其中，用符號(hào)“>”“<”表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式?？偟膩?lái)說(shuō)，用不等號(hào)(<，>，≥，≤，≠)連接的式子叫做不等式。
通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù)，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≠G(x，y，……，z )（其中不等號(hào)也可以為<，≤，≥，>中某一個(gè)），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題。
整式不等式
整式不等式兩邊都是整式（即未知數(shù)不在分母上）。
一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)(即一元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式。如
同理：二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)(即二元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式。
基本性質(zhì)
①如果x>y，那么y
②如果x>y，y>z；那么x>z；（傳遞性）
③如果，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么；（加法原則，或叫同向不等式可加性）
④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz ⑤如果，，那么；(充分不必要條件) ⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn； ⑦如果x>y>0，xn>yn（n為正數(shù))，xn 或者說(shuō)，不等式的基本性質(zhì)的另一種表達(dá)方式有： ①對(duì)稱性； ②傳遞性； ③加法單調(diào)性，即同向不等式可加性； ④乘法單調(diào)性； ⑤同向正值不等式可乘性； ⑥正值不等式可乘方； ⑦正值不等式可開(kāi)方； ⑧倒數(shù)法則。 如果由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式。 另，不等式的特殊性質(zhì)有以下三種： ①不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變； ②不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變； ③不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向變?？偨Y(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值。 ①不等式F（x）< G（x）與不等式 G（x）>F（x）同解。 ②如果不等式 的定義域被解析式的定義域所包含，那么不等式 與不等式同解。 ③如果不等式 的定義域被解析式 的定義域所包含，并且，那么不等式 與不等式同解；如果，那么不等式與不等式同解。 ④不等式與不等式同解；不等式與不等式同解。 解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無(wú)理不等式，化為有理不等式。 高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。 證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭(zhēng)高下。 直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。 還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來(lái)幫助，畫(huà)圖、建模、構(gòu)造法。 不等式兩邊相加或相減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變。（移項(xiàng)要變號(hào)） 不等式兩邊相乘或相除同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。（相當(dāng)系數(shù)化1，這是得正數(shù)才能使用） 不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。（或個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候要變號(hào)） 確定解集： ①比兩個(gè)值都大，就比大的還大(同大取大）； ②比兩個(gè)值都小，就比小的還小(同小取?。?； ③比大的大，比小的小，無(wú)解（大大小小取不了）； ④比小的大，比大的小，有解在中間（小大大小取中間）。 三個(gè)或三個(gè)以上不等式組成的不等式組，可以類推。 可以在數(shù)軸上確定解集： 把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個(gè)就要幾個(gè)。 在確定一元二次不等式時(shí)，a>0，Δ=b^2-4ac>0時(shí)，不等式解集可用"大于取兩邊，小于取中間"求出。 ①作差比較法：根據(jù)，欲證，只需證； ②作商比較法，簡(jiǎn)稱商比法（作商與1比）比較法：根據(jù)， 當(dāng)時(shí)，得， 當(dāng)時(shí)，欲證，只需證， 當(dāng)時(shí)，得。 由因?qū)Ч?。證明不等式時(shí)，從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形推導(dǎo)出要證明的不等式. 綜合法又叫順推證法或因?qū)Чā?/p> 執(zhí)果索因。證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，尋找使其成立的充分條件. 由于”分析法“證題書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以有時(shí)大家可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用”綜合法“進(jìn)行表述。 將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的，已知，要證，則只要證. 若成立，即證得. 也可采用把B縮小的方法，若已知，則只要證。 證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證之。 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。 在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。 證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。 換元的目的就是減少不等式中變量的個(gè)數(shù)，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。 通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來(lái)證明不等式。 柯西不等式的幾種變形形式 1.設(shè), 則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 2.設(shè)，同號(hào)且不為零，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等。 證法 柯西不等式的一般證法有以下幾種： ①Cauchy不等式的形式化寫(xiě)法就是：記兩列數(shù)分別是, ，則有 . 大家令 則大家知道恒有 . 用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有 . 于是移項(xiàng)得到結(jié)論。 ②用向量來(lái)證。 ． 因?yàn)?，所以?，這就證明了不等式． 柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法。 奧古斯丁-路易·柯西不等式的應(yīng)用 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，大家在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。 例（巧拆常數(shù)）：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。求證： 分析：均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證：而 又 證明： 又 a、b 、c 各不相等，故等號(hào)不能成立 ∴原不等式成立。 排序不等式又稱排序原理。 對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)，，設(shè)，，…，是后一組的任意一個(gè)排列，記，，，那么恒有。 當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立。 即反序和≤亂序和≤順序和。 還有諸如以下的不等式： 均值不等式 切比雪夫不等式 冪平均不等式 卡爾松不等式 幾何不等式 克拉克森不等式 yu不等式 施瓦爾茲不等式 卡爾松不等式 三角不等式 Milosevic不等式 等周不等式 馬爾可夫不等式 四邊形不等式 肖剛不等式 卡拉瑪特不等式 外森比克不等式 宮岡-丘不等式 柯西—施瓦茨不等式 判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由。 若a>b，c=d，則ac>bd(假，因?yàn)閏，d符號(hào)不定) 若，則；(真) 若且，則；(假) 若，則；(真) 若；(充要條件) 說(shuō)明：本題要求學(xué)生完成一種規(guī)范的證明或解題過(guò)程，在完善解題規(guī)范的過(guò)程中完善自身邏輯思維的嚴(yán)密性。 ，且，比較與的大小。 說(shuō)明：強(qiáng)調(diào)在最后一步中，說(shuō)明等號(hào)取到的情況，為今后基本不等式求最值作思維準(zhǔn)備。 設(shè)，n是偶數(shù)且，試比較與的大小。 說(shuō)明：本例條件是a>b，與正值不等式乘方性質(zhì)相比在于缺少了a，b為正值這一條件，為此大家必須對(duì)a，b的取值情況加以分類討論。因?yàn)閍>b，可由三種情況(1)a>b≥0；(2)a≥0>b；(3)0>a>b。由此得到總有。通過(guò)本例可以開(kāi)始滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想。 參考資料 >定理
常用定理
定理口訣
注意事項(xiàng)
符號(hào)
解集
數(shù)軸法
證明方法
比較法
綜合法
分析法
放縮法
數(shù)學(xué)歸納法
反證法
換元法
構(gòu)造法
重要不等式
柯西不等式
排序不等式
其他不等式
例題
例1
例2
例3