DB电竞,55世纪,猫先生官网

來源：互聯(lián)網(wǎng)

在數(shù)學領(lǐng)域，對數(shù)（logarithm）是指數(shù)函的反函數(shù)。如果的次方等于，就意味著是以為底的對數(shù)，被記為，其中被稱為底數(shù)，被稱為真數(shù)。例如：，所以3就是以10為底1000的對數(shù)，記為。

在一些底數(shù)特殊的對數(shù)中，底數(shù)可以省略不寫，比如以10為底的對數(shù)（常用對數(shù)），常用于科學和工程領(lǐng)域；自然對數(shù)（約等于2.718），在數(shù)學和物理領(lǐng)域應(yīng)用很廣泛；以2為底的二進制對數(shù)，常用于二進制科學。

對數(shù)由數(shù)學家約翰·納皮爾（John Napier）在1614年引入，作為簡化計算的方法，并迅速被航海家、科學家、工程師、測量員和其他人采用，以更輕松地執(zhí)行高精度計算。在進行復雜的計算時，數(shù)字可能變得非常大或非常小，這會導致精度損失。使用對數(shù)可以將這些數(shù)字縮小到一個更容易處理的范圍，從而減少精度損失。使用對數(shù)表后，繁瑣的多位數(shù)乘法步驟就可以用查表，以及更簡單的加法代替?？梢宰裱剑撼朔e的對數(shù)是因子的對數(shù)之和，即

（、和均為正且）

當數(shù)據(jù)的值很大時，對數(shù)刻度（log scale）可以利用對數(shù)將數(shù)據(jù)降低到一個容易處理的范圍。比如，分貝（dB）是用功率比轉(zhuǎn)化為對數(shù)的單位，主要用于表達信號功率和振幅（常見的如聲壓）。在化學中，溶液的酸堿性與pH值是水溶液酸度的對數(shù)度量。對數(shù)在科學公式、算法復雜性和稱為分形的幾何對象的測量中很常見。對數(shù)可以用于描述音頻頻率之間的比例關(guān)系，也可以應(yīng)用于計算孿生素數(shù)猜想和階乘數(shù)等數(shù)學問題。在心理物理學領(lǐng)域，對數(shù)可以用來建立模型。此外，在法務(wù)和會計領(lǐng)域，對數(shù)也有一定的應(yīng)用?？傊瑢?shù)是一種非常實用的數(shù)學工具，在許多不同的領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。

作為指數(shù)的反函數(shù)，對數(shù)的概念也能擴展到其他的數(shù)學結(jié)構(gòu)。在廣義的情形中中，對數(shù)往往是一個多值函數(shù)。例如：復對數(shù)是復指數(shù)函數(shù)的多值反函數(shù)。離散對數(shù)是有限群中指數(shù)函數(shù)的多值反函數(shù)，在公鑰密碼學中有所應(yīng)用。

特殊點用點線表示，所有曲線相交于。

定義及基本性質(zhì)

給定一個正實數(shù)，其中，將個底數(shù)相乘得到正實數(shù)，此時指數(shù)為，數(shù)學表述為。換句話說，以為底的對數(shù)是唯一的實數(shù)，記作，讀為“以為底的對數(shù)”或最常見的“的以為底的對數(shù)”。

一個等效且更簡潔的定義是函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)。

進位加法、乘法和求冪是三種最基本的算數(shù)運算。加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法。而求冪的逆運算就是對數(shù)。求冪是將（指數(shù)）個基數(shù)連乘得到的冪值，也就是：，比如，。求以為底數(shù)的對數(shù)是求冪的逆運算，能從冪值求出指數(shù)，，（為正實數(shù)）。（如果不是正實數(shù)，則可以手動定義求冪和對數(shù)，但可能因此變?yōu)槎嘀岛瘮?shù)，這使得定義更加復雜）

例如：

對數(shù)恒等式

對數(shù)運算中幾個重要的公式，也被稱為對數(shù)定律，用來描述不同對數(shù)之間的關(guān)系。

乘積、商、冪和根

乘積的對數(shù)是被乘數(shù)的對數(shù)之和；商的對數(shù)是對數(shù)之差。一個數(shù)的次方的對數(shù)是該數(shù)本身的對數(shù)的倍；一個數(shù)的次方根的對數(shù)是該數(shù)的對數(shù)除以。下表列出了這些標識和示例。通過對數(shù)的定義式或，在下表中進行相應(yīng)的計算，即可證明各恒等式的結(jié)論。

底數(shù)的變化

對數(shù)可以使用以下公式從和相對于任意底數(shù)的對數(shù)計算得出：。

典型的科學計算器可以計算以10和為底的對數(shù)。可以通過前面的公式，使于任何底數(shù)b的對數(shù)都變換為用這兩個特殊底數(shù)對數(shù)來換算，也就是：。

給定一個數(shù)字及其對數(shù)到未知底數(shù)，底數(shù)就可以表示為，該關(guān)系可以通過對定義式求次冪給出。

特殊底數(shù)

有3個常見底數(shù)，分別是，(數(shù)學常數(shù)，約為2.71828）和。在數(shù)學分析中，以為底的對數(shù)很常見。而以10為底的對數(shù)常用于十進制數(shù)字系統(tǒng)中的手動計算：

。

因此，的小數(shù)位數(shù)與正整數(shù)的位數(shù)有關(guān)：位數(shù)是嚴格大于的最小整數(shù)。例如，約為3.15。下一個整數(shù)是4，也就是1430的位數(shù)。自然對數(shù)和二進制對數(shù)在信息論中都有使用，分別對應(yīng)使用奈特(nats)或者比特(bits)作為信息的基本單位。以2為底的對數(shù)稱為二進制對數(shù)，二進制對數(shù)也用于計算機科學，其中二進制系統(tǒng)無處不在；在樂理中，音高比為二（即相差八度）是普遍存在的，任何兩個音高之間的音分數(shù)是它們的比率乘以1200的二進制對數(shù)（即每等律半音100音分）；在攝影中，“stop”通常是用來表示曝光值（Exposure Value，EV）的單位。曝光值是一個綜合考慮光圈、快門速度和感光度的量，通常用數(shù)字表示。兩個曝光值之間的差異，如果用“stop”來度量，相當于曝光值之間的二進制對數(shù)差異。

下表列出了這些底數(shù)的常用對數(shù)符號以及使用它們的字段。當?shù)讛?shù)基本上可以從上下文中確定時，許多學科會省略底數(shù)，直接寫而不是。符號也會出現(xiàn)。“ISO符號”欄列出了國際標準化組織(ISO80000-2)建議的名稱。因為符號已用于所有三個底數(shù)（或當?shù)讛?shù)不確定或無關(guān)緊要時），通常必須聯(lián)系上下文或文章的學科領(lǐng)域來推斷需要選擇何種底數(shù)。在計算機科學中，通常指，而在數(shù)學中通常指。在其他情況下，通常表示。

歷史

概念提出與發(fā)展

1614年，約翰·納皮爾(英文：John Napier)在一本名為 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio（對數(shù)奇妙法則的描述）的書中公開提出了對數(shù)方法。而在納皮爾的發(fā)明之前，已經(jīng)有類似范圍的其他技巧，例如積化和差法(prosthaphaeresis)與數(shù)列表，在1600年左右數(shù)學家約斯特.比爾吉(英文：Jost Bürgi)發(fā)展了大量這類技巧。第一個實數(shù)對數(shù)的啟發(fā)式方法就是將乘法轉(zhuǎn)化為加法，從而實現(xiàn)了快速計算。其中一些方法使用從三角恒等式派生的表格。這種方法稱為積化和差法。約翰·納皮爾在中古拉丁語中創(chuàng)造了對數(shù)的術(shù)語“l(fā)ogarithmus”，源自希臘語，字面意思是“比率數(shù)”，來自logos“比例、比率、詞”+arithmos“數(shù)”。

居住在布拉格的比利時耶穌會士格雷瓜爾·德·圣文森特(Grégoire de Saint-Vincent)試圖對矩形雙曲線求積分，從而發(fā)明了現(xiàn)在稱為自然對數(shù)的函數(shù)。對數(shù)提供了一種將等比數(shù)列的比值關(guān)系轉(zhuǎn)換為等差數(shù)列的加減關(guān)系的方式，由于其的這種特性，安東尼奧-德-薩拉薩（A. A. de Sarasa）將圣文森特的正交法與積化和差公式中的傳統(tǒng)計算方法聯(lián)系起來，從而產(chǎn)生了術(shù)語“雙曲對數(shù)”，也就是自然對數(shù)。不久，這個新功能受到了物理學家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huyg）和數(shù)學家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）的贊賞。數(shù)學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（G.W. Leibniz）于1675年采用了對數(shù)的符號，第二年他將其與積分聯(lián)系起來。

現(xiàn)代對數(shù)的概念來自數(shù)學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），他在18世紀將對數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，并引入了字母作為自然對數(shù)的底數(shù)。在歐拉發(fā)展出他的復數(shù)自然對數(shù)的現(xiàn)代概念之前，數(shù)學家羅杰柯特斯（Roger Cates）在1714年發(fā)表了幾乎相同的結(jié)果

。

對數(shù)表和計算尺

在計算器和計算機出現(xiàn)之前，對數(shù)簡化了困難的計算，為科學的進步做出了貢獻，尤其是測量和天文學。皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace）這樣評論對數(shù)：“......（一種）令人欽佩的計算技巧，這種技巧將數(shù)月的勞動減少到幾天，使天文學家的生命翻倍，并使他免于長時間計算所帶來的錯誤和厭倦?！?/p>

對數(shù)表是使對數(shù)得到實際應(yīng)用的一個關(guān)鍵工具。英國數(shù)學家亨利·布里格斯(Henry Briggs)于1617年編制了第一個此類表格，緊隨約翰·納皮爾的發(fā)明，但創(chuàng)新之處在于使用10作為底數(shù)。布里格斯的第一個表格包含1到1000范圍內(nèi)所有整數(shù)的常用對數(shù)，精度為14位。隨后，人們編寫了范圍越來越大的表格。這些表列出了任意數(shù)字的在一定的范圍內(nèi)，在一定的精度下的值。以10為底的對數(shù)普遍用于計算，因此得名常用對數(shù)，因為相差10的倍數(shù)的數(shù)字，在整數(shù)部分相差1，的常用對數(shù)可分為整數(shù)部分和小數(shù)部分，稱為首數(shù)和尾數(shù)。對數(shù)表只需要包括尾數(shù)，因為可以通過從小數(shù)點開始計算數(shù)字來輕松確定該特性。的特征是一與的特征的和,而它們的尾數(shù)相同。因此，使用三位對數(shù)表，3542的對數(shù)就能近似為：

通過插值可以獲得更高的精度：

的值可以通過同表反向查找來確定，因為對數(shù)是單調(diào)函數(shù)。

兩個正數(shù)和的乘積和商通常計算為它們對數(shù)的和與差。乘積或商來自通過同一張表查找和或差的反對數(shù)：

和

。

對于需要任何可觀精度的手動計算，執(zhí)行兩個對數(shù)的查找、計算它們的和或差以及查找反對數(shù)比通過早期方法（例如依賴于三角函數(shù)的積化和差公式）執(zhí)行乘法要快得多。

冪和根的計算可以簡化為乘法或除法和查找

和

。

包含了常用三角函數(shù)的對數(shù)值表格使得三角函數(shù)的計算變得更加容易。換句話說，人們可以通過這些表格來快速地進行三角函數(shù)的計算，節(jié)省了大量的時間和精力。

另一個重要的應(yīng)用是計算尺，一對刻度呈對數(shù)分布的用于進行相應(yīng)計算的尺子。在約翰·納皮爾發(fā)明對數(shù)后不久，英國數(shù)學家埃德蒙岡特（Edmund Gunter）就發(fā)明了岡特尺(Gunter's rule)——一種非滑動的刻度尺。英國數(shù)學家威廉奧特萊德（William Oughtred）對其進行了改進，創(chuàng)造了計算尺——一對可以相對移動的對數(shù)刻度尺。對應(yīng)數(shù)字的刻度的位置與其對數(shù)值成正比?；瑒由峡潭龋簿拖喈斢跈C械地添加對應(yīng)的對數(shù)，如下所示：

例如，將下標尺上從1到2的距離與上標尺上從1到3的距離相加得到乘積6，在下面的尺子上我們也可以發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的數(shù)值。直到20世紀70年代，計算尺都是工程師和科學家必不可少的計算工具，它以犧牲精度為代價，實現(xiàn)了比對數(shù)表方法更有效率的計算。

解析特性

對數(shù)的深入研究需要函數(shù)的概念。一個例子是從任何實數(shù)產(chǎn)生的次方的函數(shù)，其中底數(shù)是一個固定數(shù)。該函數(shù)寫為。對數(shù)函數(shù)的各類解析特性如下：

存在性

令為不等于1的正實數(shù)并令。

任何連續(xù)的嚴格單調(diào)函數(shù)在其域和值域之間都是雙射的，這是實分析中的標準結(jié)果。這個事實是根據(jù)介值定理得出的?，F(xiàn)在，嚴格遞增（對于）或嚴格遞減（對于），是連續(xù)的，具有函數(shù)定義域,并且有范圍.因此，是來自到的雙射。換句話說，對于每個正實數(shù)，恰好有一個實數(shù)使得。

我們用來表示的反函數(shù)。，也就是，是唯一一個滿足關(guān)系的實數(shù)。這個函數(shù)稱為底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)（或直接簡稱為對數(shù)）。

對數(shù)函數(shù)的圖形

如上所述，對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此，它們的圖形是相互對應(yīng)的，只需交換和坐標（或在對角線處反射），如下圖所示：函數(shù)圖形上的點對應(yīng)著對數(shù)的圖形上的點，反之亦然。因此，如果大于1，則會在趨向正無窮時趨向正無窮（大于任何給定的數(shù)）。在這種情況下，是一個遞增的函數(shù)。當大于0小于1時，會在趨向正無窮時趨向于負無窮。當趨近于零時，如果，則趨向于負無窮（如果，則趨向于正無窮）。

導數(shù)和原函數(shù)

函數(shù)的解析性質(zhì)傳遞給它們的反函數(shù)。因此，由于是一個連續(xù)且可微分的函數(shù)，也是如此。粗略地說，如果連續(xù)函數(shù)的圖形沒有尖銳的“棱角”，則它是可微分的。此外，由于的導數(shù)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算為，鏈式法則意味著的導數(shù)為：

也就是說，在點處與以b為底的對數(shù)圖形相切的切線的斜率等于。

的導數(shù)是，在時對數(shù)值為0。以作為底數(shù)，很多式子都能獲得簡化；這也是常數(shù)重要的主要原因之一。

具有廣義泛函參數(shù)的導數(shù)為：

。

上式右側(cè)的商稱為f的對數(shù)導數(shù)。通過的導數(shù)計算的方法稱為對數(shù)微分。自然對數(shù)的原函數(shù)為：

可以使用底數(shù)變換公式從這個公式中推導出其他底數(shù)的對數(shù)反函數(shù)等相關(guān)公式，例如，對數(shù)的原函數(shù)等。

自然對數(shù)的積分表示

的自然對數(shù)可以定義為定積分：

這個定義的優(yōu)點是它不依賴于指數(shù)函數(shù)或任何三角函數(shù)；該定義是根據(jù)簡單倒數(shù)的積分得出的：作為一個積分等于x軸和函數(shù)的圖形之間的面積，范圍從取到。可以通過微積分基本定理以及可以通過微積分基本定理以及的導數(shù)為的事實所得出的結(jié)果。此公式還可推導出乘積對數(shù)公式和冪對數(shù)公式。例如，乘積公式推導為：

等式(1)將積分分為兩部分，而等式(2)對應(yīng)變量的變化()。下面的圖示中，將整個區(qū)域分為黃色部分和藍色部分。將左側(cè)的藍色部分在垂直方向上擴大倍，在水平方向上也縮小t倍，其面積大小并沒有改變。通過適當?shù)钠揭?，將藍色部分恰好移動到了函數(shù)的曲線上。因此，從到的的積分所對應(yīng)的左側(cè)藍色面積，與從1到的積分所對應(yīng)的面積相同。這樣的幾何論證證明了等式(2)的正確性。

冪公式可以通過類似的方式導出：

。

第二個等號處使用了變量的變換(代換積分)，。

自然數(shù)導數(shù)之和為

，

稱為調(diào)和級數(shù)，它與自然對數(shù)密切相關(guān)：當趨于無窮大時，差值

，

收斂至(即任意趨近于)一個稱為歐拉-馬歇羅尼(Euler–Mascheroni)常數(shù)的數(shù)字。這種關(guān)系有助于分析如快速排序（quicksort）等算法的性能。

對數(shù)的超越性

不是代數(shù)數(shù)的實數(shù)被稱為超越數(shù)，比如和就是超越數(shù)，而不是。幾乎所有的實數(shù)和復數(shù)都是超越數(shù)。對數(shù)就是一個超越函數(shù)的例子。格爾豐德-施奈德(Gelfond–Schneider)定理認為，對數(shù)函數(shù)通常會取超越數(shù)，即“比較難算”的值。

對數(shù)的計算

在某些情況下，對數(shù)的計算很容易，比如。通常，對數(shù)可以通過冪級數(shù)展開或求算術(shù)-幾何平均值來計算，或者從預先計算的對數(shù)表中檢索，該表提供固定的精度。牛頓法，一種用于近似解方程的迭代方法，也可以用于計算對數(shù)，因為它的反函數(shù)——指數(shù)函數(shù)可以更加高效地計算。使用查找表，類似CORDIC的方法可以使用加法和位移操作來計算對數(shù)。此外，二進制對數(shù)算法通過對x重復平方的方式，遞歸地計算，這個過程中利用了以下關(guān)系：

。

泰勒級數(shù)

對于任意滿足的實數(shù)，下列公式成立：

下面是一種簡便的表述，表明可以通過以下表達式逐漸逼近更加精確的值：

例如，對于，第三個近似值是，比大約。只要求和項的數(shù)量足夠大，這個級數(shù)就能任意精確地逼近。在微積分基礎(chǔ)中，就是這個級數(shù)的極限。這是自然對數(shù)在處的泰勒級數(shù)。當很小，時，的泰勒級數(shù)對的逼近特別有用，因為此時：

例如，當，一階近似的值為，這與實際結(jié)果0.0953僅有不到的偏差。

反雙曲正切函數(shù)

另一類級數(shù)是基于反雙曲函數(shù)：

，

為滿足的任意實數(shù)。上述關(guān)系也可以寫成求和的形式：

此級數(shù)可以通過上述泰勒級數(shù)得到。相比泰勒級數(shù)，它可以更快收斂，尤其是當?shù)娜≈第吔?時。例如，當，第二個級數(shù)展開方法的前三項給出的近似結(jié)果與的實際結(jié)果相比，誤差大概是。這種在趨近于1時快速收斂的特性可以用于如下這個方面：已知一個低精度的近似，設(shè)

，

則的對數(shù)為

最初的近似越精確，則的取值就會越接近1，因此可以有效計算其對數(shù)值。可以通過指數(shù)級數(shù)計算，而由于并不是特別大，這個級數(shù)收斂的很快。對更大的值的對數(shù)的計算可以被約化，因為存在關(guān)系，于是有。

在計算整數(shù)的對數(shù)時，存在一個和上式緊密相關(guān)的方法。令上述級數(shù)中，則有

。

若已經(jīng)知道了大整數(shù)的對數(shù)值，則我們可以通過這個級數(shù)給出的一個快速收斂的級數(shù)，其收斂速率為。

算數(shù)-幾何平均值近似

算數(shù)-幾何平均值可以得到自然對數(shù)的高精度近似。佐佐木和卡納達(Kanada)在1982年的研究結(jié)果給出這類方法在小數(shù)位400到1000位時非常快，而Taylor級數(shù)方法則通常在需要更低精確度時更快。在文章中通過以下方法被近似到的精度：

這里的表示和的算術(shù)-幾何平均數(shù)。算術(shù)-幾何平均數(shù)的計算方法是，反復計算和的算術(shù)平均數(shù)(即)和幾何平均數(shù)，然后將這兩個數(shù)作為下一次迭代的和值進行計算。通過這樣的迭代計算，和會很快收斂到一個共同的極限值，這個極限值就是的值。在計算中，常常需要選擇一個適當?shù)某跏贾担沟?/p>

從而確保所需要的精度。選取較大的初始值會使得計算需要更多的迭代步驟（由于初始和相差較大，所以需要更多的迭代才能達到收斂），但會得到更高的計算精度。常數(shù)和可以通過使用快速收斂的級數(shù)進行計算。

Feynman算法

物理學家理理查德·費曼（英文：Richard Feynman）在曼哈頓計劃期間在洛斯阿拉莫斯國家實驗室開發(fā)了一種比特處理算法，用于計算對數(shù)，類似于長除法。該算法利用了每個介于1和2之間的實數(shù)可以表示為形如的不同因子的乘積的事實。該算法順序構(gòu)建乘積P，從和開始：如果，則將更改為。然后無論如何都要增加k。當k足夠大以提供所需的精度時，計算終止。因為是與那些包含因子的相對應(yīng)的形式為的項的總和，所以可以通過簡單的加法計算，并使用所有的的表。任何底數(shù)都可以用于對數(shù)表。

應(yīng)用范圍

概率論與統(tǒng)計

對數(shù)也出現(xiàn)在概率論中：大數(shù)定律規(guī)定，對于一枚公平的硬幣，隨著拋硬幣次數(shù)增加到無窮大，觀察到的正面朝上的比例接近二分之一。這個比例實際的測量值相對于二分之一的波動（或漲落），可以用重對數(shù)率來描述。

對數(shù)也出現(xiàn)在對數(shù)正態(tài)分布中。當隨機變量的對數(shù)服從正態(tài)分布時，稱該變量服從對數(shù)正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布在湍流研究等許多領(lǐng)域都會出現(xiàn)，相關(guān)場景下一個變量是許多獨立的正隨機變量的乘積。

對數(shù)用于參數(shù)統(tǒng)計模型的最大似然估計。對于這樣的模型，似然函數(shù)取決于至少一個必須被估計的參數(shù)。似然函數(shù)的最大值出現(xiàn)在與似然對數(shù)（“對數(shù)似然”）的最大值相同的參數(shù)值處，因為對數(shù)是遞增函數(shù)。對數(shù)似然更容易最大化，尤其是對于獨立隨機變量的乘法似然。

本福德定律描述了許多數(shù)據(jù)集中首位數(shù)字的出現(xiàn)頻率。根據(jù)本福德定律，無論測量單位如何，數(shù)據(jù)樣本中某項的第一個十進制數(shù)字為d（從1到9）的概率等于。因此，大約30%的數(shù)據(jù)可以預期以1作為第一位數(shù)字，18%的數(shù)字以2開頭，以此類推。審計員可以檢查對本福德定律的偏差，以檢測財務(wù)造假。

對數(shù)變換是一種數(shù)據(jù)變換，用于使經(jīng)驗分布更接近假設(shè)分布。

分形

分形是具有自相似的幾何對象，從某種意義上說，每個小部分粗略近似于整體結(jié)構(gòu)。謝爾賓斯基三角形可以被自身的三個副本覆蓋，每個副本的邊長都是原始長度的一半。這使得該結(jié)構(gòu)的豪斯多夫維數(shù)。另一種基于對數(shù)的維數(shù)概念是通過計算覆蓋所討論的分形所需的框數(shù)獲得的。鸚鵡螺科殼的每個腔室都是下一個腔室的近似復制品，按常數(shù)因子縮放。這會產(chǎn)生對數(shù)螺線。

數(shù)論

自然對數(shù)與數(shù)論中的一個重要問題——素數(shù)計數(shù)（2，3，5，7，11，...）密切相關(guān)。對于任意整數(shù)，小于或等于素數(shù)數(shù)量用表示。素數(shù)計數(shù)函數(shù)是一個經(jīng)典的數(shù)論函數(shù)，其性質(zhì)一直是數(shù)學家研究的重要課題之一。素數(shù)定理是關(guān)于素數(shù)計數(shù)函數(shù)的一個基本定理，它斷言可以近似為，這是由于當趨近于無窮大時，與這個分數(shù)的比值趨近于1。由此可以推出，在區(qū)間中隨機選擇一個數(shù)是素數(shù)的概率與的十進制位數(shù)成反比。更好的估計的方法是使用偏移對數(shù)積分函數(shù)，其定義如下：

黎曼假設(shè)是數(shù)學界最古老的公開數(shù)學猜想之一，它涉及比較素數(shù)計數(shù)函數(shù)和偏移對數(shù)積分函數(shù)的大小關(guān)系。厄多斯-卡茨定理描述了不同質(zhì)因子的數(shù)量，也涉及到自然對數(shù)。

對于正整數(shù)，其階乘的對數(shù)可以表示為：。這個關(guān)系可以被用來得出斯特林（Stirling）公式，從而近似得到大情況下的數(shù)值。

用對數(shù)來描述尺度

科學量通常使用對數(shù)標度。例如，分貝是與對數(shù)標度量相關(guān)的測量單位。還有基于比值的常用對數(shù)——功率比：常用對數(shù)的10倍或電壓比：常用對數(shù)的20倍。用于量化傳輸電信號時電壓水平的損失，描述聲學中聲音的功率水平，以及光譜和光學領(lǐng)域中光的吸收率。描述相對于更有意義的信號時，不需要的噪聲量的信噪比也以分貝為單位進行測量。同樣，峰值信噪比通常用于評估聲音質(zhì)量，使用對數(shù)的聲音，還可以用于使用對數(shù)的圖像壓縮方法。

地震的強度是通過取地震時釋放的能量的常用對數(shù)來衡量的。這用于矩震級或里氏震級。例如，5.0級地震釋放的能量是4.0級的32倍(），而6.0級地震釋放的能量是4.0級的1000倍()。視星等以對數(shù)方式測量恒星的亮度。在化學中十進制對數(shù)的負數(shù)，小數(shù)余對數(shù),由字母p表示。例如，pH值水合氫活性的十進制余對數(shù)氫離子形式吸水。水合氫離子在中性水中的活性為，因此pH值為7。醋的pH值通常約為3。差值為4相當于濃度相差，即醋的水合氫離子活度約為。

半對數(shù)（對數(shù)線性）圖使用對數(shù)尺標度概念進行可視化：一個軸，通常是垂直軸，按對數(shù)比標度。例如，右側(cè)的圖表將從從100萬到1萬億的急劇增長壓縮到與從1到100萬的增長相同的空間（在垂直軸上）。在此類圖中，形式為的指數(shù)函數(shù)顯示為斜率等于的對數(shù)的直線。雙對數(shù)圖以對數(shù)方式縮放兩個軸，這導致形式的函數(shù)被描述為斜率等于指數(shù)的直線。這適用于冪律的可視化和分析。

心理學

心理學研究發(fā)現(xiàn)，幾乎沒有接受過數(shù)學教育的人傾向于以對數(shù)方式估計數(shù)量，也就是說，讓他們標記10與100之間的距離，可能會和100和1000之間的距離一樣。在某些情況下，教育程度的提高將會改變這種情況，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性估計（對應(yīng)剛才的例子，100和1000之間的距離會是10和100之間的距離的10倍遠），僅僅在目標數(shù)字很難進行線性標記時，才使用對數(shù)方法。

計算復雜度

算法分析是計算機科學的一個分支，研究算法（解決某特定問題的計算機程序）的性能。對數(shù)對于描述將問題分成更小的問題并加入子問題的解決方案的算法很有價值。

例如，要在排序列表中查找一個數(shù)字，二分搜索法會檢查中間條目，如果仍未找到該數(shù)字，則繼續(xù)查找中間條目之前或之后的那一半。該算法平均需要次比較，其中是列表的長度。類似地，合并排序算法通過將列表分成兩半并在合并結(jié)果首先對未排序的列表進行排序。合并排序算法通常需要大約與成正比的時間。此處沒有指定對數(shù)的底數(shù)，因為當使用另一個底數(shù)時，結(jié)果只會改變一個常數(shù)因子。在標準統(tǒng)一成本模型下的算法分析中，常數(shù)因子通常被忽略。

如果函數(shù)與對數(shù)（精確或近似）成正比，則稱函數(shù)呈對數(shù)增長。例如，任何自然數(shù)都可以用不超過位的二進制形式表示。換句話說，存儲所需的內(nèi)存量隨呈對數(shù)增長。

此外，由于對數(shù)函數(shù)相對于x的增長非常緩慢，因此可以使用對數(shù)標度來壓縮大規(guī)?？茖W數(shù)據(jù)。對數(shù)也出現(xiàn)在許多科學公式中，例如齊奧爾科夫斯基（Tsiolkovsky）火箭方程、芬斯克（Fenske）方程或能斯特（Nernst）方程。

熵與混沌

熵廣泛地衡量了某些系統(tǒng)的混亂程度。在統(tǒng)計熱力學中，一些物理系統(tǒng)的被定義為

這個和是關(guān)于所討論系統(tǒng)的所有可能狀態(tài)的，例如容器中氣體粒子的位置。此外，是達到狀態(tài)的概率，是玻爾茲曼常數(shù)。同樣，信息論中的熵度量的是信息量。如果消息接收者可能期望個可能消息中的任何一個具有相同的可能性，那么任何一個這樣的消息所傳達的信息量被量化為比特。

李亞普諾夫指數(shù)（Lyapunov exponent）使用對數(shù)來衡量一個動力系統(tǒng)的混亂程度。例如，對于在橢圓臺球桌上運動的粒子，即使初始條件有微小的變化，也會導致粒子的路徑大不相同。這樣的系統(tǒng)在確定性方面是混沌的，因為初始狀態(tài)的小測量誤差可預見地導致了最終狀態(tài)大不相同。確定性混沌系統(tǒng)的至少一個李亞普諾夫指數(shù)是正的。

音樂

對數(shù)與音調(diào)和音程有關(guān)。在同等音律中，頻率比僅取決于兩個音調(diào)之間的音程，而不取決于單個音調(diào)的特定頻率或音高。例如，音符A的頻率為440赫茲，降B的頻率為466Hz。A和降B之間的音程是一個半音，降B和B（頻率493Hz）之間的音程也是半音。因此，頻率比一致：

因此，可以使用對數(shù)來描述音程：半音的音程是通過取頻率比的以為底的對數(shù)來劃分的，而頻率比為底的對數(shù)劃分的音程，則稱為音分，即百分之一半音。后者用于更精細的編碼，因為它是非等律分音所需要的。

必威电竞|足球世界杯竞猜平台