當時,稱為的單因式。
分離重因式法：設是的標準分解式，且其中不可約因式的最高重數
令為的一切重因式之積，如果中沒有重因式，那么令
于是由的標準分解式得
再令
則
可得
按以上方法和步驟求出的方法即為分離重因式法。
特殊多項式
不可約多項式
如果數域上次數大于零的多項式不能表示成數域上兩個次數比它低的多項式的乘積，則稱是數域上的不可約多項式。
本原多項式
如果非零的整系數多項式的各項系數的最大公約數為(即互質)，則稱是一個本原多項式。
矩陣的多項式
設是數域上的多項式,是上的階矩陣，
則稱為矩陣的多項式。
設與是上的兩個多項式，令
則
若是中的數，則
因此，數域上矩陣的多項式集合，對上述的加法、數乘與乘法構成一個交換代數。
相關定理
唯一分解定理
數域上的每個次數大于零的多項式都可以分解為數域上的不可約多項式的乘積。若
式中與都是數域上的不可約多項式，則并且適當調整的次序后，可使式中是中不為零的數。即如果不計次序與零次因式的差異，多項式分解為不可約因式乘積的分解式是唯一的。
高斯引理
兩個本原多項式的乘積還是本原多項式。由高斯引理可知，如果一非零的整系數多項式能夠分解成兩個次數較低的有理系數多項式的乘積，那么它一定能分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積。
推廣
環
定義：在非空集合中定義加法加法“”和乘法“”運算，使得中任意元適合條件：
則稱為結合環，簡稱環。
多項式環
一元多項式環
設是有單位元的交換環,是上的未定元（或稱是變量）,上一切多項式
的集合記為規定的加法是同次項的系數相加，乘法是分配相乘，即其中
對多項式的加法和乘法構成一個環，稱為環上一元多項式環。
n元多項式環
數域上的元多項式組成的集合記作連同所定義的加法與乘法構成一個環，它的零元素是零多項式，它有單位元素，即零次多項式它是交換環，稱為數域上的元多項式環。
應用
電信技術
在數字簽名方案中，有時為了驗證一個簽名的有效性需要耗費大量的時間。每一個批驗證協議都包含簽名收集協議和批驗證原則兩個部分。在簽名產生過程中根據簽名收集協議一次產生多個消息的簽名；在簽名驗證過程中，簽名驗證者根據批驗證原則一次驗證多個簽名的有效性。在設計批驗證協議時，如果批驗證協議不能很好地處理和判斷有效的多個簽名是否為有效的簽名，就會出現安全漏洞。
基于多項式形式的RSA公鑰體制，提出一種全新的批驗證協議，它的安全性主要基于大整數的分解，有較高的安全性，且滿足安全批驗證協議的要求，能抵御針對批驗證協議的多種偽造攻擊，具有較高的理論和應用價值。
工程學
多項式的插值法是尋求在指定點取指定值的多項式問題的一種方法。
太陽能是一種無法替代的能源，它能不斷地為航天器提供能量，而太陽帆板則是重要的太陽能采集轉化裝置。當航天動器處在太空失重環境中時，系統為自由漂浮狀態，太陽帆板的運動和其航天器之間存在運動耦合關系。通過建立航天器太陽帆板展開運動模型，運用高階多項式插值方法逼近太陽帆板關節運動軌跡，將太陽帆板關節耗散能作為目標函數，將插值多項式的系數作為優化參數，采用序列二次規劃法優化求解關節運動軌跡曲線，進而求得航天器姿態角和太陽帆板關節軌線。與其他最優控制方法相比，基于高階多項式插值方法的序列二次規劃方法，具有收斂性好，計算效率高，邊界搜索能力強等特點。
計算機科學
在虛擬現實的技術中，提高虛擬現實設備的真實感，要對自然景物進行比較真實的模擬。水作為自然景物的一部分，是增強虛擬環境中畫面的真實感的重要元素之一。由于水的形態和光學特性比較復雜，渲染一個真實的水面效果并不容易。在對水進行實時模擬的場合中，一般使用基于構造的方法，以數學函數構造水波外形，通過改變時間參數來描述水的運動，將水面作為一個高度場，并借助三角函數對水的運動進行建模。但是，對于大型水面，特別是海面，有時會形成卷浪，高度場的方法不能很好地模擬水面，且三角函數的計算較復雜。
通過分析三角函數的泰勒展開式，應用多項式函數來優化三角函數的計算方法，可改善虛擬系統中水波模擬的實時性。多項式函數的水波模擬算法能夠有效地減少計算量，并提高渲染速率。同時，通過引入多種控制波形參數，可實現水面波形的可控性，不僅能避免在波峰處形成環，還能較好地模擬卷浪效果。
參考資料 >
A-07 多項式函數.知乎專欄.2024-02-01
數字簽名和電子簽名的區別是什么?.法大大.2024-02-01
太陽能帆板 - 必應.Bing搜索.2024-02-01
廣電的有線電視何時才能“破壁出圈”.新浪微博.2024-02-01