在歐幾里得幾何（Euclidean geometry）中，平行四邊形是兩組對邊分別平行的四邊形，同時它是一個中心對稱圖形。所有的平行四邊形都是中心對稱圖形，對稱中心為平行四邊形對角線交點。
矩形、菱形、正方形都屬于特殊的平行四邊形。平行四邊形的三維對應(yīng)物是平行六面體。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）在歷史上第一個系統(tǒng)提出平行四邊形的相關(guān)理論，在其作品《幾何原本》（The Thirteen Books of Euclid's Elements）中詳細(xì)地闡述了平行四邊形的基本性質(zhì)和相關(guān)理論，部分理論一直沿用至今。平行四邊形的特性和研究在數(shù)學(xué)、物理、工程等各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。
歷史
平行四邊形屬于幾何學(xué)，而幾何學(xué)的產(chǎn)生是由于人類生產(chǎn)和生活的需要。在原始社會里，人們已經(jīng)積累了許多物體形狀和大小，以及它們的分布位置關(guān)系的知識。經(jīng)過勞動人民長期的生產(chǎn)和生活實踐，積累了許多幾何知識，并不斷地豐富起來，形成了人類知識的一個分支。中國對于幾何學(xué)也很早就有研究，在中國黑陶文化時期 (約公元前一千年)，陶器上的花紋就有菱形、正方形和圓內(nèi)接正方形等與平行四邊形相關(guān)的圖樣。2000年前，在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中方田章提出了長方形的面積公式。
古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得是歷史上第一個系統(tǒng)提出平行四邊形的相關(guān)理論的人，他的作品《幾何原本》成書于公元前300年左右，作品中詳細(xì)地闡述了平行四邊形的基本性質(zhì)和相關(guān)理論，其中的部分理論直到如今仍得到應(yīng)用。
定義
平行四邊形是兩組對邊分別平行的四邊形，同時它是一個中心對稱圖形。
平行四邊形的任意一條邊都可以作為平行四邊形的底，兩條對邊的距離稱為這個底邊上的高。如上圖，平行四邊形中，，，其中不具有公共頂點的兩條邊稱為對邊（如與，與互為對邊），具有公共頂點的兩條邊稱為鄰邊（如與，與等互為鄰邊)；頂點不在同一條邊上的兩個角稱為對角連結(jié)對角兩頂點的線段稱為對角線(如，)，頂點在同一條邊上的兩個角稱為相鄰的角（與，與等互為相鄰的角）。矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形。平行四邊形是一個中心對稱圖形，即它繞對角線和的交點O旋轉(zhuǎn)180°后，能夠和自身重合，這個交點就是平行四邊形的對稱中心。
性質(zhì)
基本性質(zhì)
1.平行四邊形的兩組對邊分別相互平行。
2.平行四邊形的兩組對邊分別相等。
3.平行四邊形的兩組對角分別相等。如圖2，如果四邊形ABCD是平行四邊形，那么∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB。
4.平行四邊形的兩條對角線互相平分。
相關(guān)證明
平行四邊形的兩條對角線互相平分的證明
由于四邊形ABCD是平行四邊形，由平行四邊形定義可知， ，
從平行線的對角相等的性質(zhì)可知，，
從平行四邊形的兩組對邊各相等的性質(zhì)中可得知，
因此可得出，所以，。
其他性質(zhì)
1.平行四邊形的相鄰兩角互為補角。
2.平行四邊形具有中心對稱的性質(zhì)。
3.平行四邊形具有不穩(wěn)定性。
4.平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心。
5.平行四邊形的對角線將平行四邊形劃分為4個面積相等的三角形。
6.平行四邊形的任意一條對角線上的中線等于另一條對角線的一半。
7.平行四邊形各邊的平方和等于兩對角線的平方和。
判定
1.凡四邊形的兩組對邊互相平行，則此四邊形為平行四邊形。
2.凡四邊形的兩組對邊分別相等，則此四邊形為平行四邊形。
3.凡四邊形的兩組對角分別相等，則此四邊形為平行四邊形。
4.凡四邊形的兩組對角線互相平分，則此四邊形為平行四邊形。
相關(guān)計算
面積
方法一
平行四邊形的面積等于底邊長度乘以高。如圖用表示平行四邊形面積，為底邊長度，為高，則即。
方法二
平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值。若用表示兩組鄰邊長，表示兩邊的夾角，表示平行四邊形的面積，則。
方法三
正切函數(shù)表示法。由于，代入方法二中，可推出。
方法四
余弦函數(shù)表示法。由于，帶入方法二中，可推出。
周長
平行四邊形的周長等于各邊長度之和。若用和分別為相鄰的兩條邊的長度，用表示平行四邊形的周長，則周長。
特殊平行四邊形
矩形
定義
有一個角為直角的平行四邊形是矩形。
性質(zhì)
1.矩形具有平行四邊形的全部性質(zhì)；
2.矩形的兩條對角線必相等；
3.矩形的四個角都是直角；
4.矩形的兩條對角線分它為兩組全等的等腰三角形； 矩形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。矩形有兩條對稱軸，分別是其對邊中點連線所在的直線。
判定
1.四個角都是直角的四邊形是矩形。
2.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形。
3.兩組對邊中點的兩條連線成軸對稱的四邊形為矩形。
菱形
定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
性質(zhì)
1.菱形有著平行四邊形的一切性質(zhì)。
2.菱形四條邊的長度都相等。
3.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。
4.菱形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。菱形有兩條對稱軸，分別是其對角線所在的直線。
判定
1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
2.兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
3.四條邊長度都相等的四邊形是菱形。
4.一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形。
正方形
定義
一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。
性質(zhì)
1.正方形是四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形，有著平行四邊形、矩形和菱形的全部性質(zhì)。
2.正方形的兩條對角線都與邊成45度角。
3.正方形共有四條對稱軸。
4.正方形的兩條對角線將正方形分為四個全等的等腰直角三角形。
判定
1.一組鄰邊相等的矩形是正方形。
2.有一個角是直角的菱形是正方形。
3.對角線互相垂直的矩形是正方形。
4.對角線相等的菱形是正方形。
應(yīng)用
平行四邊形的應(yīng)用范圍廣泛，在許多不同的領(lǐng)域和行業(yè)均有應(yīng)用到平行四邊形的性質(zhì)。
建筑設(shè)計
平行四邊形的性質(zhì)可以應(yīng)用于建筑設(shè)計中，如設(shè)計平行四邊形的房間、門窗等。
機械制造
平行四邊形的性質(zhì)可以應(yīng)用于機械制造中，如設(shè)計平行四邊形的零件、測量機械零件的平行度等。
統(tǒng)計學(xué)
平行四邊形面積的計算可以用于統(tǒng)計學(xué)中的面積計算，如計算農(nóng)田、森林、湖泊等的面積。
物理學(xué)
平行四邊形的向量運算可以應(yīng)用于物理學(xué)中的力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域。
參考資料 >