研究一般的二次同余式αx2+bx+с0(modm)，可歸結(jié)為討論形如的同余式，其中m>1,(m,n)=1。
二次剩余
若它有解，則n叫作模m 的二次剩余；若它無(wú)解，則n叫作模m 的二次非剩余。設(shè)p 是一個(gè)奇素?cái)?shù)，在模p的縮系中有個(gè)二次剩余和個(gè)二次非剩余，且就是模p的全部二次剩余。如果n是模p的二次剩余，則，如果n是模p的二次非剩余，則
勒讓德符號(hào)與二次互反律? 設(shè),當(dāng)n是模p的二次剩余，記為；當(dāng)n是模p 的二次非剩余，記為。符號(hào)叫做勒讓德符號(hào)。它是 A.-M.阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德于1798年引入的，對(duì)于計(jì)算n是否模p的二次剩余，帶來(lái)很大的方便。勒讓德符號(hào)有以下一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)：①當(dāng)n呏n┡(modp)時(shí)，；②；③,；④。因此，任給一個(gè)整數(shù) n，只需計(jì)算，，（q 為奇素?cái)?shù)）這三種值。1801年，C.F.高斯證明了以下結(jié)果：設(shè)p 是奇素?cái)?shù)，，在個(gè)數(shù)模p的最小正剩余數(shù)中有l(wèi)個(gè)大于，則 ,一般叫做高斯引理。由高斯引理可知。1801年，高斯還用這個(gè)引理證明了著名的二次互反律：設(shè)是兩個(gè)素?cái)?shù)，，則，這是初等數(shù)論中至關(guān)重要的定理，它不僅能夠方便地計(jì)算勒讓德符號(hào)的值，而且在數(shù)論許多方面都非常有用。例：計(jì)算,因?yàn)椋?。二次互反律由L.歐拉首先提出，而由高斯于1796年首先證明。后來(lái)，各種證明不斷出現(xiàn)，迄今已有 150多個(gè)不同的證明。高斯自己就給出了好幾個(gè)證明，其中第三個(gè)證明是運(yùn)用高斯引理得出的。二次互反律引起許多數(shù)學(xué)家對(duì)代數(shù)數(shù)域中高次互反律的研究，從而使得在這個(gè)方面出現(xiàn)了不少意義深刻的工作。
雅可比符號(hào)? 設(shè)m是一個(gè)正奇數(shù),是素?cái)?shù)，，則叫做雅可比符號(hào)。引入勒讓德符號(hào)，運(yùn)用二次互反定律，可判斷二次同余式是否有解，但計(jì)算時(shí)需要把一個(gè)正整數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)分解式，而計(jì)算雅可比符號(hào)就不需要這樣做。利用勒讓德符號(hào)的性質(zhì)，容易推得：①和。②若m和n是二正奇數(shù)，且，則。需要注意的是，當(dāng)時(shí)，則x2呏n(mod m)無(wú)解，但當(dāng)時(shí)，x2呏n(mod m)不一定有解。
原根和指數(shù)? 設(shè)h為一整數(shù),n為正整數(shù)，，適合hl呏1(mod n)的最小正整數(shù)l叫做h對(duì)模n的次數(shù)。如果，此時(shí)h稱(chēng)為模n的原根。1773年，L.萊昂哈德·歐拉首先證明了素?cái)?shù)p有原根存在。1785年，阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德證明了；設(shè)，恰有φ(l)個(gè)模p互不同余的數(shù)對(duì)模p 的次數(shù)為l。1801年，高斯證明了：n 有原根存在的充分必要條件是這里，p是奇素?cái)?shù)。設(shè)g是素?cái)?shù)p的一個(gè)原根，對(duì)任一整數(shù)n，，必有一數(shù) α使n呏gα(modp)，,α叫做n對(duì)模p的指數(shù)，以表示，在不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)寫(xiě)成 ，它具有與通常對(duì)數(shù)類(lèi)似的性質(zhì)。例如，如果pαb，則indαb呏indα+indb(modp-1)。指數(shù)的引入，對(duì)于簡(jiǎn)化問(wèn)題有幫助。
估計(jì)模p 的最小正原根的上界是著名的原根問(wèn)題之一。設(shè) m為的不同素因數(shù)的個(gè)數(shù)，g（p）表示模p的最小正原根，可證得。運(yùn)用更精密的方法，1959～1962年，D.A.伯吉斯與王元獨(dú)立地證明了，其中ε為任意正數(shù)，而與“”有關(guān)的常數(shù)僅依賴(lài)于ε。另一個(gè)重要的原根問(wèn)題是E.埃米爾·阿廷在 1927年提出的猜想：對(duì)于任意不等于及完全平方的正整數(shù)α,必定存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，以α為原根。人們稱(chēng)之為阿廷猜想。這一猜想尚未解決。
原根和指數(shù)可應(yīng)用于代數(shù)編碼和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域。例如，運(yùn)用原根存在的定理，1968的，C.M.雷德證明了長(zhǎng)為p的離散傅里葉變換(DFT)可化為循環(huán)卷積，其中p為奇素?cái)?shù)。后來(lái)人們還證明了長(zhǎng)為pl和2pl的情形。
k次剩余? 設(shè),若二項(xiàng)同余式xk呏n(modm)有解，則n叫做模m 的k次剩余；若無(wú)解，則n叫做模m 的k次非剩余。模m 的情形可化為模pα的情形,,p是素?cái)?shù)。的情形是容易解決的。設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，n是模pα的k次剩余的充分必要條件是整除indgn，其中g(shù)是模pα的一個(gè)原根。恰有個(gè)模pα互不同余的k次剩余。當(dāng)時(shí)，模pα的k次剩余叫做真k次剩余；當(dāng)時(shí)，模pα的k次剩余叫做非真k次剩余。可以證明，非真k次剩余可以歸結(jié)為真k次剩余來(lái)研究，而模pα的真k次剩余，又可歸結(jié)為模p的真k次剩余來(lái)研究。因此，對(duì)于k次剩余，總可假定。設(shè),p是一個(gè)奇素?cái)?shù),,定義符號(hào)，其中nq(modp)表示nq模p的絕對(duì)值最小的剩余，符號(hào)叫做模p的k次剩余特征。容易證明:n是模p的k次剩余當(dāng)且僅當(dāng)。設(shè)，此時(shí)，n是模p的2k次非剩余當(dāng)且僅當(dāng)。1801年，高斯證明了以下結(jié)果：設(shè)，則的充分必要條件是b呏0(mod4)。高斯關(guān)于二次互反律和四次剩余的深入研究，對(duì)以后數(shù)論的發(fā)展，產(chǎn)生了很大的影響。代數(shù)數(shù)域中的高次互反律，即戴維·希爾伯特第9問(wèn)題，從F.G.M.艾森斯坦、D.希爾伯特到高木貞治、E.埃米爾·阿廷，才最后得到解決。一個(gè)著名的經(jīng)典結(jié)果是：設(shè)p呏1(mod6)，的充分必要條件是,α、b是整數(shù)。對(duì)于給定的不太大的n和k，的充分必要條件是p具有什么形狀，近年來(lái)一直有不少工作。1969年，K.伯德證明了：設(shè)，p 和q是素?cái)?shù)且，則。
參考書(shū)目
K.Ireland and M.Rosen,A Classical Introduction to Modern Number Theory,Springer-Verlag. New York,1982.
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