垂直平分線是學(xué)科術(shù)語，是指經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，簡稱“中垂線”。
垂直平分線的性質(zhì)有：垂直平分線垂直且平分所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端的距離相等；三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等（此時以外心為圓心，外心到頂點的長度為半徑，所作的圓為此三角形的外接圓）；線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。
定義
經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又稱“中垂線”。
如圖1，N是AB的中點，過N點作MN⊥AB，則，MN為AB的垂直平分線。
性質(zhì)
(1)垂直平分線垂直且平分其所在線段
(2)垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等
(3)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等
(4)垂直平分線的判定：必須同時滿足（1）直線過線段中點;（2）直線⊥線段
垂直平分線的逆定理
逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
證明：如圖1，已知N是AB中點，MN是AB的垂直平分線，平面上一點P滿足PA=PB，證明：P在MN上
解：
∵MN是AB的垂直平分線
∴AN=BN
∵PA=PB，PN=PN
∴△PAN和△PBN全等
∴∠PNA=∠PNB
∵∠PNA+∠PNB=180°
∴∠PNA=∠PNB=90°
由于過平面上一點，有且僅有一條直線與已知垂線垂直，故P在MN上
∴該逆定理得證
判定方法
①利用定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線
②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．（即線段垂直平分線可以看成到線段兩端點距離相等的點的集合）。
作圖方法
（1）尺規(guī)作圖法
a.分別以線段的兩個端點為圓心，以大于線段的二分之一長度為半徑畫弧線，得到兩個交點(兩交點交于線段的兩側(cè))
b.連接這兩個交點
（2）度量法
（3）折紙法（折疊法）
與對稱軸
若圖形（這個圖形可以是直線的、折線的、曲線的）關(guān)于某條直線對稱，這條軸就稱為對稱軸。以五角星為例，它有五條對稱軸。
垂直平分線是存在某條線段時才會有這個概念。它的定義是經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）。它有一定的局限性。
軸對稱圖形的對稱軸是對稱圖形中任意兩個對應(yīng)點連線段的垂直平分線。
生活應(yīng)用
有A,B,C(不在同一條直線上)三個村莊，現(xiàn)要準(zhǔn)備建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個村莊的距離相等，請確定學(xué)校的位置。
解析：依次連接AB,AC,BC，作AB,BC的垂直平分線，交于一點O，則由垂直平分線性質(zhì)有OA=OB，OB=OC，故OA=OB=OC，O即為學(xué)校的位置。
參考資料 >