函數y=f(x)當自變量x的變化很小時，所引起的因變量y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對于這種現象，我們說因變量關于自變量是連續變化的，連續函數在直角坐標系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
定義
對于連續性，在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化著的。這種現象在函數關系上的反映，就是函數的連續性。
設函數 在點 的某個鄰域內有定義，如果有，則稱函數在點 處連續，且稱 為函數的的連續點。
設函數在區間 內有定義，如果 在 的左極限存在且等于，即，那么就稱函數在點 左連續。
設函數在區間 內有定義，如果 在 處右極限存在且等于，即： ，那么就稱函數 在點 右連續。
一個函數在開區間 內每點連續，則為在 連續，若又在 點右連續，點左連續，則在閉區間 連續，如果在整個定義域內連續，則稱為連續函數。
顯然，由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
等價定義
設變量x從它的一個初值變到終值，我們把 叫做x在處的增量（或變化量）。注意增量 可正可負。
同樣地，當自變量從變化到時，相應的函數值也發生變化。我們把 叫做函數值的增量（或變化量）。
再來分析連續的定義。若令，則 等價于，于是 等價于。
而根據極限的定義， ，當 時，有
因此，得到函數連續的另一個定義：這就是說，如果自變量在某一點處的增量趨于0時，對應函數值的增量也趨于0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。
注意：在函數極限的定義中曾經強調過，當時f(x)有沒有極限，與f(x)在點處是否有定義并無關系。但由于現在函數在處連續，則表示必定存在，顯然當（即）時。于是上述推導過程中可以取消這個條件。
間斷點
如果函數 在點 處不連續，則稱 在點 處間斷，并把 稱為 的間斷點。
間斷有以下三種情況：
1.在點 處 沒有定義，在 為發散狀態（如圖，在處無定義，并且在處發散到無窮大）；
2.在 無定義，趨近與 時連續波動（如圖，在處無定義，并且在0的某個去心鄰域內無限振蕩）；
3.雖然 有定義，且 存在，但不等于（如圖，分段函數在處的左右極限都存在，但不等于f(0)）。
法則
定理一 在某點連續的有限個函數經有限次和、差、積、商（分母不為0）運算，結果仍是一個在該點連續的函數。
定理二 連續單調遞增（遞減）函數的反函數，也連續單調遞增（遞減）。
定理三 連續函數的復合函數是連續的。
這些性質都可以從連續的定義以及極限的相關性質中得出。
應用
閉區間上的連續函數
閉區間上的連續函數具有一些重要的性質，是數學分析的基礎，也是實數理論在函數中的直接體現。下面的性質都基于f(x)是[a,b]上的連續函數得出的結論。
有界性
閉區間上的連續函數在該區間上一定有界。
所謂有界是指，存在一個正數M，使得對于任意，都有。
反證法，假設f(x)在上無上界，則對任意正數M，都存在一個，使。
特別地，對于任意正整數n，都存在一個，使。
依次取得到一個數列。顯然，是有界的，則根據致密性定理，存在一個收斂子列。記，由 及數列極限的保不等式性可知，（即）。
又由歸結原則和函數在點的連續性可知，另一方面，由的選取方法可知， ，于是當時， ，矛盾！
所以假設不成立，f(x)在上必有上界。
同理可證f(x)在上必有下界，從而f(x)在上有界。
最值性
閉區間上的連續函數在該區間上一定能取得最大值和最小值。
所謂最大值是指，上存在一個點，使得對任意，都有，則稱為在上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。
證明：利用確界原理：非空有上（下）界的點集必有上（下）確界。
由于已經證明了在上有界，因此由確界原理可知，的值域必有上確界和下確界。
設的上確界為M，則必存在使
若不是這樣，根據上界的定義，對任意，都有。
令，由連續函數的四則運算法則可知g(x)在上是連續函數，故g(x)在上有上界，設為G。則。整理該式子得，這與M是的上確界相矛盾，因此存在，使。由上確界的定義可知，M是f(x)的最大值。
同理可證f(x)有最小值。
介值性
若，且。則對A、B之間的任意實數C，在開區間上至少有一點c，使。
這個性質又被稱作介值定理，其包含了兩種特殊情況：
（1）零點定理。
也就是當f(x)在兩端點處的函數值A、B異號時（此時有0在A和B之間），在開區間上必存在至少一點ξ，使。
（2）閉區間上的連續函數在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。
也就是設f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分別為，并且。在閉區間或上使用介值定理即可。
證明：零點定理可以利用閉區間套定理：如果是一個閉區間套，那么存在唯一實數ξ屬于所有的閉區間。詳細證法參考相應詞條。
介值定理可以構造輔助函數來證明。
令，其中C是A和B之間的任一實數，則g(x)在上連續。不妨設A
根據零點定理，在開區間(a,b)上至少存在一點c，使g(c)=f(c)-C=0。。
對于的情況有完全相同的證法。
一致連續性
閉區間上的連續函數在該區間上一致連續。
所謂一致連續是指，對任意（無論其多么?。?，總存在正數δ，當區間I上任意兩個數滿足時，有，就稱f(x)在I上是一致連續的。
證明：利用有限覆蓋定理：如果H是閉區間的一個無限開覆蓋，那么能從H中選擇有限個開區間來覆蓋。詳細證法參考相應詞條。
反函數連續性
如果函數f在其定義域D上嚴格單調且連續，那么其反函數f也在其定義域f(D)（即f的值域）上嚴格單調且連續。
證明：嚴格單調函數必定有嚴格單調反函數，并且單調性相同（證法參考反函數詞條），因此只要證明反函數也在其定義域上連續即可。
設f是定義在D上的嚴格單增的函數（嚴格單減同理）。作輔助函數，顯然g(x)的反函數就是它本身。
由于g(x)在R上是連續的，因此它在D上也是連續的。
①若D是開區間，設x0是D上任意一點，由g(x)的連續性可知，對任意，存在，使得當時，。即。
于是可取區間上滿足的兩點（前提是落在D內），根據f的連續性可知開區間內的所有x（包括x0）都滿足。
設是對應的值，由f的單調性可知。
不妨設，（等于同理），則當，即時，有。
根據上述分析，當時，就有。即對任意，存在δ’，當時，。這就證明了f在y0處連續。由于x0是任意的，因此y0也是任意的，因此f在f(D)上連續。
②若D是半開半閉區間，不妨設，則f在f(D')上連續，因此只要證f在f(a)處也連續即可得到f在D上連續。
∵g(x)在處右連續
∴對任意，存在，使得當時，。
可取區間上滿足的點（前提是x1落在D內），根據f的連續性可知開區間(a,x1)內的所有x（包括x0）都滿足。
設f(a)、y1、y0是a、x1、x0對應的值，由f的單調性可知。
不妨設，（等于同理），則當時，有。
據上述分析，當時，就有。即對任意，存在δ’，當時，。這就證明了f在f(a)處右連續。從而f在f(D)上連續。
同理可證若時，f在f(D)上連續。
③若D是閉區間，則根據①和②，f在D的左右端點以及D的內部都連續，從而f在D上連續。
定理得證。
參考資料 >