倒數(shù)（reciprocal）又稱乘法逆元（multiplicative inverse）、乘法逆元素，是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科術(shù)語，指數(shù)學(xué)上設(shè)一個(gè)數(shù)x與其相乘的積為1的數(shù)，記為1/x，過程為“乘法逆”，除了0以外的數(shù)都存在倒數(shù)，分子和分母相倒并且兩個(gè)乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)。
漢語中，名詞倒數(shù)一般用來表示數(shù)字的乘法逆，一般在各種數(shù)域如：有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，以及模n的同余類所構(gòu)成的乘法群中使用。
數(shù)論倒數(shù)
而在數(shù)論中，還有數(shù)論倒數(shù)的概念，如果兩個(gè)數(shù)a和b，它們的乘積關(guān)于模m余1，那么我們稱它們互為關(guān)于模m的數(shù)論倒數(shù)。比如mod，所以3是2關(guān)于5的數(shù)論倒數(shù)。數(shù)論倒數(shù)在中國剩余定理中非常重要。而輾轉(zhuǎn)相除法提供了計(jì)算數(shù)論倒數(shù)的方法。
實(shí)數(shù)的倒數(shù)
1.求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，例如，我們只須把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，即得的倒數(shù)為；
2.求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，只須把這個(gè)整數(shù)看成是分母為1的分?jǐn)?shù)，然后再按求分?jǐn)?shù)倒數(shù)的方法即可得到。如12，即，再把 這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，把分子做分母，分母做分子，則有，即12倒數(shù)是；
3.說明：倒數(shù)是本身的數(shù)是1和-1，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)；
4.把0.25化成分?jǐn)?shù)，即，再把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是，再把化成整數(shù)，即4.所以0.25是4的倒數(shù)。也可以說4是0.25的倒數(shù)。也可以用1去除以這個(gè)數(shù)，例如0.25，等于4，所以0.25的倒數(shù)4；
5.求 倒數(shù)的 約分問題。在求倒數(shù)過程中，可約分的要約分，如，約分以后成，最后將其分子分母調(diào)換位置，得到，即為的倒數(shù)；
因此 乘積是1的兩個(gè)數(shù) 互為倒數(shù)。
群論中倒數(shù)
近世代數(shù)中有群，域，環(huán)等概念，其中定義了抽象的乘法運(yùn)算和單位元。同樣的，關(guān)于其乘法如果有乘法逆，同樣可以看成是倒數(shù)。
解題
在四則混合運(yùn)算中，有時(shí)會(huì)用到倒數(shù)來解題，正規(guī)解起來很麻煩。
例如：計(jì)算
第一種方法：
解：原式的倒數(shù)=
=
=
=
=
所以，原式=
第二種方法：
解：=
它的倒數(shù)為
=因?yàn)榇颂?不可以作為除數(shù)，故用乘法代替。
=
=
所以，原式=
特點(diǎn)
倒數(shù)的特點(diǎn)：一個(gè)正實(shí)數(shù)（1除外）加上它的倒數(shù) 一定大于2。
理由：, 為倒數(shù)當(dāng)時(shí) 一定大于1，可寫為a-b因?yàn)閎-b，又因?yàn)椋裕裕詀-b，所以一個(gè)正實(shí)數(shù)加上它的倒數(shù)一定大于2。
當(dāng)時(shí)也一樣。
同理可證，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)（-1除外）加上它的倒數(shù)一定小于-2。
求證：a，b均為非1正實(shí)數(shù)，且a不等于b，和互為倒數(shù)， 。
證明：因?yàn)閍-b，b-a ，所以a-，又因?yàn)閍，b均為非1正實(shí)數(shù)，且a不等于b，所以， ，所以，所以a-b，即。
負(fù)倒數(shù)
乘積為-1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，實(shí)數(shù)x的負(fù)倒數(shù)記為或。一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)和其負(fù)倒數(shù)是相反數(shù)，0沒有倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)。
參考資料 >
倒數(shù)( 倒數(shù) ).漢典.2023-12-29
multiplicative inverse 中文.zh.wordow.com/.2023-12-29