在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。
插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。
插值：用來填充圖像變換時(shí)像素之間的空隙。
發(fā)展歷史
早在6世紀(jì)，中國的劉焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。
17世紀(jì)之后，I.牛頓，J.-L.約瑟夫·拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制 函數(shù)表的常用工具，又是 數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ)，許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。
定義
給定 n個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（稱為節(jié)點(diǎn)），。對(duì)于，求 x所對(duì)應(yīng)的 y的值稱為內(nèi)插。
f(x)為定義在區(qū)間 [a,b]上的函數(shù)。為[a,b]上n個(gè)互不相同的點(diǎn)， G為給定的某一函數(shù)類。若G上有函數(shù) g(x)滿足：則稱g(x)為f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)在 G上的插值函數(shù)。
主要內(nèi)涵
插值問題的提法是：假定區(qū)間[a，b]上的 實(shí)值函數(shù)f（x）在該區(qū)間上個(gè)互不相同點(diǎn)處的值是，要求估算f（x）在[a，b]中某點(diǎn)的值。基本思路是，找到一個(gè)函數(shù)P(x)，在的節(jié)點(diǎn)上與f(x)函數(shù)值相同(有時(shí)，甚至一階導(dǎo)數(shù)值也相同)，用的值作為函數(shù)的近似。
其通常的做法是：在事先選定的一個(gè)由簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的有個(gè)參數(shù)的函數(shù)類中求出滿足條件的函數(shù)P(x)，并以作為的估值。此處f（x）稱為被插值函數(shù)，稱為插值結(jié)(節(jié))點(diǎn)，稱為插值函數(shù)類，上面等式稱為插值條件，中滿足上式的函數(shù)稱為插值函數(shù)，稱為插值余項(xiàng)。當(dāng)估算點(diǎn)屬于包含的最小閉區(qū)間時(shí)，相應(yīng)的插值稱為內(nèi)插，否則稱為外插。
基本類型
這是最常見的一種函數(shù)插值。在一般插值問題中，若選取Φ為n次多項(xiàng)式類，由插值條件可以唯一確定一個(gè)n次插值多項(xiàng)式滿足上述條件。從 幾何上看可以理解為：已知平面上個(gè)不同點(diǎn)，要尋找一條n次多項(xiàng)式 曲線通過這些點(diǎn)。插值多項(xiàng)式一般有兩種常見的表達(dá)形式，一個(gè)是約瑟夫·拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一個(gè)是牛頓插值多項(xiàng)式。
埃爾米特插值
對(duì)于函數(shù)f(x)，常常不僅知道它在一些點(diǎn)的 函數(shù)值，而且還知道它在這些點(diǎn)的 導(dǎo)數(shù)值。這時(shí)的插值函數(shù)P(x)，自然不僅要求在這些點(diǎn)等于f(x）的函數(shù)值，而且要求P(x)的導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)也等于f（x)的導(dǎo)數(shù)值。這就是埃爾米特插值問題，也稱帶導(dǎo)數(shù)的插值問題。從幾何上看，這種插值要尋求的多項(xiàng)式曲線不僅要通過平面上的已知點(diǎn)組，而且在這些點(diǎn)（或者其中一部分）與原曲線“密切”，即它們有相同的斜率。可見埃爾米特插值多項(xiàng)式比起一般多項(xiàng)式插值有較高的光滑逼近要求。
分段插值與樣條插值
為了避免高次插值可能出現(xiàn)的大幅度波動(dòng)現(xiàn)象，在實(shí)際應(yīng)用中通常采用分段低次插值來提高近似程度，比如可用分段線性插值或分段三次埃爾米特插值來逼近已知函數(shù)，但它們的總體光滑性較差。為了克服這一缺點(diǎn)，一種全局化的分段插值方法—— 三次樣條插值成為比較理想的工具。見 樣條函數(shù)。
當(dāng)被插函數(shù)是以為周期的函數(shù)時(shí)，通常用n階三角多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，并通過 高斯三角插值表出。
辛克插值
在抽樣信號(hào)中我們以使用辛克插值，它可以由樣品值完美地重建原始信號(hào)。著名的抽樣定理表述，對(duì)于正確的抽樣信號(hào)s(t)，原始信號(hào)可以由抽樣值進(jìn)行重建，其公式為：這里代表在時(shí)間時(shí)的抽樣值，T是抽樣時(shí)間，它的倒數(shù)叫做抽樣頻率。此公式表示，已知在規(guī)則分布的區(qū)間中的抽樣值，我們就可以根據(jù)辛克函數(shù)先測(cè)出抽樣值，然后將它們相加，這樣計(jì)算出任意時(shí)間t上的值。
編程使用
MATLAB中使用插值函數(shù)
插值函數(shù)(the 函數(shù) of interpolation )
interp1
調(diào)用函數(shù)的格式(Syntax)
調(diào)用格式說明(描寫文)
返回向量X和Y決定的根據(jù)輸入的節(jié)點(diǎn)xi時(shí)對(duì)應(yīng)的y的值。矢量Y是矢量X的一個(gè)函數(shù)映射.
如果Y是一個(gè)矩陣，那么插值結(jié)果是一個(gè)對(duì)應(yīng)的矩陣
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yi = interp1(x,Y,xi) returns vector yi containing elements corresponding to the elements of xi and determined by interpolation within vectors x and Y. The vector x specifies the points at which the 數(shù)據(jù) Y is given. If Y is a matrix, then the interpolation is performed for each column of Y and yi is length(xi)-by-size(Y,2).
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插值中可以使用的方法:
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interpolates using Alternative methods:
methodDescription
nearestNearest neighbor interpolation
linearLinear interpolation (default)
splinesplineCubic spline interpolation
pchipPiecewise CUBIC Hermite interpolation
cubic(腺苷甲硫氨酸 as 'pchip')
v5cubicCubic interpolation used in MATLAB 5
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簡(jiǎn)單程序示例
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線性插值
(返回結(jié)果)
兩點(diǎn)插值
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三次樣條插值
(返回結(jié)果)
三次插值
(返回結(jié)果)
參考資料 >