因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=H(x0)引理證畢。設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則復合函數F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函數H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函數G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。
定義
鏈式法則（chain?rule），是求復合函數導數的一個法則。若 則
所謂的復合函數，是指以一個函數作為另一個函數的自變量。如設，，就是一個復合函數，并且?.
舉例
(1)求函數的導數。設?，.
(2)求函數arctg的導數。
證明
證法（一）
先證明個引理
在點可導的充要條件是在的某領域內，存在一個在點連續的函數,使從而
證明：
設在可導，令,(去心領域)；
,
在點連續，且,
反之，設存在,,它在點連續，且,x∈U(x0)
存在極限
在點可導，且
引理證畢。
設在點可導，在點可導，則復合函數在可導，且
證明：
由在可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函數,使,且
又由在可導，同理存在一個在點連續函數,使,且
于是就有，
因為，G在連續，H在連續，因此在連續，再由引理的充分性可知在可導，且
證法（二）
在點u可導，在點x可導，則復合函數在點可導，且
證明：因為在u可導，則或
當，用乘等式兩邊得，
但當時，,故上等式還是成立。
又因為,用除以等式兩邊，且求的極限，得
又在x處連續(因為它可導),故當時，有
則
最終有
高階導數
復合函數的最初幾個高階導數為：
參考資料 >