等腰三角形（Isosceles Triangle）是指至少有兩邊相等的三角形。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成‘等邊對等角’）。等腰三角形的頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。
等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；如果三角形一邊上的中線和高線重合，那么這個三角形是等腰三角形（由線段中垂線的性質即得）；如果三角形的一條角平分線與這個角對邊上的高線重合，那么這個三角形是等腰三角形。
定義
至少有兩邊相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩個底角的度數相等（簡稱“等邊對等角”）。其頂角的度數無特定限制；底邊中點與頂點的連線（即等腰三角形的高）垂直于底邊。
性質
1.等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成“等邊對等角”）。該性質可用于證明同一個三角形中的兩角相等，是幾何中證明角相等的重要依據之一。
2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（簡寫成“等腰三角形三線合一”）。該性質可用于證明線段相等、角相等或垂直關系等。
3.等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。
4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。
5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。
6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。
7.一般的等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，底邊上的高、頂角平分線或底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸。但等邊三角形（特殊的等腰三角形）有三條對稱軸。每個角的角平分線所在的直線，三條中線所在的直線，和高所在的直線就是等邊三角形的對稱軸。
8.等腰三角形中腰長的平方等于底邊上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9.等腰三角形的腰與它的高的關系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
判定的方式
定義法：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。
除了以上兩種基本方法以外，還有如下判定的方式：
分類
等腰直角三角形
1、定義
有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質，同時又具有所有直角三角形的性質。
2、關系
3、四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線。
（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等。
（2）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。
（3）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍。
（4）三角形的三條高或它們的延長線的交點叫做三角形的垂心。
（5）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。
（6）三角形斜邊上的高等于斜邊的一半。這是等腰直角三角形的特殊性質。
備注：
①三角形的內心、重心都在三角形的內部 .
②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點）。
④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。
等邊三角形
1、定義
所謂的等邊三角形，是三邊都相等的等腰三角形，是等腰三角形的一種特殊情況。
2、性質
（1）每個角都為60°，三角形三內角和等于180°。
（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。
（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊。
證明
有關問題的證明
已知：△ABC中，，且，
求證：當三角形的周長最短時，三角形是等邊三角形。
證明：
根據余弦定理
所以當時，最小
這時，周長為最短
所以當周長最短時的三角形是正三角形。
參考資料 >
第一課 三角形與四邊形.清華大學出版社.2024-01-17