自然數（英文：Natural Number）也稱非負整數，即，用字母N表示由全體自然數構成的集合。自然數在數學上的嚴格定義基于兩種等價的理論，序數理論和基數理論。
序數理論的定義基于Peano公理，指自然數集N滿足歸納公理的條件：的任一子集若包含1且若包含任一元素則必包含，那么它必是整個集合。基數理論則源于集合論，是把一個數等價于它前面的元素組成的集合，則自然數集滿足無窮公理：一定有這樣的集合，它包含空集且集合中任一元素和它的后繼均在集合中，這樣的稱為自然數集。
自然數概念的發展長久而漸進。人們在生活中萌生了數的概念，古埃及人創造了象形文字記錄十進制數的方法，畢達哥拉斯學派對數字的抽象概念進行了系統的研究。進入19世紀，對數學理論的公理化嚴密化是重要內容，意大利數學家皮亞諾和德國數學家格奧爾格·康托爾在自然數的嚴格定義上做出貢獻。
自然數可分為奇數和偶數、素數和合數。自然數具有加法、乘法和順序的一系列性質。最小自然數原理和最大自然數原理是自然數在數論中的重要結論。
自然數的基數性、序數性和運算是其主要的應用。除此之外，自然數對集合論、數論的構建有著無可替代的作用，對計算機技術也有一系列應用。
定義
自然數的嚴格定義基于兩種理論：意大利數學家朱塞佩·皮亞諾（意大利語：Giuseppe Peano）的序數理論和德國數學家格奧爾格·康托爾（德語：Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）的基數理論。
序數理論
皮亞諾公理
設是一個非空集合，滿足以下條件：
（1）對每一個元素，一定有唯一的一個中的元素與之對應，這個元素記作，稱為的后繼元素（或后繼）。
（2）有元素，它不是中任一元素的后繼。
（3）中的任意一個元素至多是一個元素的后繼，即從，一定可推出。
（4）（歸納公理）設是的一個子集合，。如果，必有，那么。
這樣的集合稱為自然數的集合，它的元素稱為自然數。
基數理論
自然數的序數理論是用集合來表示自然數。有0個元素的集合只有。有1個元素的集合有無窮多個，為表示方便，我們令，以此類推可得到：
對任意集合，稱為的后繼，記為或。
歸納集的定義是如果一個集合滿足：，則稱為歸納集。
無窮公理是說一定有這樣的集合，它包含空集且集合中任一元素和它的后繼均在集合中。可見，無窮公理就等價于：存在一個歸納集。故而，全體自然數的集合定義為：的元素稱為自然數。
符號表示
作為表示自然數集的符號最早是1889年皮亞諾在他的《算術原理：用一種新方法的說明》（意大利語：Arithmetices principia, nova methodo exposita）中出現的，一直沿用至今。根據0是否在其中，自然數集中也有不同的寫法。集內排除0的集，應上標*號或下標+號，例如或。
歷史發展
自然數概念的發展，是一個漫長而漸進的過程。最開始“數”的概念是作為日常生活的一部分而產生的，在不斷認識事物間的差異和同一性的同時，科學和數學就慢慢誕生了出來。起初是模糊的，最多只有1、2和2以上的概念。后來人們使用了手指、腳趾、石頭堆來表達和記錄數字，為了方便保存，也在木棒或骨頭上劃下刻痕。公元前約三千年，古埃及人已經可以使用象形文字表達基于十進制的數字了。古巴比倫人發明了位置計數法，這使得他們對較大自然數的書寫更為簡便。古希臘畢達哥拉斯學派（英文：Pythagoras）對數字的抽象概念進行了系統的研究，他們研究了三角形數、多邊形數、質數、遞進數列等，自然數在這一期間得到了長足的發展，自此以后便成為了數學上的?？?。
自然數作為名詞第一次出現是1763年在威廉·愛默生（英文：William Emerson）寫的《增量法》（英文：The method of increments）中。在1771年的《不列顛百科全書》（英文：Encyclopaedia Britannica）中收錄了自然數，并被定義為數字1,2,3,4,5等。
時間來到19世紀，代數這門科學逐漸在力學、物理學以及數學本身的廣泛應用，這迫使人們對代數進行更深層次的架構，提高數學基礎邏輯的嚴密性。法國數學家亨利·龐加萊（法語：Henri Poincaré）推動了公理化的進程。自然數的現代定義應運而生。自然數的嚴格定義分為兩類，一種是序數理論，一種是基數理論。前者是由美國哲學家查爾斯·皮爾士（英文：Charles Sanders Peirce）引入，德國數學家尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（德語：Julius Wilhelm Richard Dedekind）完善，皮亞諾進一步探索得出。后者則基于集合論。1874 年，格奧爾格·康托爾發表了第一篇關于集合論的論文《論一切實代數數的一個性質》（英文：On a characteristic property of all real algebraic numbers），標志著集合論正式誕生。一開始人們對自然數集的定義是不嚴密的，最終導致了羅素悖論等一眾悖論的誕生。隨著集合公理化的發展，悖論也隨之消失，自然數集的集合論定義也重新嚴密了起來?；诩险摰臉嫿ù蟾庞腥N方法。一種是1908年德國數學家恩斯特·弗里德里希·費狄南·策梅洛（德語：Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）提出的逐次構造單元集方案，一種是美籍匈牙利數學家約翰·馮·諾依曼（匈牙利語：John von Neumann）提出的較小自然數集的方案，還有一種是集合論的后繼封閉下的歸納集方案。人們一般應用最后一種歸納集方案作為自然數的基數理論表達方式。
性質
需要說明的是，以下介紹的性質中，自然數集都默認不包含0。如果包含0，也就是將皮亞諾公理的規定成0，那么只是性質的形式會略有變化。
一般性質
性質1
對任意的，有
證明
中所有使得成立的元素組成的子集記作。由皮亞諾公理（2）知，所以，非空。若，即，我們來證明必有。若不然，則有，由此及皮亞諾公理（3）推出，矛盾。因此，由皮亞諾公理（4）（歸納公理）推出，證畢。
性質2
設那么必有，使得，即中每個不等于的元素必是某個元素的后繼，是唯一沒有后繼的元素。此外，這個元素是唯一的，記作，稱為的前導元素（或前導）。
證明
設集合由中所有這樣的元素組成：必是某個元素的后繼。因為有，所以非空。設并集。顯然，。若，由的定義知，因而。由歸納公理就推出。因此，若，就必有。這就證明了性質2的前半部分。由皮亞諾公理（3）可推出性質2的后半部分。
以上兩個性質的證明方法實際上就是通常所說的歸納法，它基于歸納公理。一般的歸納法可表述如下：
歸納證明原理
設是關于自然數的一種性質或命題。如果當時，成立以及由成立必可推出成立，那么對所有的都成立。
證明
設是由使成立的所有組成的集合。由條件知，且當時，必有。因此由歸納公理知歸納證明原理成立。證畢。
以上三條性質略顯抽象，因為是基于皮亞諾公理定義的自然數集合這一抽象模型推出來的性質。下面便開始介紹我們熟悉的加法、乘法及順序的性質。在這之前我們先引進集合上二元運算的概念。
二元運算：設是一個集合，它的有序對組成的集合，即乘積集合是。
從集合到集合的一個映射稱為上的一個二元運算。也就是說，對任意兩個元素，有序對按規律對應于中一個唯一確定的元素，記作或。二元運算稱為結合的，如果對任意，有
二元運算稱為交換的，如果對任意的，有。
加法運算的性質
加法的定義，在自然數集合上一定存在唯一的一個二元運算，滿足條件：
（1）對任意的，有
（2）對任意的，有
我們稱這個二元運算為自然數集合N上的加法運算（或加法），記作。
加法運算的一般性質
性質1
對任意的，有
性質2
對任意的，以下三種情形有且僅有一種成立
（1）
（2）存在，使得
（3）存在，使得
加法結合律
對任意的，有
證明
當時，對任意的由加法的定義得
此時加法結合律式子成立。假設式子對某個及任意的成立，那么當時，對任意的就有
即對及任意的也成立。由歸納證明原理就證明了結論。
加法交換律
對任意的，有
證明
先證，對任意的，有。當時，上式顯然成立。假設時上式成立，則當時得
從而由歸納證明原理，上式成立。
上式成立意味著，當時對任意的成立。假設當時，對任意的成立，當時，對任意的，可得
從而也成立。所以，由歸納證明原理就得到了結論。
加法相消律
設，若，則
證明
先證結論當時成立。如果有，則由，所以。由皮亞諾公理（3）推出，所以時結論成立。假設當時結論成立。當時，若有，則可得到。由此及皮亞諾公理（3）知，進而由假設知，即結論對也成立。因此，由歸納證明原理就證明了所要結論。
乘法運算的性質
乘法的定義：在自然數集合上一定存在唯一的一個二元運算，滿足條件：
（1）對任意的，有
（2）對任意的，有
我們稱這個二元運算為自然數集合N上的乘法運算（或乘法），記作。
乘法運算的一般性質
對任意的，有
證明
對用歸納證明原理證明。當時，由乘法定義知結論成立。假設當時結論成立，則當時，由乘法定義及加法定義得。所以，結論也成立。證畢。
乘法交換律
對任意，有
證明
對用歸納證明原理證明。當時，與乘法性質2相同，結論成立。假設當時結論成立，那么當時，由加法定義及乘法定義得到。所以結論也成立。證畢。
乘法結合律
對任意的，有
證明
對用歸納證明原理證明。當時，由乘法定義得，所以結論成立。假設當時結論成立。那么當時，可得
所以結論也成立。證畢。
乘法左右分配率
對任意的，有
證明
對用歸納證明原理證明。當時，由乘法定義得
所以結論成立。假設當時結論成立，那么，當時，由乘法定義及加法的交換律與結合律可得
所以結論對也成立。證畢。乘法左分配率同理可證。
乘法左右相消律
對任意的，從成立可推出
證明
用反證法。若，則必有，或成立。不妨設成立，則有
而由加法性質知這是不可能的，矛盾。證畢。乘法左相消律同理可證。
順序的性質
順序（大?。┑亩x：對給定的，如果存在，使得，那么稱在之后（或在之前），也稱大于（或小于），記作或
性質1
對任意的，以下三式有且僅有一式成立：
性質2
對任意的，有
性質3
對任意的，有，即有或成立。
性質4
由可推出
性質5
性質6
性質7
對任意的，不存在，使得。
最小自然數原理
自然數集合的任一非空子集必有最小元素存在，即存在自然數，使對任意的，必有。
證明
考慮由所有這樣的自然數組成的集合：對任意的，必有。而，所以非空。此外，若（非空，所以必有），則，所以。再由歸納公理即可推出：必有使得。下面證明這一必屬于。若不然，由集合的定義知，對任意的，必有成立。從而可知對任意的，必有，因而由定義知，矛盾。取就證明了定理。
最大自然數原理
設是自然數集合的非空子集。若有上界，即存在,使得對任意的，有，那么必有，使得對任意的，有，即是M中的最大自然數。
證明
考慮由所有這樣的自然數t組成的集合：對任意的，必有，由條件知，所以非空。從而中有最小自然數存在，設為。我們來證明。若不然，對任意的，必有。而，因而知存在。從而對任意的，有，所以。由此即得，這表明。但，這和的最小性矛盾。取。
分類
奇數和偶數
能被2整除的整數稱為偶數，其他整數稱為奇數。比如，4是偶數、5是奇數。
素數和合數
自然數除1和自身之外別無約數，那么就稱這個數為不可約數，也叫作素數。不是素數的數稱為合數。比如，4是合數、5是素數。關于素數和合數有如下結論：
設自然數，那么一定可以表示為素數的乘積（包括本身是不可約數），即 ，其中是素數。所以，素數有無窮多個，例如1、2均是素數。
衍生概念
最小自然數原理和歸納公理的關系
最小自然數原理不可推出歸納公理，因為大小關系是在皮亞諾公理（它包括歸納公理）的基礎上引進并證明關于它的性質的，所以，在由最小自然數原理推出歸納公理時，關于“大小”的概念是未加定義的。華羅庚的《數學歸納法》和羅森（英文：Rosen K H）的《初等數論及其應用》（英文：Elementary number theory and its applications）都犯了這個錯誤。
事實上歸納公理和下面的非后繼元素原理等價：設是的一個非空子集，則必有，使得不是中的任一元素的后繼，并且當時，是中的唯一具有這樣性質的元素。
歸納原理是數學歸納法（也就是歸納證明原理）的基礎。最小自然數原理和第二種數學歸納法是等價的。第二種數學歸納法為：
設是關于自然數的一種性質或命題。如果
（1）當時，成立；
（2）對，若對所有的自然數，成立，則必可推出成立
那么對所有自然數成立。
抽屜原理（鴿巢原理、狄利克雷原理）
設n是一個自然數?，F有n個盒子和n+1個物體。無論怎樣把這n+1個物體放入這n個盒子中，一定有一個盒子中被放了兩個或兩個以上的物體。
證明
假設結論不成立，即每個盒子中至多有一個物體，那么，這個盒子中總共有的物體個數小于等于。這和有個物體放到了這個盒子中相矛盾。證畢。
鴿巢原理是初等數論中常用的工具。
自然數的勢以及連續統假設
某個與自然數集對等的集合稱為可數集合或可列集合，它的基數記作，讀作“阿列夫零”。若一個集合的勢大于可數集的勢，則稱它為不可數集。區間便是一個不可數集。我們稱這樣的集合為不可數集或不可列集，它是具有連續統的勢的集合。我們記不可數集的勢為，讀作“阿列夫”。
德國數學家格奧爾格·康托爾（德語名：Georg Ferdinand Philip Cantor）提出過連續統假設：
不存在任何一個基數使得
全體自然數的和
全體自然數的和是發散的，它的部分和是，當趨于無窮時該式是趨于無窮的。但在數學中的一些求和方法卻可以讓發散級數的和是有限的，比如拉馬努金求和（英文：Ramanujan summation）或黎曼函數正則化（英文：Riemann zeta function regularization）。這兩種方法不同于傳統的無窮級數求和，而是定義了新的求和方法，由此可以得到：
限于篇幅和難度，這里只介紹一種拉馬努金在筆記中的證明方法。它是不嚴謹的卻也足以一窺數學證明的妙想，它同時也是黎曼函數正則化想法的起源。
證明
有恒等式，兩邊取極限就可以得到
兩邊同時求導可得：，將代入得。
令，它的偶數位減去自身的四倍為：
從而。證畢。
不嚴謹之處在于發散級數是不可作為收斂級數一般隨意加減并設定數值的。嚴格的證明可見拉馬努金和歐拉等人的書籍和論文。
“0”是否是自然數的爭議
“0”是否是自然數的爭論伴隨著自然數認識和研究的發展從未停息。英國數學家伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（英文：Bertrand Arthur William Russell）在1919年的《數學哲學導論》（英文：Mathematical 哲學）中寫道：“對于當今受過教育的普通人來說，數學的明顯起點是整數系列，1、2、3、4等?？赡苤挥幸粋€有一定數學知識的人才會想到從0開始，而不是從1開始。”英國數學家約翰·康威（英文：John Horton Conway）寫到：“根據舊的命名法，‘自然數’的意思是‘正整數’。這很不幸，因為非負整數集實際上更‘自然’，因為它有更簡單的性質。因此，從20世紀60年代開始，很多人（包括我）開始使用包容性意義上的‘自然數’。畢竟，對于正整數，我們有一個更好的術語‘正整數’?！?/p>
一些人提出“0”視作自然數會引來一些麻煩，比如在自然數的分類、計數上會不夠簡明；而一些人認為“0”視作自然數是自然數集嚴格的定義，“0”的問題可以通過特例等方法解決掉。在學界，通常研究數論方向的學者會排除掉0，而研究集合論方向的學者會將0考慮進來?！?”是否是自然數的爭議如今也沒有定論，我們應對不同的問題選擇不同的集合定義即可，前提是在解決問題中定義一致。
數集的拓展
其他數集均是從自然數集拓展而來。自然數集加入負整數就成了整數集，用字母Z表示。整數集加入分數就成了有理數集，用字母Q表示。有理數集加入無理數就成了實數集，用字母R表示。實數集加入復數就成了復數集，用字母C表示。
應用
基礎數學
初等數學
自然數可作數列排列。從1加到的數列累加和為：。
數論
研究自然數的問題是數論之始，自然數本身就是數論的概念，對自然數集的研究是數論的基本內容，比如自然數集上的加法和乘法定義。自然數為整數、整除、同余等概念奠定了基礎，比如整數集是由自然數集加入負整數擴展而來的。
集合論
對自然數嚴密的定義推動了集合論的發展。集合論中也有不少概念和自然數有關，比如自然數集的勢是等。
生產生活
日常生活
自然數最簡單的應用就是計數，比如這里有四個蘋果。其次也有定序的作用，比如這是第四個蘋果。
計算機技術
自然數編碼可用于遺傳算法的優化等方面。比如針對并行測試任務調度復雜難以優化的問題，可以提出一種基于自然數遺傳算法的任務調度優化算法。這種算法將并行測試任務調度轉化為對串行測試任務序列的搜索，并引進自然數編碼遺傳算法搜索最優解或近似最優解，提高了搜索的效率。
參考資料 >
術語在線—權威的術語知識服務平臺.術語在線.2023-07-05
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (N).MacTutor.2023-08-22