正多邊形是指二維平面內各邊相等，各角也相等的多邊形，也叫正多角形。
定義
各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。
正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。
正多邊形的外接圓的半徑叫做半徑。
中心到圓內切正多邊形各邊的距離叫做邊心距。
正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，這個圓心角叫做正多邊形的中心角。
有關計算
外接圓
把圓分為等份，依次連接各分點所得的多邊形就是這個圓的內接正n邊形，也就是正n邊形的外接圓。邊長為a的正n多邊形的半徑。
內切圓
把圓分為等份，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形就是這個圓的外切正m邊形，也就是正m邊形的內切圓。邊長為a的正m邊形的邊心距。
內角
正n邊形的內角和度數為：（n－2)×180°；正n邊形的一個內角是（n－2)×180°÷n。
外角
正n邊形外角和等于
所以正n邊形的一個外角為：.
所以正n邊形的一個內角也可以用這個公式：.
中心角
任何一個正多邊形，都可作一個外接圓，多邊形的中心就是所作外接圓的圓心，所以每條邊的中心角，實際上就是這條邊所對的弧的圓心角，因此這個角就是360度÷邊數。
正多邊形中心角：
因此可證明，正n邊形中，對角線
在一個正多邊形中，所有的頂點可以與除了他相鄰的兩個頂點的其他頂點連線，就成了頂點數減2（2是那兩個相鄰的點）個三角形。三角形內角和：180度，所以把邊數減2乘上180度，就是這個正多邊形的內角和。
對角線數量的計算公式：。
面積
設正n邊形的半徑為R，邊長為an，中心角為αn，邊心距為rn，則，周長，面積。
對稱軸
正多邊形的對稱軸——
奇數邊：連接一個頂點和頂點所對的邊的中點的線段所在的直線，即為對稱軸；
偶數邊：連接相對的兩個邊的中點，或者連接相對稱的兩個頂點的線段所在的直線，都是對稱軸。
正n邊形的邊數、角數和對稱軸數均等于n。當邊數n為偶數時，正n邊形同時也是中心對稱圖形。
鑲嵌規律
在正多邊形中，只有三種能用來鋪滿一個平面而中間沒有空隙，就是等邊三角形、正方形、正六邊形。因為正三角形的每一個角等于60度，六個正三角形拼在一起時，在公共頂點上的六個角之和等于360度；正方形的每個角等于90度，所以四個正方形拼在一起時，在公共頂點上四個角的和也剛好等于360度；正六邊形的每個角等于120度，三個正六邊形拼在一起時，在公共頂點上的三個角之和也等于360度。
如果用別的正多邊形，就不能達到這個要求。例如：正五邊形的每只角等于108度，把三個正五邊形拼在一起，在公共頂點上三個角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。而空隙處又放不下第四個正五邊形，因為108度*4=432度，大于360度。
尺規作圖
直尺、劃規和量角器可以畫出任意正多邊形。但是在古希臘時，作圖只使用沒有刻度的直尺（unmarked ruler）和圓規（兩腳規）。用尺規作正偶邊形如等正多邊形并非難事。但對正奇邊形如3,5,7,9,11,13,15等的作圖，在當時是件困難的事，而且并非全都可以作圖成功。 1798年，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯只有19歲，他成功的以圓規直尺做出一個正十七邊形，[1801年數學家高斯證明：如果費馬數k為質數，那么就可以用直尺和圓規將圓周k等分。但是，高斯本人實際上并不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）]給出。并證明了正多邊形的邊數只有是皮耶·德·費瑪質數或不同的費馬質數乘積才可以尺規作圖出來，當高斯去世后，人們為了紀念這位偉大的數學家，在他的故鄉(Brunschweig)的紀念碑上刻了一個正17邊形。
參考資料 >