尺規(guī)作圖（construction with ruler and compasses，geometric construction）是指從一些已知圖形出發(fā)，僅限于用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出新的圖。這里的直尺只可以用它來(lái)將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上畫刻度；圓規(guī)只能夠拉開成之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度，并且直尺圓規(guī)都只可使用有限次。
尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，一般要求只使用圓規(guī)和直尺，并且只允許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖問題。最早提出尺規(guī)作圖是希臘人伊諾皮迪斯（Oenppedes，約公元前463年），后經(jīng)希臘哲學(xué)家柏拉圖（Plato，約公元前427～347年）大力提倡，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，約公元前330~275）又以公設(shè)的形式，明確規(guī)定尺規(guī)作圖是幾何作圖的基本公法。此外，中國(guó)古代的《史記》《周髀算經(jīng)》《墨子》等許多著作也對(duì)其有諸多的論述。
尺規(guī)作圖一般有八種基本作圖，其中包括：作一條線段等于已知線段、作一個(gè)角等于已知角等。其基本作圖方法包括過(guò)兩已知點(diǎn)可作一直線、已知圓心和半徑可作一圓等五大公法。另外，三等分角、立方倍積和化圓為方三大尺規(guī)作圖難題，一直難以取得突破。尺規(guī)作圖在器物上的大量應(yīng)用，對(duì)早期的器物設(shè)計(jì)與生產(chǎn)、建筑工程的施工都產(chǎn)生了巨大的影響，使得繪圖工具廣泛應(yīng)用于實(shí)際的繪圖過(guò)程之中。
定義
所謂尺規(guī)作圖（又稱幾何作圖）是指從一些已知圖形出發(fā)，僅限于用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出新的圖。
這里需要明確以下四點(diǎn)：
（1）尺規(guī)作圖里的直尺，只能利用直尺的一邊作出不確定長(zhǎng)度的線段、無(wú)限延長(zhǎng)一條線段或連結(jié)任意距離的兩個(gè)點(diǎn)。
（2）尺規(guī)作圖里的圓規(guī)大小是無(wú)限的，可以作出任意半徑長(zhǎng)度的圓。
（3）尺規(guī)作圖中只能用一把直尺和一個(gè)圓規(guī)。
（4）尺規(guī)作圖的作圖過(guò)程必須是可以窮盡的，必須要在有限步驟內(nèi)完成。
歷史
西方
在歷史上，最先明確提出尺規(guī)限制的是希臘的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家伊諾皮迪斯（Oenopides ，約公元前463年）。他發(fā)現(xiàn)了一種在已知直線的已知點(diǎn)上作一角與已知角相等的作圖法，這是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決的一個(gè)問題。此后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約，并被總結(jié)在歐幾里得的《幾何原本》之中。這是數(shù)學(xué)公理化最早的典范，極大的影響了后世自然科學(xué)的發(fā)展。
歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)作圖工具的限制，很大程度上接受了伊諾皮迪斯的思想——作圖工具只允許用直尺和圓規(guī)。并把它們的效能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述出來(lái)，這對(duì)以后研究作圖影響很大。
自從《幾何原本》問世之后，基本圍繞三大難題研究作圖。從現(xiàn)存資料來(lái)看，數(shù)學(xué)家注意到三大難題由來(lái)已久。埃及希臘的數(shù)學(xué)家很可能嘗試過(guò)用尺規(guī)作三大難題，遇到了困難，于是轉(zhuǎn)向?qū)ふ伊硗夥椒ń馊箅y題。
關(guān)于圓積化方（化圓為方）問題，最早記載著作圖問題的著作要算英國(guó)人蘭德（Rhind）1858年獲得的紙草書（埃及，Ahames的著作，約公元前2000-1700年），其中記載了圓積化方問題，他以圓直徑的為邊，作成一正方形，以其面積作為該圓的面積。這也是一種作圖法。其次，是希臘數(shù)學(xué)家希波克拉蒂斯（Hippocrates，約公元前466年）解圓積化方問題時(shí)，用比例中項(xiàng)求出正方形一邊，作成一正方形，其面積作為圓面積。15世紀(jì)，意大利的列奧納多·達(dá)·芬奇（Leonardo davinci）利用2πr和為邊作成一矩形，其面積等于r為半徑的圓面積，再將此矩形作等積變形，轉(zhuǎn)化為正方形，即得圓積化方問題。日本林鶴一在他的《初等兒何學(xué)作圖不能問題》一書（漢譯本，1957年）中，附錄四的最后，介紹他的圓積化方作圖法。
關(guān)于二倍立方體（立方倍積）。阿爾契塔（Archytas，約公元前428-347年）用直圓柱及射影方法解決了二倍立方體問題。尼克米德（Nicomeds，約公元前250年）利用他自己發(fā)現(xiàn)的蚌線（Conchoid），稽烏克萊斯克用他發(fā)現(xiàn)的蔓葉線（Cissoid）解決了二倍立方體問題。阿波羅尼斯（AppolloNius，公元前260-170年）以及牛頓（Newton，公元1642-1727）先后都用不同方法作出了二倍立方體。
還有許多數(shù)學(xué)家不用尺規(guī)，而用其它方法解決了三等分角問題。如，希臘有名的數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家阿基米德（Archimedes公元前287-212年），從表面看來(lái)他用尺規(guī)解決了三等分角問題，實(shí)際上他用的直尺是有刻度的，不符合歐幾里得的規(guī)定，雖然解決了三等分角問題，用的不是歐氏的直尺，海倍阿斯（Hippias，約公元前420年）利用他自己給出的一種超越曲線解決了三等分角作圖。尼克米德利用他的蚌線不但解決了二倍立方體作圖，也解決了三等分角作圖。到了近代，巴斯卡（Pascal，公元1588-1651年）利用巴斯卡線（羅貝爾格稱為巴斯卡的蚌線），牛頓也利用離心率為2的雙曲線分別解決了三等分角問題。
中國(guó)
“規(guī)”其實(shí)就是圓規(guī)，它是用來(lái)畫圓的工具，在中國(guó)古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字?！熬亍本拖瘳F(xiàn)在木工使用的角尺，由長(zhǎng)短兩尺相交成直角而成，兩者之間用木杠連接以使其牢固，其中的短尺就叫勾，長(zhǎng)尺叫股。
矩的使用是中國(guó)古代的一項(xiàng)發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲手執(zhí)矩，女媧手執(zhí)規(guī)”之圖形。矩不僅可以畫直線、直角，如果加上刻度就可以用來(lái)測(cè)量，它還可以代替圓規(guī)。而且甲骨文中也有矩字，如果追溯的話大概都到大禹治水（也就是公元前2000年）前。
《史記》在卷二記載了大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”。趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢(shì)，……乃勾股之所由生也”其意思就是如果大禹治洪水，那么必須要測(cè)量地勢(shì)的高低，這樣的話就必定要用勾股的道理。這也說(shuō)明了矩其實(shí)起源于很遠(yuǎn)的中國(guó)古代。在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期也有許多著作涉及了規(guī)矩的論述，《墨子》卷七中說(shuō)“輪匠（制造車子的工匠）執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓?！薄?a href="/hebeideji/7166092741809127460.html">孟子》卷四中說(shuō)“離婁之明，魯班之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓。”由此就可以看出，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，在作圖、制作器具中規(guī)矩已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用了。因?yàn)橹袊?guó)古代的矩上已經(jīng)有刻度，具有較大的實(shí)用性，所以它使用的范圍比較廣。
八種基本作圖
作一條線段等于已知線段
已知：線段。
求作：線段。
作法（見圖3.1）：
①作任意一條直線，并在上任取一點(diǎn)；
②用圓規(guī)量出長(zhǎng)度，把圓規(guī)的一腳尖與點(diǎn)重合，另一腳尖落在直線上的點(diǎn)，則為所求作的線段。
作一個(gè)角等于已知角
已知：。
求作：。
作法（見圖3.2）：
①作射線；
②分別以為圓心，以任意的等長(zhǎng)為半徑作弧和弧，弧交邊于兩點(diǎn)，弧交射線于；
③以為圓心、的長(zhǎng)度為半徑作弧交弧于；
④過(guò)作射線，則為所求作。
作已知線段的垂直平分線
作出已知線段AB的垂直平分線。具體做法是：分別以A和B為圓心，用圓規(guī)作兩個(gè)相交圓，再用直尺連接圓的兩個(gè)交點(diǎn)，就得到AB的垂直平分線和中點(diǎn)。
作已知角的角平分線
作已知的角平分線，具體的做法是：設(shè)和長(zhǎng)度相等（若不然，可以通過(guò)以為圓心，用圓規(guī)以定長(zhǎng)為半徑，在兩射線上截出兩點(diǎn)，也就是圓與射線的交點(diǎn)，代替和）。分別以和為圓心，用圓規(guī)作半徑相等的兩個(gè)圓交于。最后用直尺連接和，就得到的角平分線。
若在坐標(biāo)系下考慮，以為原點(diǎn)，以作為軸的正向，的長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，建立坐標(biāo)系。
設(shè)已知，則三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（見圖3.4），用尺規(guī)作出的點(diǎn)的坐標(biāo)為（為某個(gè)給定的數(shù)）
就相當(dāng)于根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)作出點(diǎn)的坐標(biāo)，或者說(shuō)根據(jù)給常數(shù)用尺規(guī)作出新的數(shù)。
過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線
設(shè)為給定的無(wú)限直線，且設(shè)已知點(diǎn)不在它上。要求由點(diǎn)作無(wú)限直線的垂線。
步驟：
①設(shè)在直線的另一側(cè)任取一點(diǎn)。
②且以點(diǎn)為圓心，以為半徑距離作圓，交直線于兩點(diǎn)。
③設(shè)線段被點(diǎn)二等分，連接與，從而得到垂直于。
已知一角、一邊作等腰三角形
已知：及線段。
求作：，使，且，高。
作法（見圖3.6）：
①作的角平分線；
②在上截取，使；
③過(guò)作的垂線，分別與交于，為所求的等腰三角形。
已知三邊作三角形
已知：線段和。
求作：以線段為邊長(zhǎng)的。
作法（見圖3.7）：
①作線段，分別以為圓心，以線段的長(zhǎng)度為半徑作弧交于點(diǎn)；
②連接，則為所求作的三角形。
已知兩角、一邊作三角形
已知：角、以及所對(duì)邊。
求作：；使。
作法（見圖3.8）：
①作，在上截取；
②以為角的頂點(diǎn)、為角的始邊，作（實(shí)際是以為始邊作），交于，則為所求作的三角形。
五大公法
為了在智力上追求奧運(yùn)會(huì)精神，古希臘人對(duì)作圖工具加以限制，這種限制要求作圖工具越簡(jiǎn)單可行越好，于是就想到了只使用最基本的作圖工具即直尺與圓規(guī)，同時(shí)限定了一些使用方式，最終形成了尺規(guī)作圖五大公法：
① 過(guò)兩已知點(diǎn)可作一直線；
②已知圓心和半徑可作一圓；
③ 已知兩直線相交可求其交點(diǎn)；
④ 已知一直線與一圓相交，可求其交點(diǎn)；
⑤已知兩圓相交，可求其交點(diǎn)。
五大公法的關(guān)鍵在于后面三個(gè)，即需要確定“線與線、線與圓、圓與圓”的交點(diǎn)，而從代數(shù)上看，直線和圓可分別用二元一次方程及二元二次方程來(lái)表示，因此求交點(diǎn)坐標(biāo)只會(huì)用到有限次的四則運(yùn)算和開平方運(yùn)算，即尺規(guī)作圖相當(dāng)于代數(shù)中的五則運(yùn)算。
作圖的代數(shù)表示
實(shí)現(xiàn)已知數(shù)的四則運(yùn)算
即任給兩個(gè)數(shù)和，用尺規(guī)可以作出，這里r是任意有理數(shù)。
（i）
給定兩個(gè)正實(shí)數(shù)和分別代表兩條線段的長(zhǎng)度，用直尺畫一條數(shù)軸用圓規(guī)依次向數(shù)軸正向標(biāo)出距離，則線段的長(zhǎng)度就是。若沿方向接連標(biāo)出距離，則可作長(zhǎng)度為的線段。
若沿相反方向標(biāo)出距離，則。
所以兩個(gè)正實(shí)數(shù)和之間的加、減法可由尺規(guī)作圖來(lái)實(shí)現(xiàn)。若中有負(fù)數(shù)，仍然以其絕對(duì)值為線段長(zhǎng)度，只是在數(shù)軸上丈量時(shí)，取數(shù)軸正向的反方向即可。
（ii）
設(shè)為正整數(shù)，。過(guò)作另一條線段，使得（也就是數(shù)軸上單位長(zhǎng)度的倍）。在上取一點(diǎn)使得。連接，并過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，因此與相似，所以這樣得（見下圖5.1）。
再將擴(kuò)大倍（為正整數(shù)），就得到長(zhǎng)度為的線段。
（iii）
在任意角的兩邊分別標(biāo)出距離，在上作。連接，并過(guò)點(diǎn)作的平行線交（或延長(zhǎng)線）于。則（見下圖5.2）。
在任意角的兩邊分別標(biāo)出距離，且在上標(biāo)出，過(guò)作平行于的直線交（或延長(zhǎng)線）于，則OC=（見下圖5.3）。
作出已知數(shù)的平方根
設(shè)（不妨設(shè)）是已知數(shù)，在直線上標(biāo)出距離以及使得是的中點(diǎn)。
作線段OB的中點(diǎn)，并以此為圓心，OB為直徑作圓：再作B'B的垂直平分線，該垂直平分線過(guò)A并交圓于C（見下圖5.4）。不難看出和相似。因此由得，因此，用尺規(guī)可作出已知正數(shù)d的平方根。
現(xiàn)在，從下出發(fā)，取，作出。再?gòu)暮统霭l(fā)，進(jìn)而可以用尺規(guī)作出所有下列形式的數(shù)：
。
例如取，就得到比有理數(shù)域范圍更廣的數(shù)。
示例
示例1
求作：線段的黃金分割點(diǎn)。
作法：
①在白紙上畫出一條線段。過(guò)點(diǎn)作的垂線；
②用圓規(guī)在垂線上截取，連接；
③用圓規(guī)以為圓心，以的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于點(diǎn)；
④用圓規(guī)以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于點(diǎn)；
點(diǎn)即為線段的黃金分割點(diǎn)。
示例2
求作：正四邊形
①以為圓心作圓；
②過(guò)點(diǎn)作直線，交于圓于兩點(diǎn)；
③分別取兩點(diǎn)作圓心畫圓，得到圓、圓，且圓與圓半徑相等，大于圓半徑；
④連接圓、圓相交點(diǎn)，得直線垂直并交于圓于兩點(diǎn)；
⑤連接得到正四邊形。
著名問題
三大難題
早在古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)家們就發(fā)現(xiàn)了一些尺規(guī)作圖難題，比如已經(jīng)被高斯解決的正十七邊形尺規(guī)作圖問題，但是有三大難題一直難以取得突破，它們就是：
（1）三等分角問題，即把任意一個(gè)已知角三等分；
（2）立方倍積問題，即求作一個(gè)立方體，使它的體積等于已知立方體體積的2倍；
（3）化圓為方問題，即求作一個(gè)正方形，使它的面積等于一個(gè)已知圓的面積。
在2400年前的古希臘就已經(jīng)有人提出了以上這三個(gè)問題，可是在歐幾里得幾何學(xué)的限制下，上面這三個(gè)問題是不可能解決的。直到1837年，法國(guó)數(shù)學(xué)家萬(wàn)芝爾首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規(guī)作圖不能問題。之后，在1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明π是超越數(shù)后，“化圓為方”也被證明為尺規(guī)作圖不能問題。
正多邊形作法
只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形。
只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形。
只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形——這個(gè)問題看上去很簡(jiǎn)單，可是它卻曾經(jīng)讓許多著名的數(shù)學(xué)家們都束手無(wú)策，正七邊形是不能夠用尺規(guī)作出的。
只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，這個(gè)圖也是作不出來(lái)的，因?yàn)橹挥兄背吆蛨A規(guī)，不足以把一個(gè)角分成三等份。
問題得到解決，是高斯在大學(xué)二年級(jí)的時(shí)候得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并且給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的自然數(shù)次方和不同的費(fèi)馬數(shù)的積，正是他解決了2000 年來(lái)懸而未決的難題。
四等分圓周
只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周4等分，這個(gè)問題傳言是拿破侖·波拿巴（Napoléon Bonaparte）給出的，他這個(gè)問題是向全法國(guó)的數(shù)學(xué)家提出的挑戰(zhàn)。
相關(guān)概念
單尺作圖
單尺作圖是指單用一把沒有刻度的直尺作為工具的幾何作圖。直尺的作圖功能可分解為：
（1）過(guò)一定點(diǎn)向隨意方向作一條直線；
（2）過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)作一條直線；
（3）延長(zhǎng)某一線段。
解決單尺作圖問題的一般方法是利用圖形的幾何性質(zhì)。
單規(guī)作圖
只許用圓規(guī)畫圖的作圖方法叫做單規(guī)作圖。單規(guī)作圖不但能解上面這樣的簡(jiǎn)單作圖題，還能解決許多復(fù)雜的作圖問題。18世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家馬斯開隆尼（L.Mascheroni）證明了一個(gè)著名定理：凡是直尺和圓規(guī)作圖能畫出的幾何圖形，都能用單規(guī)作圖畫出來(lái)。但是，用單規(guī)作圖畫六線，只是畫出了直線上指定的點(diǎn)。
生銹圓規(guī)作圖
只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形，已知兩點(diǎn)，找出一點(diǎn)使得；已知兩點(diǎn)，只用半徑固定的圓規(guī)，求作使是線段的中點(diǎn)。
古希臘人按“盡可能簡(jiǎn)單”這個(gè)思想出發(fā)想出了尺規(guī)作圖，也正是順著這思路有了更簡(jiǎn)潔的表達(dá)。
在10世紀(jì)的時(shí)候，就有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)來(lái)作圖。到1672年，有人證明：如果把“作直線”解釋為“作出直線上的2點(diǎn)”，那么只要是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出。從已知點(diǎn)作出新點(diǎn)的幾種情況：兩弧交點(diǎn)、直線與弧交點(diǎn)、兩直線交點(diǎn)，在已經(jīng)有了一個(gè)圓的情況下，只要是尺規(guī)能作的，僅用直尺也能夠作出。
二刻尺作圖
設(shè)已知，以O(shè)為圓心作任意一個(gè)圓（如圖8.1）。如果線段AB等于圓的半徑，設(shè)，則，，由此得出用刻度直尺三等分任意角的方法。
在一根直尺上畫出刻度，使等于圓的半徑，移動(dòng)直尺保持點(diǎn)在直線上。如果點(diǎn)落在圓上，則這時(shí)就是巳知角的，再將移到已知角的一個(gè)邊上就作出它的三等分線。這個(gè)作圖方法是阿基米德作出的。
影響
工程尺規(guī)作圖是工程制圖的先決條件，中國(guó)古代尺規(guī)作圖在器物上的大量應(yīng)用，促進(jìn)了人們對(duì)繪圖方法、幾何理論的研究與應(yīng)用以及繪制工具的改進(jìn)。這對(duì)早期的器物設(shè)計(jì)與生產(chǎn)、建筑工程的施工都產(chǎn)生了巨大的影響，并形成了一定的繪制標(biāo)準(zhǔn)，而且使得繪圖工具廣泛應(yīng)用于實(shí)際的繪圖過(guò)程之中。例如，建筑設(shè)計(jì)的最終表現(xiàn)成果是工程圖紙，制圖和繪畫是建筑工程技術(shù)人員表達(dá)設(shè)計(jì)意圖、交流技術(shù)、指導(dǎo)生產(chǎn)施工等必備的基本知識(shí)和技能，施工圖設(shè)計(jì)常用制圖與繪圖方法有尺規(guī)作圖（手工繪圖）和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（計(jì)算機(jī)繪圖）兩種。在信息技術(shù)不發(fā)達(dá)的年代，施工圖的制圖與繪圖采用尺規(guī)作圖，尺規(guī)作圖作為建筑設(shè)計(jì)專業(yè)學(xué)生的一項(xiàng)重要職業(yè)技能被各學(xué)校加入了教學(xué)日程，滿足了建筑設(shè)計(jì)的需要。
參考資料 >