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a^2+b^2+c^2≥4√3 a^2=(m+n a^2+b^2+c^2-4√3
正文
芬斯拉不等式
設△ABC的三邊長分別為a、b、c，面積為Δ，則
（當時，等號成立）……（1）
不等式（1）叫做芬斯拉不等式（Finsler，1894—），它反映了三角形三邊與其面積之間的關系。
證明一：如圖，因任意△ABC的三條高至少有一條在△ABC內，不妨設BC邊上的高AD在△ABC內，設，，則有
，
∵（2）
等號當且僅當，且時，即△ABC為正三角形時成立。展開（2）式并整理可得
，
∴ 。（當時，等號成立）
注：證明的關鍵是巧妙在構造不等式（2），為此必須首先猜想到當時，正三角形的面積最大，此時有，利用這兩個公式就可造出不等式（2）。
證明二：由余弦定理及三角形面積公式，
當且僅當，即時，等號成立。
芬斯拉不等式的推廣：
1、若a、b、c、d為四邊形的四條邊， Δ為其面積，則有
等號當且僅當四邊形為正方形時成立。
2、若為n邊形的邊長， Δ為其面積，則有
等號當且僅當這個n邊形為正n邊形時成立。
參考資料 >