正十七邊形，幾何學術語，約翰·卡爾·弗里德里希·高斯于1796年證明正十七邊形可以用尺規作圖法作出。正十七邊形的每個內角約為158.8235294117647°，其內角和為2700°，有119條對角線，外角和為360°。
起源
正十七邊形可以用尺規作出來，這是高斯1796年19歲時證明的。這是正多邊形尺規作圖兩千年來頭一次有所突破——換句話說，上一次人們發現新的正多邊形尺規作圖法還是在古希臘。但是，高斯本人實際上并不會做正十七邊形。第一個正十七邊形尺規作圖法是在1825年由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出。
證明
高斯知道，如果一個正多邊形內角的三角函數能用加減乘除和開平方表達出來，那就意味著這個正多邊形能用尺規作出來。（尺規等價于只使用圓和直線的交點作圖，直線的表達式是二元一次方程，圓的表達式是二元二次方程，所以只用到了加減乘除和開平方）而他又證明了，只要正多邊形的邊數n是皮耶·德·費瑪素數，那么就能這么表達。當時人們已經知道前五個費馬素數是3、5、17、257和65537，所以高斯等于一舉證明了這五種正多邊形都是尺規可作的。
先計算或作出
設正17邊形中心角為a，則,即
故，而
因不等于0，兩邊除之有：
又由(三角函數積化和差公式)等
注意到(誘導公式)等，有
令：
有：
又
=
經計算知
因而：,
其次再設：
故有
最后，由
可求cosa之表達式,
它是有理數的加減乘除平方根的組合, 故正17邊形可用尺規作出。
尺規作圖步驟
1、以O為圓心作一個圓，在圓周上任取一點P1作為正十七邊形的第一個頂點；
2、畫出直徑OP1，并作另一條半徑OB垂直于OP1；
3、把OB四等分，得到J點；
4、連接JP1，作角OJP1的四等分線JE；
5、作一個45度角EJF；
6、以FP1為直徑作半圓，交OB于K點；
7、以E為圓心，EK為半徑作半圓，交直徑OP1于N4點；
8、從N4點作OP1的垂線，這條垂線跟圓的交點就是正十七邊形的第四個頂點P4；
9、有了P4剩下的頂點就都可以找到了，很容易，以P1P4為半徑去截圓周，就依次得到全部頂點。
參考資料 >
趣味知識 | 正十七邊形尺規作圖.微信公眾號.2025-02-04
如何用一張1×1的紙折出正七邊形？.百家號.2025-02-04