余弦定理（co正弦 theorem）是勾股定理的推廣，它描述了任意三角形中三條邊和一個角的余弦之間的關系。若a，b，c分別表示中角A，角B，角C的對邊，則余弦定理可表述為：
對余弦定理的研究可追溯到公元前3世紀歐幾里得的《幾何原本》，但最初它只是以幾何定理的身份出現。在歐洲文藝復興時期，數學家們從阿拉伯文獻中重新發現了希臘和印度數學，余弦定理得以系統化。德國數學家雷焦蒙塔努斯在15世紀發展了三角學，使余弦定理的推廣更為明確。直到16世紀，法國數學家韋達（F.viete）利用歐幾里得《幾何原本》第一個提出了無窮等比級數的求和公式，并首次寫出了三角形式的余弦定理。但17-18世紀，對余弦定理的應用不多，直到19-20世紀，余弦定理才得到廣泛應用。余弦定理的證明方法有多種，如直角坐標系法、比較面積法、向量法等，也可利用勾股定理、托勒密定理、正弦定理和射影定理等推導。
在解三角形問題中，若已知三邊，或者已知兩邊及其夾角，可使用余弦定理求其余元素。還可運用余弦相似性度量，即通過兩個向量夾角的余弦值來評估兩個個體間的相似度。最常見的應用就是計算文本相似度，如文章、簡歷等。
定義
角的余弦是指直角三角形中，該角的鄰邊和斜邊的比值。余弦定理（cosine theorem），亦稱第二余弦定理，描述了三角形中三條邊和一個角的余弦之間的關系：在任意三角形中，任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦積的二倍。若a，b，c分別表示中角A，角B，角C的對邊，則余弦定理可表述為：
由上述公式可知勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣，是把直角三角形中各邊平方的關系推廣到任意三角形中而得到的。余弦定理還可以用以下形式表達：
在解三角形問題中，若已知三邊，或者已知兩邊及其夾角，可使用余弦定理求其余元素。
簡史
余弦定理是作為勾股定理的推廣而誕生的，在誕生之初，它只是以幾何定理的身份出現。直到16世紀，才出現三角形式。17-18世紀，盡管三角形式偶有出現，但人們主要運用韋達定理來解“已知三邊求各角”問題，用正切定理來解“已知兩邊及其夾角求第三邊”問題。19世紀，韋達定理逐漸被拋棄，三角形式的余弦定理逐漸占上風。到了20世紀，韋達定理銷聲匿跡，三角形式的余弦定理得到廣泛應用。
公元前3世紀-公元2世紀
公元前3世紀，歐幾里得在《幾何原本》卷二命題12和13分別給出鈍角三角形和銳角三角形三邊之間的關系，盡管他沒有明確提出余弦定理，但討論了三角形邊長和角之間的代數關系（圖1、圖2）：。
公元2世紀，古希臘天文學家克羅狄斯·托勒密（C.Ptolemy）在其《天文大成》中利用歐幾里得的幾何命題解決了“已知三角形三邊求角”的問題，雖然他并未明確提出余弦定理，但根據托勒密定理能證明余弦定理。而到了中世紀時期，阿拉伯數學家阿爾-胡瓦里茲米和阿爾-圖西對三角學進行了更深入的研究。他們系統地總結了球面三角學和平面三角學中的基本定理。其中阿爾-圖西首次在球面三角學中明確提出了余弦定理的球面版本。
公元16-18世紀
1593年，法國數學家韋達（F.viete，1540-1603）首次將歐幾里得的幾何命題寫成三角形式（比例式），此外韋達還證明了余弦定理的另一種幾何形式，并由此得到韋達定理：（圖3，將代入即可得到三角形式）。之后韋達定理被德國數學家畢蒂克斯（B.Pitiscus，1561-1613）在其《三角學》（1595）中用來解不等邊三角形的“邊邊邊”問題。
在17-18世紀26種三角學著作中，只有荷蘭數學家斯內爾（W.Snell，1591-1626）的《三角形論》，意大利數學家卡瓦列里（B.Cavalieri，1598-1647）的《平面與球面三角學》、英國數學家愛默生（W.Emerson，1701-1782）的《三角學基礎》以及意大利數學家卡諾里（M.Cagnoli，1743-1816）的《平面與球面三角形》給出了三角形式的余弦定理。其中，斯內爾、卡瓦列里、愛默生和韋達一樣，直接根據歐幾里得的幾何命題導出比例式，而卡諾里則利用歐幾里得的證法得到如今的形式。但在此時期，人們還是主要運用韋達定理來解“已知三邊求各角”問題，用正切定理來解“已知兩邊及其夾角求第三邊”問題。
公元19-20世紀
在19世紀的68種三角學著作中，有51種僅給出三角形式的余弦定理而不涉及幾何形式；8種僅采用韋達定理，另9種同時使用了兩種形式。韋達定理在19世紀逐漸退出歷史舞臺，三角形式的余弦定理逐漸一統天下，但利用歐幾里得命題或歐幾里得的幾何方法來推導后者，依然是19世紀絕大多數三角學教材的選擇。而在考察的1900-1955年間出版的48種教材中，已完全看不到韋達定理的影子。
證明
余弦定理的證明方法有多種，如直角坐標系法、比較面積法、向量法等，也可利用勾股定理、托勒密定理、正弦定理和射影定理推導，每種證法都各有特色。
直角坐標證法
如圖4，以點A為原點，建立直角坐標系，因為AB=c，所以B的坐標為（c，0），則點Ｃ的坐標為，則：
，即。
比較面積證法
如圖5，可得，整理得。
平面向量證法
如圖6，設，那么，因此，
。
勾股定理證法
如圖7，作BD⊥AC于點D，由勾股定理可得：
注：稱為廣勾股定理，是勾股定理的一種推廣，它的變形就是余弦定理。
正弦定理證法
由正弦定理，可得：
。
射影定理證法
由三角形射影定理，可得：
，可得：。
兩角和的正弦證法
在中，因為，所以：
，
由正弦定理可得，。
兩角和的余弦證法
在，過點C作CD垂直于AB，垂足為D，設。
如圖8，當為銳角時：
，整理得。
如圖9，當為鈍角時：
，整理得。
托勒密定理證法
如圖10，過C作CD平行AB，交的外接圓于Ｄ，則。分別過C、D作AB的垂線，垂足分別為E、F，則，故。由托勒密定理可得，，即，整理可得。
復數證法
如圖11，建立平面直角坐標系，在復平面內，過點A、C分別作BC、AB的平行線交于點D，則四邊形ABCD為平行四邊形，因為
，則，則
則
則
，即。
相關概念
平面直角坐標系
平面直角坐標系（rectangular coordinates in plane），因是17世紀勒內·笛卡爾（Descartes，R.）首先系統提出的，因此又稱為平面笛卡兒直角坐標系，是創立解析幾何的基礎。如圖12，在平面上過一定點О作兩條互相垂直的軸x和y，在每條軸上取相同的長度單位，這樣就在平面上建立了一個直角坐標系，記為xOy。點О稱為坐標系的原點，軸x（通常是水平的）稱為橫軸或x軸，軸y稱為縱軸或y軸，合稱坐標軸。平面上任一點M的位置便可以這樣來確定：由M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別是M1，M2，設M1在x軸上的坐標為x，M2在y軸上的坐標為y，則M相對于坐標系的位置就可以用有序實數對（x，y）來確定。（x，y）稱為點M的平面直角坐標，x和y分別稱為點M的橫坐標和縱坐標。通過坐標系的建立，把平面上的點和有序實數對聯系起來，從而把平面上點的幾何問題轉化為其坐標的代數問題，為用代數方法研究幾何問題開辟了道路。
余弦函數
余弦函數是六個基本三角函數中的一種，常寫作。在坐標法定義中；在銳角三角函數中。
余弦曲線（cosine curve），指余弦函數在區間內的圖象。余弦函數及其圖象有如下性質：
類似理論
余弦定理是解三角形的理論根據，此外正弦定理和射影定理也可用于解三角形。其中余弦定理和正弦定理刻劃了三角形6個基本元素中4個元素之間的基本關系；而射影定理刻劃了三角形6個基本元素中5個元素之間的基本關系。這三個定理之間是相互等價的，即。
正弦定理
正弦定理（sine theorem）：在一個三角形內，各邊和它的對角的正弦的比相等，且都等于這個三角形外接圓的直徑，即：
式中a，b，c分別是各角的對邊，R是外接圓半徑，S是的面積。
射影定理
角形的射影定理（projection theorem of a triangle），簡稱射影定理，亦稱第一余弦定理，指三角形的任一邊長等于另兩邊在該邊上射影的和，若a，b，c分別表示中角A，B，C的對邊，則三角形的射影定理可表述為：
由于上面三式都聯系著三角形內角的余弦，所以稱第一余弦定理，而把通常的余弦定理稱為第二余弦定理。
勾股定理
勾股定理（Pythagoras theorem）是初等幾何的著名定理之一，直角三角形兩直角邊上正方形面積的和等于斜邊上的正方形面積（如圖13），即如果直角三角形兩直角邊的長度為a和b，斜邊長度為c，那么a2+b2=c2。中國古代稱直角三角形的直角邊為勾股，斜邊為弦，故此定理稱為勾股定理，或勾股弦定理。數學史上普遍認為最先證明這個定理的是畢達哥拉斯（Pythagoras），所以，很多數學書上把此定理稱為畢達哥拉斯定理。
托勒密定理
托勒密定理（Ptolemy theorem）是古希臘數學家托勒密（Ptolemy，90-168）從依巴谷（喜帕恰斯，約190B.C-125B.C）的書中摘出并完善的關于圓內接四邊形的邊和對角線的關系的定理，即圓內接四邊形兩組對邊乘積之和等于對角線的乘積。這個定理的逆命題也成立，因而可作為判定四邊形內接于圓的一種方法（如圖14）。此定理可推廣，對于一般四邊形ABCD，有：。
相關變式
可以將余弦定理的一邊轉化為兩個平方數的和，而這兩個平方和與正弦定理與射影定理有著密切聯系。
證明：
。
余弦定理+射影定理?正弦定理：證明：利用變式1，，由射影定理并且兩邊平方得。結合兩式子，相減得，即，同理可證正弦定理的其他兩個關系式。
正弦定理+射影定理?余弦定理：證明：由射影定理得，正弦定理得，兩式相加得，利用變式1即證明了余弦定理。
相關推論
證明：根據射影定理和變式1，且。
得到。
已知，則兩邊去平方，得。分析這個不等式，發現其也可以用排序不等式證明。在三角形中，大邊對大角，若，余弦函數在上單調遞減，所以，于是。
證明：
，所以。
證明：由正弦定理，代入推論1得，
。
證明：由推論2，，，三式相加得。
定理推廣
四邊形余弦定理
可將余弦定理從三角形推向多邊形。如，對于平面四邊形ABCD，可得：（*）（其中角B-C是AB與BC交角）。
證明：連接AC，在中，
在中，
①+②得
將③與欲求證式（*）比較，只需證明
而這只需證明，該式左邊是線段AC在CD上射影，右邊是BC在CD上射影加上AB在AC上射影，二者恰好相等。于是（*）成立，三角形余弦定理對四邊形推廣成功。
四面體余弦定理
把三角形類比于四面體，把三角形的邊類比于四面體的面，三角形的角類比于四面體的二面角。從形式上，可以將三角形的余弦定理推廣到四面體，得到：
（**）（其中SA表示頂點A所對面，cos
證明：根據射影定理，在四面體ABCD中：
將，即可得（**）。
高維余弦定理
一個n+1維體有n+2個n維物體構成，這些n維物體測度分別記為M1，M2，…，Mn+2，則有：
。
球面余弦定理
以O為球心，R為半徑的球面上有點A和點B，其中，球面線段AB是以О為圓心，R為半徑的劣弧AB，點A和點B的距離為該劣弧的長度。根據以上定義，可得出：S=θR（其中，S為點A和點B在球面上的距離，θ為OA和OB的夾角，R為球面半徑）。
球面上的余弦定理：在半徑為R的球上任取不共線的三點A，B，C，將它們順次連接得到一個球面三角形，其三邊分別稱為a、b、c，三個內角分別稱為，則有，該定理在天文、航海等領域中均有應用。
證明：是分別和OA，OB，OC方向相同的單位向量，為了表示，需要求出a和b在c點的切線方向。設單位向量分別是這兩個方向上的單位向量，可求出：
則
整理得。
高維球面余弦定理
對于二維的球面來說，其余弦定理為
如果令R趨近于無窮大
運用洛必達法則，可得出
則。
從該式可發現這就是二維平面的余弦定理，這說明平面是半徑趨近于無窮大的球面，平面余弦定理其實是球面余弦定理的特殊情況。類似地，n維空間的余弦定理也應該是n維球面余弦定理的特殊情況，余弦定理對于空間的維度和曲率有著特殊的意義，因而它可以被推廣到任意維度包括分數維以及任意曲面上，結合這兩種理論，甚至可以推導出任意維度，任意曲率的空間中的余弦定理。
應用
解三角形
在任意三角形中，有3條邊和3個角6個元素，已知三角形的3個元素，其中至少有一元素是邊，求出其他未知元素的過程叫作解斜三角形（或解任意三角形）。在余弦定理的表達式中，有a，b，c三條邊和一個角總計4個元素，用方程的觀點易知，已知其中3個元素，就能求出余下的第4個元素。因此，利用余弦定理，可以解決以下三類三角形問題：
舉例：已知的三邊，求的三個內角。
解：根據余弦定理，可得：
，
利用計算器計算可得。由三角形內角和定理可得：。
舉例：已知中，，求三角形的其他元素。
解：根據余弦定理，可得：
，故
由，可得
由，可得
也可由三角形內角和定理得：。
在已知兩邊一對角的條件下，利用余弦定理求第三邊的過程中，出現了關于第三邊為未知數的一元二次方程，方程根的情況決定了第三邊解的情況。如：方程沒有實數根，即第三邊不存在，就是說三角形無解；方程有一正根、一負根，即有一第三邊，就是說三角形有一解；方程有二不等的正根，即第三邊有兩種情形，就是說三角形有二解。
舉例：在中，a，b，c為角A，角B，角C的對邊，若求角A、角C和邊c。
解：由余弦定理，得
當時，由余弦定理可得；當時，由余弦定理可得。
余弦相似性度量
余弦相似度，也稱余弦距離，是用向量空間中兩個向量夾角的余弦值作為衡量兩個個體間差異的大小的度量，用以評估它們之間的相似度。余弦值落于區間[-1，1]，余弦值越接近1，表明夾角越接近0°，也就是兩個向量越相似。當兩個向量的方向完全相反時，余弦取最小值-1。
假設向量則可得：
將兩個向量拓展到n維空間，，則這兩個向量夾角余弦的計算公式如下：
。
余弦距離是在歐氏距離的基礎上提出的，相比歐氏距離，余弦距離更加注重兩個向量在方向上的差異，而非距離或長度上的差異。歐氏距離能夠體現個體數值特征的絕對差異，所以更多地用于需要從維度的數值大小中體現差異的分析，比如使用用戶行為指標來分析用戶價值的相似度或差異。余弦距離更多地從方向上區分差異，而對絕對數值不敏感，更多用來區分用戶興趣的相似度和差異。余弦距離最常見的應用就是計算文本相似度。將兩個文本根據它們的數值，建立兩個向量，計算這兩個向量的余弦值，就可以知道兩個文本在統計學方法中的相似度情況。如可利用余弦距離來比較文章、簡歷等文本的相似性從而對其分類，此外，余弦距離還可應用在如鋼種相似度評估等多維數據的比較中。
文本相似度計算示例：步驟：中文分詞→列出所有詞構成詞集→計算兩個短句的詞頻TF（term 頻率）→TF向量化，即生成每個句子的文檔向量x和y→代入計算余弦距離。
參考資料 >
代數學的的誕生.網易.2025-08-25
L’H?pital’s rule.Britannica.2023-03-01