數論（number theory），也叫算術、高等算術、理論算術，是研究數的性質和規律的一門學科，是純粹數學的分支之一。
數論起源于公元前500多年，古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoreans）是第一個研究數的性質的學者。公元前300年，古希臘數學家歐幾里得（Euclid）把正整數的研究推向前進，在其著作《幾何原本》中，首次給出了因數、倍數、素數、互質等基本概念的定義。250年前后，中國通過《孫子算經》等古算書的發表開始研究同余理論。17世紀，關于整數的研究在歐洲興起，法國數學家皮耶·德·費瑪（Fermat）提出了“費馬大小定理”。18世紀，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在其著作首次提到了“數論”這一名稱。1801年，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）的《算術探討》（Disquisition Arithmetical）一書給出了同余的規范定義，被視為現代數論的里程碑。1844年，法國數學家約瑟夫·劉維爾（Liouville）構造出歷史上第一批超越數，開創了對超越數論的研究。19世紀中葉，代數數論和解析數論兩個分支學科相繼誕生。20世紀90年代，計算機開始用于數論研究，使得許多過去無法驗證或無法實現的數論問題得以實現和證明。
數論按其內容和方法大致可分為初等數論、解析數論、代數數論、幾何數論、超越數論、計算數論、組合數論、算術代數幾何。初等數論方法主要是歐幾里得算法；解析數論方法有解析方法和萊昂哈德·歐拉求和法；估計方法有均值估計和階的估計方法。可約理論和同余理論是數論的兩個基本問題。數論研究中有一些引發關注的猜想，如費馬猜想、哥德巴赫猜想、梅森素數猜想、素數個數的猜想等。數論的理論與成果在現實世界中應用廣泛，如，在密碼學中，使用同余和同余計算可以設計字符密碼，它可以提高安全級別。
學科簡介
數論，也叫算術、高等算術、理論算術，是純粹數學的分支之一，是研究數的性質和規律的一門學科。
數論的研究對象是數。人類從學會計數開始就一直和自然數打交道，后來由于實踐的需要，數的概念得以進一步擴充，自然數又叫做正整數，而把它們的相反數叫做負整數，介于正整數和負整數之間的中性數叫做0，它們合起來統稱為整數。對于整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。而整數的基本元素是素數（也稱質數）。因此，數論是一門研究整數性質的學科。
發展歷史
古代
數論的起源要追溯到公元前500多年。人們在認識了數的概念之后，開始接觸到數的一些性質，第一個研究數的性質的學者是古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoreans）。畢達哥拉斯學派秉持“萬物皆數”的哲學思想，為探索自然的奧秘而研究數。大約在公元前300年，古希臘另一位數學家歐幾里得（Euclid）把正整數的研究推向前進，在其著作《幾何原本》中，首次給出了因數、倍數、素數、互質等基本概念的定義，并對所得到的結論進行了證明，從而使數論的研究嚴格化。歐幾里得不僅證明了關于自然數和素數之間的積性關系，還證明了素數個數的無窮性，提出了計算最大公約數的輾轉相除法。他的工作形成了初等數論的雛形。大約在公元前240年，希臘數學家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）給出了尋找不大于給定的自然數的全部素數的“篩法”。
250年前后，古希臘代數學家丟番圖（Diophantus）研究了初等數論的不定方程問題，他將自己的研究成果寫成了《算術》一書，這本書開啟了中世紀的初等數論研究。與此同時，東方數學家也開始了對數論的另一領域——同余理論的研究。約公元300年，中國《孫子算經》成書，其中記載了與同余有關的“物不知數”問題。印度數學家婆羅門多（Brahmagupta，7世紀）、摩柯吠羅（9世紀）等的著作中，都有和該問題相同的一次同余問題，印度數學家也探討了解法。中國南宋時期的數學家秦九韶所提出的“大衍求一術”，給出了具體且完備的解一次同余方程組的方法。之后，該方法傳入西方獲得認可，因此，歐美的整數論者都推崇秦九韶的貢獻，并把他的“大衍求一術”稱為“中國剩余定理”。
近代
17世紀，關于整數的研究在歐洲興起，法國數學家皮耶·德·費瑪（Fermat）提出了許多未證明的定理，如“費馬大小定理”。1657年2月，費馬在致弗雷尼克·德·貝西（Bernard Frénicle de Bessy）的一封信中提出一個定理：在是正整數而非完全平方時有無窮多個解。萊昂哈德·歐拉（Euler）把這個方程稱為佩爾（Pell）方程，并流傳至今。18世紀，歐拉推翻了費馬數都是素數的結論，證明了費馬小定理的正確性，利用連分數給出了佩爾方程的最小解，并在其《代數指南》中使用“無窮遞降法”，使之成為數論研究中重要的方法之一。同一時期，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）的著作《數論隨筆》（Essai surla theorie des nombres）對數論的研究起了奠基作用。“數論”這個名稱就是從這本書的書名得來的。
1783年，萊昂哈德·歐拉首先發現了初等整數論中的高斯互反律，法國數學家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Legendre）在1785年也獨立提出，但他們都沒有證明。1796年，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）才給出高斯互反律的嚴格證明。1798年，阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德在研究二次剩余的過程中，引入了一種記號表示二次剩余，該記號后來被稱作勒讓德符號。同年，勒讓德關于數論的研究書籍《數論隨筆》（Essai sur la théorie des nombres）出版，他分別于1808年和1830年再版書籍。
19世紀以前，數論還僅是一系列孤立結果的羅列，1801年，高斯（Gauss）的《算術探討》（Disquisition Arithmetical）一書的出版則標志著現代數論的開始。在《算術研究》中，高斯把過去研究整數性質所用的符號標準化了，把當時現存的定理系統化，并進行了推廣，把要研究的問題和已知的方法進行了分類，還引進了新的方法，使數論成為了一門獨立的學科。
現代
現代以來，數論分支進一步分化和發展。法國數學家約瑟夫·劉維爾（Liouville）發現無理代數數的有理數逼近的精密性有一個限度，借此他于1844年構造出歷史上第一批超越數，開創了對超越數論的研究。19世紀中葉，德國數學家庫默爾（Kummer）和戴德金（Dedekind）將高斯的研究成果成功地推廣為數論分支學科——代數數論。此外，在19世紀中葉，德國數學家狄利克雷（Dirichlet）發表了《數論講義》，對高斯的著作《算術探討》給予明晰的解釋，并運用分析方法作為工具，構建了一批函數。1858年，德國數學家伯恩哈德·黎曼（Riemann）發表了一篇關于素數分布的論文《論不大于一個給定值的素數的個數》（über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse），其中正式宣告了又一個數論分支學科——解析數論的誕生。1896年，法國數學家雅克·阿達馬（Hadamard）根據黎曼的方法與結果，應用整函數理論，成功地證明了素數定理，從而建立了解析數論的基礎，讓解析數論成為20世紀活躍的數論分支之一。同一時期，數學家赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowskin）創立和發展了幾何數論，并運用幾何學的方法解決數論、數學物理和相對論領域的問題。
1898年，德國數學家戴維·希爾伯特（Hilbert）在對各代數數域的性質加以系統總結和發展，代數數論得以定型。到1927年，日本數學家高木貞治（Takagi）和埃米爾·阿廷（Artin）完成了代數數論的主要理論之一——類域論。1927年，荷蘭數學家范·德·瓦爾登（B.L.van der Waerden）提出的范德瓦爾登定理，開創了組合數論的先河。
20世紀30年代，蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradov）創造性地提出了用于解決某些數論難題的“三角和方法”。此外，中國數學家在解析數論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現了華羅庚、閔嗣鶴、柯召、潘承洞等第一流的數論專家。其中，華羅庚在三角和估值、堆砌素數論方面都有深入的研究。1949年以后，數論的研究得到了進一步的發展，體現在許多猜想問題的解決上，如，中國數學家陳景潤于1966年部分地證明了哥德巴赫猜想。
在超越數論中，數學家羅特（Roth）于1955年所著的《對于代數數的有理逼近》確立了圖埃—西格爾—羅特定理。后來，數學家烏爾里希·貝克（Baker）將其在超越數論方面的研究成果整理成專著《超越數論》。20世紀90年代，計算機開始用于數論研究，使得許多過去無法驗證或無法實現的數論問題成為可驗證或可實現的，并由此形成了一門數論分支學科——計算數論。現代數論已經滲透到數學的許多分支學科和計算機等其他學科，滲透與結合所產生的成果，已經被廣泛應用于密碼、信號、計算機性能檢驗等領域。
分類
數論成為一門獨立的學科后，隨著數學其他分支的發展，研究數論的方法也不斷地增加，數論按其內容和方法大致可分為初等數論、解析數論、代數數論、幾何數論、超越數論、計算數論、組合數論、算術代數幾何。
初等數論
初等數論是研究數的規律，特別是整數性質的數學分支，也是數論的一個古老分支。它以算術方法（初等數學方法）為主要研究方法，主要內容有整數環的整除理論、同余理論、連分數理論、不定方程、素數、原根等。本質上說，初等數論的研究手段局限在整除性質上。初等數論中重要的結論包括算術基本定理、歐幾里得的質數無限證明、中國剩余定理、歐拉定理（其特例是費馬小定理）、高斯于其著作《算術研究》探討的二次互反律，勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數求解法等。
解析數論
解析數論是借助微積分及復分析（即復變函數）的方法來研究整數的問題，主要分為乘性數論與加性數論兩類。乘性數論通過研究積性生成函數的性質來討論素數分布的問題，其中素數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數加法分解可能性與表示的問題。解析數論具體的方法有復積分法、圓法以及三角和方法。
代數數論
代數數論的研究對象是代數整數和代數數域，它將整數環的數論性質研究擴展到了更一般的整環上，特別是代數數域。一一般認為代數數論起始于德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯，他研究了二次型（相當于二次域）和分圓域。代數數論的系統理論創始于德國數學家庫默爾，和費馬大定理相關。此外，庫默爾還發明了代數數論的最基本概念：理想數（后來稱為理想）。后來德國數學家戴德金將庫默爾的理想數和分圓域等理論系統發展到一般數域，建立了代數數論的基本理論，如理想的分解理論。代數數論與代數、函數論、代數幾何等分支學科有交融，共用了一些研究方法。
幾何數論
幾何數論是由德國數學家、物理學家赫爾曼·閔可夫斯基等人開創和奠基的，幾何數論主要在于通過幾何觀點研究整數（在此即格點，也稱整點）的分布情形，其研究的基本對象是“空間格網”，即在給定的直角坐標系上，坐標全是整數的點，叫做整點，全部整點構成的組就稱為空間格網。幾何數論的主要研究成果包括閔科夫斯基定理，該定理對于研究二次型理論有著重要作用。
超越數論
超越數論是法國數學家約瑟夫·劉維爾最先開始研究的，它起源于超越數的發現。當一個數可以被寫成含有理系數的多項式方程的根的形式時，不論這個數是實數還是復數，這個數都被定義為代數數；否則，就是超越數。因此，超越數被定義為：不能滿足任何整系數代數方程的實數。超越數論研究數的超越性，特別是對于歐拉常數與特定的Zeta-函數值的研究。林德曼-卡爾·魏爾施特拉斯定理是19世紀超越數論的一項重要成果。超越數論的發展已采用了交換代數、代數幾何、多復變函數理論及上同調理論等方法。但是，超越數論還有許多問題尚未解決，如沙魯爾猜想、歐拉常數的超越性猜測等。
計算數論
計算數論是借助電腦的算法幫助研究數論的問題，它是隨著計算機科學的發展而出現的一個數論的分支。素數的判別和大數的分解都是計算數論的重要組成部分，例如素數測試和因數分解等和密碼學相關的課題都與計算數論相關。數論學家和計算機專家們對于計算數論已進行了深入的研究，對于四十多位的數進行判別，能在很快的時間內得到結果。在較好的計算機上判別一個一百位的數是否是素數，在不到一分鐘的時間內就能得到結果。
組合數論
組合數論是研究整數集合的組合性質，即利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的復雜結論。這是由匈牙利籍科學家和數學家保羅·埃爾德什（Erd?s Pál）開創的思路，可應用于蘭伯特猜想的簡化證明。1927年，荷蘭數學家范·德·瓦爾登證明：如果把全體正整數集劃分為有限個子集，那么至少有一個子集包含了任意長的等差數列（長度為的數列就是指有個數構成的數列）。這就是范德瓦爾登定理，它開創了組合數論的先河，揭示了在數論中“不存在完全的無序”的事實。1978年，數學家屠規彰解決了國際上提出的一個關于組合數論的猜想和關于最優搜索樹的問題。
算術代數幾何
算術代數幾何是數論發展的前沿領域，可謂集大成者。它從代數幾何的觀點出發，通過深刻的數學工具去研究數論的性質。比如英國數學家安德魯·安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明費馬猜想，這整個證明幾乎用到了所有最深刻的理論工具。
基本問題
可約理論
可約理論研究數的可約性，即考察一個數能否分解因數。任何一個大于的整數只有一個歸屬：或者為素數（除和自身外沒有其他因素的整數），或者為復合數（除和自身外還有別的正因數的整數）。數論的基本定理表明：任何大于的整數均可唯一地表為素數之積。這些大于的整數的標準因子分解式可表示為：，其表示不同的素因子；表示它們在中出現的次數。
同余理論
同余理論，即當和是整數時，如果恰被整除，則稱是的模剩余，或者是的模剩余記為：。同余理論應用于研究整數的性質，包括同余、同余式、剩余類、完全剩余系和簡化剩余系等基本概念及性質，以及費馬小定理和歐拉定理。其中，同余式理論的建立歸功于中國古代數學家秦九韶的“大衍求一術”，它比歐洲人的發現早好幾個世紀。
數論方法
初等數論方法
歐幾里得算法
歐幾里得算法，也叫輾轉相除法。它是初等數論中研究整除性的一種經典方法，主要應用于同余理論的研究。從整數的除法可知：對任給兩整數，必有兩整數及存在，使得，并且及是唯一存在的，這是數論的一條基本定理，整數的一系列重要性質都可以由此得到。如果反復利用這一基本定理，就可以得到歐幾里得算法，即：；；；；；。因為每進行一次除法，余數就至少減1，而是有限的正整數，所以最多進行次，總可以得到一個余數是零的等式，即。利用歐幾里得算法，可以求出任意兩個非零整數的最大公約數。
解析數論方法
解析方法
解析方法主要是以函數論為工具來研究數論問題。解析方法主要包括：伯恩哈德·黎曼函數與狄里赫利函數的理論、復變積分法以及指數和即三角和的方法等。萊昂哈德·歐拉最先將解析方法用來研究數論問題，他在研究素數分布問題時，利用算術基本定理證明了一個恒等式：對實數，有，其中表示展布在全體素數上的乘積，這一恒等式稱為歐拉恒等式，實質上是算術基本定理的一個解析等價形式，揭示了素數的性質與函數的性質之間的一種本質聯系，從而使素數分布問題借助于解析方法獲得了一系列結果。
歐拉求和方法
歐拉求和方法是解析數論的基本方法。在估計和式時，經常遇到的情形，其中是一個定義在實軸上的實函數，具有一定的光滑性，或者是單調函數，經常會用到歐拉求和方法，它的基本思想是，利用關于積分來估計和式，其基本法則為：
估計方法
均值估計方法
在數論中經常要研究一個數論函數當時的性狀。但是數論函數值的分布往往是很不規則的，而它們的算術平均值，即均值估計與相比往往要規則得多。例如，有以下的均值估計，這時稱的平均階為。對于函數則有均值估計：，，其中為常數，由此的均值估計為，即它們的平均階都是。研究各種均值估計在數論中有重要意義。在解析數論中，某些結果的改進往往要首先依靠某種均值估計進一步改進。例如，關于哥德巴赫猜想的結果，其關鍵就在于運用一種新的加權篩法并證明了新的一類均值定理。
階的估計方法
階的估計方法在本質上屬于極限的方法，包括各種和式的估計法。階的估計方法所研究的主要對象是各種形式的變量，特別是無窮大量與無窮小量，它們合稱為無窮量。無窮量的定義只刻畫變量的變化趨勢。若，當時，稱時，相對是一個無窮小量，特別當與都是無窮大量時，稱是比低階的無窮大量或比為高階的無窮大量；與都是無窮小量時，稱是比高階的無窮小量。當時，稱與是同階的，特別當時，稱與是等價的。在時，往往將無窮小量作為基本無窮小量，并用它去度量其它的無窮小量。在，凡是與同階的無窮小量其趨于的快慢都是一個等級的，可用數來反映，并稱它們都是階的無窮小量。在理論與實際中所遇到的無窮量往往比較復雜，在許多問題中對一個函數的精確性狀的要求不是很高，而且只對其階作出符合要求的估計就可以，但要對變量的階進行估計，就需要一個重要的符號：大“0”或“”。
數論猜想
數論里有很多猜想，如費馬猜想、哥德巴赫猜想、梅森素數猜想、素數個數的猜想、黎曼猜想和孿生素數猜想等，在解決這些猜想的過程中，對數學的發展和應用產生了積極影響。
費馬猜想
1637年，法國數學家皮耶·德·費瑪提出費馬猜想，又稱費馬大定理，費馬猜想簡單地表述為：對任意大于的自然數，方程無正整數解。1976年，數學家用計算機證明了對小于125000的冪指數，費馬猜想是正確的。1983年，德國數學家法爾廷斯（Faltings）證明了對每一個大于的，方程至多有有限個本原整數解，從可能有無限多個解一下子到了至多有有限個解，將證明推進了一大步。之后，法爾廷斯在1995年發表文章《泰勒和懷爾斯對費馬猜想的證明》（The proof of Fermat’s Last Theorem by R.Tayloy and A.Wiles）中宣稱：費馬猜想在1994年9月被證明。
哥德巴赫猜想
1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫（Chr. Goldbach）給歐拉的信中提出這樣的猜想：每一個大于的數一定是三個素數之和。同年6月30日，長城歐拉給哥德巴赫的復信中將它修改為：任意一個大于的偶數都可以表為兩個素數之和。這就是哥德巴赫猜想。1770年，數學家愛德華·華林（Waring）在敘述哥德巴赫猜想時增加了“每一個奇數或是素數或是三個素數之和”的敘述。1775年，長城歐拉證明了形狀為且不超過的偶數一定可以表為兩個素數之和。1855年，數學家杰波夫（Desbovers）證實了從到的每一個偶數至少可以用兩種方式表示為兩個素數之和或者表示為某個素數的兩倍（在杰波夫的論證中將也稱為素數）。1894年，德國數學家格奧爾格·康托爾（Cantor）對于小于的正整數證實了哥德巴赫猜想。1896年，數學家奧伯利（Aubry）證實了在到的整數之間，哥德巴赫猜想成立。同年，數學家荷斯納（Haussner）證明哥德巴赫猜想一直到都是成立的。1905年，數學家瑪利特（Maillet）證明了在不超過的正整數中至多除去個數，哥德巴赫猜想都成立。1966年，中國數學家陳景潤宣布證明：對于一個充分大的偶數，總可以表示成，其中為素數，即命題“”。1973年，他給出該命題的詳細證明。
梅森素數猜想
1644年，法國數學家梅森（Mersenne）在他的《物理——數學探索》的序言中，就提出了梅森素數猜想。形如的數稱為梅森數，梅森素數猜想是指：存在無窮多個素數，使得為素數。梅森猜想出個值，能使梅森數成為素數。這個值分別是，它們都是素數。梅森雖然提出了個值能使梅森數成為素數的猜想，但是他對這個值并沒有全部進行驗證。1772年，數學家萊昂哈德·歐拉證明了是素數。1877年，呂卡證實了是素數，同時他還證明了不是素數，梅森猜想出現錯誤。1886年，被證明是素數；1911年和1914年與又相繼被證明是素數。1922年，被證明不是素數，梅森猜想再次出現錯誤。
素數個數的猜想
素數個數的猜想是研究不超過的素數的個數的性質。1808年，阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Legendre）考察了的數值：當增加時，的數值也增加。當很大時，數值的增加呈現出一定的規律性。勒讓德研究這種規律性并指出：對于充分大的，漸近地等于（所謂漸近地等于是指：這兩個數之商在趨于無窮大時所得的極限值為1）。高斯考察了以1000個連續正整數為單位時在每一個單位中素數的個數。他在1876年提出以來表示充分大時素數分布的平均密度（即單位區間中素數所占的比例），這兩個猜想都可以歸結為式成立。1896年，素數個數的猜想被法國數學家雅克·阿達馬（Hadamard）和泊桑（dela Vallée Poussin）分別獨立地證明。此后，關于素數個數的猜想被稱為“素數定理”。
黎曼猜想
1859年，德國數學家伯恩哈德·黎曼在其論文《論不大于一個給定值的素數個數》中，研究了黎曼zeta函數，并將素數分布問題歸結為對該函數的研究，提出了黎曼zeta函數的6個猜想。其中第5個猜想為：在帶狀區域中，黎曼zeta函數的零點都位于直線上。由于其余5個猜想都已陸續被證實，于是就稱這一猜想為黎曼猜想。1903年，革蘭（Gram）證明的前15個零點對黎曼猜想成立，成為該猜想研究的最早成果。1966年，非平凡零點已經驗證到了350萬個。1986年，計算機已經能夠算出滿足黎曼猜想Zeta函數前15億個非平凡零點。2000年，黎曼猜想被美國克雷數學研究所列為21世紀的重要數學問題。2018年，德國海德堡數學家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）宣稱自己證明了黎曼猜想，雖然未被認同，但也為破解黎曼猜想提供一種新思路。
孿生素數猜想
1849年，法國數學家波林那克（Polignac）提出孿生素數猜想，指存在無窮個差為2的素數對（即若p為素數，則p+2也是素數），這類素數對稱為孿生素數。如（3,5）、（5,7）、（11,13）、（17,19）等。1923年，英國數學家戈弗雷·哈代（Hardy）和李特爾伍德（John Edensor Littlewood）提出了孿生素數猜想的一個更強的形式，通常稱為哈代-李特爾伍德猜想或強孿生素數猜想。這一猜想不僅提出孿生素數猜想有無窮多組，而且還給出其漸近分布形式為：，其中表示小于的孿生素數的數目，被稱為孿生素數常數。1973年，數學家海斯雷（Hensley）和理査德（Richards）證明了下列結果：如果不等式成立，則孿生素數猜想不成立。
應用
近代計算機科學和應用數學的發展，使數論得到了廣泛應用。數論的許多研究成果被應用到數學分析、密碼學、數字信號處理和物理學等領域。
分析學
數論在近似分析問題上的系統的應用研究，在20世紀50年代開始發展起來。數論方法可以用來研究多變數的近似分析問題。首先用數論方法構造出高維立方體中的一支分布點集貫，然后將這一點集貫用于高維近似分析問題，即利用它將一個連續性的問題化為離散性的問題來處理。例如，要計算一個高維立方體上的定積分，就用事先選定的一致分布點集上的被積函數值構成的單和來逼近多重積分。在被積函數適合一定的條件下，逼近的誤差主階是與維數無關的。此外，也可以利用一致分布點集貫來構造逼近多變數周期函數的三角多項式，利用它來構造近似計算某類積分方程解的代數方程組等。
密碼學
密碼學中大部分算法都涉及到模指數運算，都是基于大數的素分解的困難問題和離散對數的困難問題來設計的，所以幾乎很多都會應用到數論知識。例如，在密碼體制中，傳遞者要傳遞的信息叫做明文，傳遞者用密鑰把明文加密成密文，然后把密文傳遞給消息的合法接收者，最后消息的合法接收者用同一個密鑰解密密文得到明文。字符密碼就是將明文的每一個字母都轉換成不同字母來生成密文的密碼系統，這種密碼使用了初等數論的同余和同余運算。
數字信號處理
在數字信號處理中，而計算離散傅里葉變換和卷積的數學變換——NTT變換、WFTA變換都是以數論作為數學工具的。數論變換是在以正整數為模的整數環（域）上定義的線性正交變換，所用的運算法則是數論中的同余運算。在整數域上進行算法處理，降低了計算的復雜度。同時，數論變換不需要對三角函數值進行存儲，節約了存儲空間。當然，它也存在著應用范圍較狹窄的缺陷。
物理學
物理學中存在大量需要解決的問題，例如：由晶體勢求原子勢問題，由晶格比熱求聲子密度的問題；由黑體輻射場功率求黑體面積溫度分布的問題以及半導體中由載流子濃度求態密度分布的問題等，它們都是如何由宏觀可測量反過來推求微觀不可測量的問題。無論在基礎研究還是應用設計方面都具有重要意義。其中，數論中的特殊變換——莫比烏斯變換可以推廣至普通函數，建立一些定理，解決物理中的反演問題，如聲子比熱和黑體輻射逆問題。
參考資料 >
被撬開的數論之謎.中國數學會.2024-02-22