復數（complex number）是指形如a+ib（a、b均為實數）的數，i稱為虛數單位，滿足i2=-1，通常記復數為z=a+ib，a、ib分別稱為其實部與虛部。由所有復數構成的集合稱為復數集或復數域，常用C表示。
復數的歷史可追溯到15世紀。1484年，法國數學家舒開（Chuquet）在《算術三編》中第一次在形式上給出了負數的平方根。1545年，意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolcomo Cardano）在著作《大法》中首次把負數的平方根寫出來，其相關設想隱含著虛數的概念及復數的加法、乘法運算法則。1637年，法國數學家勒內·笛卡爾（Descartes）在《幾何學》中給出了“虛數”這一名稱，虛數由此流傳開來，但此時一些數學家不承認虛數。
從18世紀開始，虛數被廣泛地用于解決各種函數問題。1777年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Euler）在《微分公式》中首創了用符號作為虛數的單位，并創立了復變函數論的基本定理。1788年，挪威數學家韋塞爾（Wessel）用一個單位線段來表示復數的幾何意義，形成了其幾何術語定義以及平面向量的運算法則。1831年，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）在《哥廷根學報》上明確了復平面的概念，并建立了復數的某些運算。1837年，英國數學家哈密頓（Hamilton）將復數定義為一個有序的實數對，奠定了復數理論嚴格的純算術基礎。19世紀，復變函數論逐漸發展起來。
復數的基本運算包括加法、減法、乘法、除法、乘冪、方根等，其四則運算滿足交換律、結合律、分配律等規律。復數在數學、物理學、工程學等多個領域有廣泛應用，特別是在交流電、量子力學、信號處理和控制理論等方面發揮了重要作用。復數理論逐漸成熟，成為現代數學中的基礎工具之一。
定義
虛數單位：在實數范圍內，是不能開平方的，故方程的解在實數范圍內是無解的，為了能夠使負數開平方，引入一個新的數，叫作虛數單位。它是方程的兩個解之一，其平方等于，即。
復數：形如的數稱為復數，其中和是任意兩個實數；稱為虛數單位，滿足，通常記復數為。和又分別稱為復數的實部與虛部，記作
。
當時，，即為實數；當且時，稱之為純虛數。
由所有復數構成的集合稱為復數集或復數域，常用表示。
和是兩個復數，當且僅當時，稱兩個復數相等，記作。
歷史
早期研究
復數的歷史可追溯到15世紀。1484年，法國數學家舒開（Chuquet）在《算術三編》一書中，把方程的根寫為，第一次在形式上給出了負數的平方根。1545年，意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾（Gerolamo Cardano）在著作《大法》中，介紹了三次方程的求根公式，首次把負數的平方根寫出來。同時，他還討論了“負數的平方根”的某些性質，并把正數的平方根稱為真實的根，負數的平方根為虛構的根。意大利數學家拉法耶爾·蓬貝利（Rafael Bombelli）在其1572年出版的《代數學》中引入了復數運算的方法。1637年，法國數學家勒內·笛卡爾（Descartes）在《幾何學》中使“虛的數”與“實的數”相對應，并給出了“虛數”這一名稱，虛數由此流傳開來。但也引起了數學界的困惑，很多數學家都不承認虛數。1693年，英國數學家瓦利斯（Wallis）指出可以用一條垂直于實數軸的直線表示虛數，并給出了方程的根的幾何圖像。
從18世紀開始，虛數被廣泛地用于解決各種函數問題。法國數學家亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）于1730年發現了棣莫弗關系式，即棣莫弗定理。1747年，法國數學家讓·達朗貝爾（d'Alembert）按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，得出它的結果總是的形式（都是實數）。1748年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Euler）發現了歐拉恒等式，且他于1777年在《微分公式》中首創了用符號作為虛數的單位，發現了復指數函數與三角函數間的關系，創立了復變函數論的一些基本定理。
后續發展
18世紀后期，隨著對微積分研究的深入，數學家們逐漸認識到復數的性質和意義。1788年，挪威數學家韋塞爾（Wessel）在他的《關于方向的分析表示：一個嘗試》的論文中，以作為一個單位線段來表示復數的幾何意義，確立復數的幾何術語定義以及平面向量的運算法則。1797年，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）利用復數證明了代數基本定理。1806年，他公布了虛數的圖像表示法，將虛數用一個平面上的點來表示，出現了由各點都對應復數的平面，即復平面，后被稱為高斯平面。同年，日內瓦數學家讓·羅貝爾·阿爾岡（Jean Robert Argand）用幾何形式表示了，并引入了“模”一詞代表向量的長度。
1811年，高斯從復數與實數的類似數性確立了復數的數性，并給出了“復數”這個詞及其一般形式為。1831年，他在《哥廷根學報》上還給出了嚴格的復數的幾何表示，形成了復平面的概念，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算“代數化”，為復數和復變函數論的研究鋪平了道路。至此，復數才被人們所接受。1837年，英國數學家哈密頓（Hamilton）將復數定義為一個有序的實數對，奠定了復數理論嚴格的純算術基礎。19世紀，復數的研究蓬勃興起，學者們把數學和物理上的向量聯系起來，找到了復數的物理模型，經過法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）、德國數學家伯恩哈德·黎曼（Riemann）和卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass）等人的貢獻，復數理論逐步形成并發展成為重要的數學分支——復變函數論。
分類
幾何意義
點對應
根據復數相等的定義，任何一個復數，都可以由一個有序實數對唯一確定。因為有序實數對與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。
如圖，點的橫坐標是，縱坐標是，復數可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫作復平面，軸叫作實軸，軸叫作虛軸，實軸上的點都表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數。
按照這種方法，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應。由此可知，復數集和復平面內所有的點所成的集合是一一對應的，即
。
向量對應
在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的，這樣就可以用平面向量來表示復數。
如圖，設復平面內的點表示復數，連接，則向量由點唯一確定；反過來，點（相對于原點來說）也可以由向量唯一確定。因此，復數集與復平面內的向量所成的集合也是一一對應的（實數與零向量對應），即
。
運算
加法、減法
加法、減法：兩個復數相加就是它們相應的分量分別地相加，類似的原則對于減法也成立。設和是任意給定的兩個復數，定義復數的加法和減法分別為：
，
，
稱復數為復數與的和，稱復數為復數與的差。
幾何意義：若復數分別用對應的向量表示，則復數的加減法與向量的加減法一致，于是在平面上以、為邊的平行四邊形的對角線就表示復數，如圖所示，對角線就表示復數。若將向量平移至向量，則向量就表示復數。由復數的幾何意義可知，下列兩個不等式成立：
，
，
其中，表示向量的長，也就是復平面上點之間的距離。
乘法、除法
乘法
乘法：兩個復數相乘就是它們的模相乘，而幅角相加。兩個復數相乘，可以按多項式乘法法則來進行，即
。
若復數用三角形式或指數形式表示，即
，，
則
。
顯然
，。
幾何意義：復數與的乘積在幾何上相當于把對應的向量旋轉，然后再伸長或縮短倍。
除法
除法：兩個復數相除就是它們的模相除，而幅角相減，即
。
若
，
則
顯然
，。
幾何意義：復數與的商在幾何上相當于把所對應的向量旋轉，然后再伸長或縮短倍。
共軛復數、模、幅角、有理化
共軛復數
共軛復數：共軛復數是指實部相等，虛部的系數絕對值相等，符號相反的兩個復數與，即是與共軛的復數，或稱是的共軛復數，或是的共軛復數。共軛復數記為，即，那么有。
性質：
（1）共軛復數的和是實數，即為實數。因為，而是實數，所以是實數。
（2）共軛復數的積是實數，即為實數。因為，而和都是實數，所以是實數。
（3）兩個復數的和的共軛復數等于各個復數的共軛復數的和，即。
（4）共軛復數關于實軸對稱，，，，，點和關于實軸對稱。
模、輻角
模：除了直角坐標表示外，還可用極坐標表示，對應的極坐標為，稱作絕對值或模。
輻角：根據平面上的直角坐標與極坐標間的關系：，，復數又可以表示成
，
稱為復數的三角式。
其中，為的解，表示了向量與正實軸之間的夾角，亦稱復數的輻角，記為。的方向規定為逆時針方向為正，順時針方向為負。
針對同一個的值，會有無窮多個角，將位于內的那一個角稱為的主輻角或者主值，記為。
顯然，對復數無輻角可言，而對每一個復數，其輻角有無窮多個，且
由于，所以，主輻角與有以下關系： 。
有理化
復數的有理化運算被定義為，把復數表達化成標準形式。能夠把某些復數計算結果變成的標準形式，則便于把它的模和幅角用圖表示出來。一旦把表達式變成分子同分母相比的形式，只要分子和分母都乘上分母的共軛復數。即
則能把它變成標準形式。這時分母已不包含它的虛部，只是一個實數。下面給出一個例子：
。
極坐標形式
除了直角坐標（標準形式）表示外，還可用極坐標形式表示，特別是在需要進行乘法和除法運算時，這種表示方式會更加方便。對應的極坐標時，取任何值均表示相同的數值，為得到唯一的表示，通常的選擇是令；當時，輻角對取模后是唯一的。因此，如果兩個復數唯一的差別是它們的輻角相差的整數倍，則認為它們是等價的，為得到唯一的表示，通常將的取值限制在區間內。
根據復數模與相位的定義，有：
該表示稱為三角形式。根據歐拉恒等式有
式可以表示為
并稱為復數形式。
乘冪、方根
乘冪：設是一個復數，是正整數，稱個的乘積為的次冪，記為，則
當對應的極坐標時，可以得到棣莫弗公式：
。
方根：考慮非零復數的次方根。凡是滿足方程的值稱為的次方根，記為。
當時，顯然；當時，設
，
則
所以
，
因此的次方根為
顯然，只要取就可以得到個不同的根。取其他值時，得到的一定是這個值中的一個。例如，當時，非零復數的個不同的次方根均勻分布在以原點為圓心、半徑為的圓周上，即它們是內接于該圓周的正邊形的個頂點。
代數基本定理
代數基本定理是關于在復數域上具有復系數的任何代數方程的根的存在定理。它是關于多項式根的定理，其內容為：設是一個次數不小于的復系數多項式，則在復數域內至少有一個根。由此可推出，一個次復系數多項式在復數域內恰有個根，即復系數的代數方程一定有復數解。但是，該定理不適用于有理數域和實數域，如多項式在復數域中有兩個根，但在有理數域和實數域中都沒有根。
性質
（1）交換律：設與是兩個復數，則
。
（2）結合律：設與是三個復數，則
。
（3）分配律：設與是三個復數，則
。
（4）單位元
對任何，，。
對任何，規定
，
。
所有其第二個數為零的復數的集合具有實數的集合的一切性質。特別地，復數起到復數系零的作用，且復數充當單位元的作用。即，此時加法零元是，乘法單位元是。
（5）逆元
加點的形式：對于任意復數，存在唯一的復數，使，常記為，并稱為的負元素。任何的加法逆元是。
倒數：對于任一非零復數，都有逆元存在，記之為，它們滿足：。任何， 的乘法逆元是。
抽象代數結構
作為商域的構造
從實數域構造復數域：從實數域得到復數域，引入虛元素，它使不可約多項式值為。復數域可認為是一個包含和的最小域，記為。
代數閉域：假設集合，那么是的代數擴張等價于是的有限擴張，也等價于是上的代數元。在任一域擴張中，上的代數元的全體構成一個中間域，叫做在中的代數閉包。設為一域，如果中每一個多項式在中都可以分解成一次因式的乘積，則稱為代數閉域。
復數域的代數封閉性：復數域是一個代數閉域，實數域不是代數閉域。當代數閉域是的擴域時，稱是的代數閉擴張。每個域都至少有一個代數的代數閉擴張。
矩陣表示
復數的乘法有著鮮明的幾何背景，利用乘積的模與輻角公式，有，當時，乘法變成了單純的旋轉；當時，乘法變成了單純的伸縮。
復數的矩陣表示：給定旋轉變換
點在旋轉矩陣作用下變換到點。類似地，記。根據復數與復平面上的向量一一對應，可以得到，即
可知式的作用都是將平面上的點逆時針旋轉角到點。得出結論：
上式兩邊同時乘以不為零的常數，有
，即。
定理：復數等價于一個二階實系數矩陣。其中對稱矩陣表示復數的實部，反對稱矩陣表示復數的虛部。
復變量函數
復數列
復數列：一列無窮多個有序的復數
稱為一個復數數列，簡稱為復數列，記為。
復數列收斂：給定一復數列，設是一個復常數。若對任意給定的總存在自然數，使當時，有不等式
成立，則稱是復數列當時的極限，記作
此時也稱復數列收斂于。如果復數列不收斂，則稱發散。
（1）充要條件：設則的充要條件是
。
（2）收斂性與抽象角度的度量：假如用抽象集合來替代實數集合及復數集合，并在中引入抽象距離函數，那么便形成了抽象度量空間的概念。而定義復數序列收斂性這一基本概念要用到復平面上的度量。在任意的度量空間中，可以研究中的點列，并能用度量按與微積分中相類似的方式去定義收斂性。
復指數
復指數函數：是表示復數和復函數以及實三角函數的工具，對，該函數定義為：
復指數函數將映射到\，它是實指數函數的一個推廣，即，若，則，使用符號來表示。
，，
對及是成立的，與為實數的情形不同，最后一個等式（升冪運算）當不是整數時，一般是不成立的。
根據指數函數的定義，一個純虛數的指數函數為：
因此復數
是落在單位圓上的，如下圖。
復對數
復對數函數：定義為復指數函數的反函數。即若，則稱為的對數。記作
設，則由
可得 ，
于是 ，
其中表示正實數的實自然對數，則
由此可見，對數函數是一個多值函數；對于每一個復數，有無窮多個值與之對應，它們的實部都是，而虛部相差的整數倍，如果取的輻角為其主值，那么，就得到對數函數的一個單值分支，記作
稱為對數函數的主值。
類似地，對于式中每一個確定的，都確定了對數函數的一個單值分支。這些單值分支均可由主值分支表出
對數函數的主值，除去原點和負實半軸以外，處處連續，在原點和負實半軸上，它是間斷的。事實上，設為負實半軸上任一點，當在第二象限內趨于時，有
而當在第三象限內趨于時，有
這說明，當趨于時，沒有極限。
對于的其他分支，也有同樣的結論。
等性質，因而復對數函數在一定意義下保持了實對數函數的性質。
復可微
復可微函數：是指在復數平面區域上的每一點的附近能用冪級數表示的函數。全純函數是一個同時為連續單值及解析的函數。
設是在復數域的開集上定義的復值函數。點，如果
存在，則稱函數是復可微的，稱為在點的導致，用表示。如果在的每一點都是復可微的，稱在是正則的。
復可微與實可微：設是在區域上的復函數，則在是復可微的，當且僅當在是實可微的且，。
復三角
復變量三角函數：復變量的三角函數均可用復變量的指數函數來表示，如正、余弦函數均是用指數函數定義的。
給定一個復數，復數正弦和余弦的定義分別為：
，
如果，則有
，
。
應用
計算機科學
圖像的復制—粘貼（Copy-Move）篡改是一種常見的篡改方式，將一幅圖像的某個或多個區域復制后粘貼到同幅圖像的其他區域，以改變圖像內容。基于圖像重疊分塊的基本思路是將圖像進行重疊分塊，提取圖像塊特征，進行特征匹配，從而定位篡改區域。四元數極性復指數變換可以將待測圖像進行重疊分塊之后，計算各分塊的四元數極性復指數變換不變量，并作為每一塊的特征向量，構成特征矩陣。該算法可以有效檢測圖像中的復制—粘貼篡改，并且對圖像旋轉、縮放、加噪和JPEG壓縮等篡改區域后處理操作具有較好的魯棒性。
物理學
許多物理量，如力、速度、電流等，都由矢量表示，把矢量的運算代之以復數運算，幫助解決物理學中的一些問題。例如，在空間科學領域對近地空間、深空等紫外目標的探測系統中，運用復數，將陽極與讀出電子學聯合建立模型，可推導出電子學讀出等效噪聲電荷的計算方法。通過比較，復共軛極點成形器等效噪聲電荷性能優于實極點成形器，以此為依據優化了電荷靈敏放大器輸入端參數以及成形器的階數和時間常數，實現了一種低噪聲探測系統。
工程學
復數與平面向量有許多相似之處，它在工程學中也有著廣泛的應用。例如，在工程測量中，為了施工方便，根據需要，在施工過程中往往要將施工坐標轉化成施工小坐標，這樣的轉化在隧洞防線中應用較為廣泛。因此，常常通過引入復數的模、復角、旋轉角和尺度參數，對工程中大地坐標與施工坐標之間相互轉化進行分析、研究、合理優化，可以得出適合工程實際與方便編程應用的簡潔公式，避免因坐標轉換帶來的不便，最終提升工作效率。
參考資料 >