反函數（英文名：Inverse 函數），又稱為逆函數，對一個定函數做逆運算的函數。
反函數的定義是：設函數的定義域是，值域是。如果對于值域任意的，通過關系式，都有唯一確定的數值與之對應，那么由此所確定的以為自變量，為因變量的新函數叫做函數的反函數，記為，它的定義域為，值域為。
反函數的概念最早可以追溯到17世紀的歐洲數學家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Adrien-Marie Legendre），他首先提出了函數的反函數的概念，并通過對稱圖形來描述反函數和原函數之間的關系。反函數存在性定理為與其相關的重要定理，它的內容是：對于任意一個函數來說，不一定有反函數。只有在函數的定義域與值域之間建立了雙射關系的前提下，函數才存在反函數（默認為單值函數，原函數不一定是整個數域內一一對應）。反函數具有奇偶性、圖像對稱性、單調性等基本性質。
反函數的運算包括求一個函數的反函數、反函數求導數、反函數求積分以及反函數的泰勒展開公式運算等。反函數在數學、物理、經濟等領域都有應用，如運用反函數可以計算出一些函數的導數和積分。
定義
映射
設是兩個非空集合，如果存在一個法則使得對中每個元素，按法則，在中有唯一確定的元素與之對應，則稱為從到的映射，記作。其中稱為元素（在映射下）的像，并記作，即，而元素稱為元素（在映射下）的原像；集合稱為映射的定義域，記作，即中所有元素的像所組成的集合稱為映射的值域，記為或，即。
函數
設和是兩個變量，為一個給定的非空數集，如果按照某個法則，對每一個，變量總有唯一確定的數值與之對應，那么叫做的函數，記作，，其中變量叫做自變量，變量叫做函數或因變量，自變量的取值范圍叫做函數的定義域，所有函數值組成的集合稱為函數的值域。是函數符號，它表示與的對應規則，函數符號也可以用其他字母來表示。
反函數及符號表示
設函數的定義域是，值域是。如果對于值域任意的，通過關系式，都有唯一確定的數值與之對應，那么由此所確定的以為自變量，為因變量的新函數叫做函數的反函數，其對應規律記作，的反函數記為，它的定義域為，值域為。原來的函數稱為原函數或直接函數。函數中，字母表示自變量。若存在反函數，為求反函數，需求以為自變量表示：；習慣上，用字母表示自變量，用字母表示因變量，改寫成，稱之為函數的反函數。函數的定義域是其反函數的值域，函數的值域是其反函數的定義域。
反函數的符號是一個整體，不是的次冪或。
相關歷史
函數概念的提出
“函數”這個詞用作數學的術語，最早是德國的數學家戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出的。17世紀末，在他的文章中，首先使用了“函數”一詞，翻譯成漢語的意思就是“函數”。它指的是關于曲線上某點的一些線段的長，如“橫坐標”“縱坐標”“弦”“切線”“法線”等概念。18世紀，法國數學家讓·達朗貝爾在進行研究中，給函數重新下了一個定義，認為所謂變量的函數，就是指由這些變量和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數關系。1837年，德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）進一步給出函數的定義為：對于在某區間上的每一個確定的值，都有一個或多個確定的值，那么叫做的函數。
反函數概念的提出
反函數的概念最早可以追溯到17世紀的歐洲數學家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德，他首先提出了函數的反函數的概念，并通過對稱圖形來描述兩個函數之間的關系。同一時期，英國物理學家、數學家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和德國的數學家戈特弗里德·萊布尼茨獨立地發現了微積分學，并在此基礎上做出了對反函數的重要貢獻。艾薩克·牛頓將反函數的研究與微積分相結合，提出了一種求解反函數的方法，即牛頓法。戈特弗里德·威廉·萊布尼茨則通過引入導數和微分的概念，對反函數進行了更加系統和深入的研究。19世紀，高斯對反函數的研究進行了推進。他提出了一個重要的定理，即反函數存在的充分必要條件是原函數為單調函數，這個定理為反函數存在性定理，為后來對反函數的研究奠定了基礎，也為函數論的發展做出了重要貢獻。
反函數存在性定理
反函數存在性定理：設函數在某區間內嚴格單調增加（或減少），又設與這個相對應的值域是，那么在內必存在反函數，它在內也是嚴格單調增加（或減少）。若一個函數有反函數，此函數便稱為可逆的（invertible）。如果對應的一一映射是，則它的相反的映射也為一一映射，成為一個函數（即得反函數）。
反函數的存在性表明：對于任意一個函數來說，不一定都有反函數。如果函數有反函數，那么原來函數也是其反函數的反函數，即它們互為反函數。函數存在反函數的充要條件是對不同的自變量值，其函數值均不同。因此，要判定一個函數存在反函數，需判定對定義域內任意的兩個自變量值，是否總有它們的函數值也不同，只需找出兩個不同的自變量值，它們的函數值卻相同。
性質
函數與它的反函數的圖像關于直線對稱。若點在圖像上，則在圖像上。
例：若點在函數的圖像上，由在它的反函數的圖像上，求的值。
解：由點在函數的圖像上得，又在它的反函數圖像上，則在函數的圖像上，得，二式聯立解得。
同一坐標系內，函數與它的反函數的圖像的交點，或者在直線上，或者關于直線對稱地成對出現。若函數是單調增函數，那么與它的反函數的圖像的交點必定在直線上。
證明：若點是與的圖像的交點，則點必定也是。所以及。
因為，不妨設，又因為是單調增函數，所以，因為，所以，這就與相矛盾了，因此只能，故交點必定在直線上。
例：解方程。
解：因為函數是定義在上的單調增函數，且它的反函數就是，所以原方程的求解問題可以轉化為求函數與的交點問題。根據反函數圖像交點的性質，可進一步轉化為求函數與直線的交點問題，因此可知原方程等價于：，所以，所以，所以或（無解），所以，所以原方程僅一個實根：。
函數單調性的概念：設函數在區間內有定義，如果對于任意的，當時，有，則稱函數在內單調增加；若，則稱函數在內單調減少。單調增加和單調減少的函數，統稱為單調函數，相應的區間稱為函數的單調區間。
反函數的單調性：設函數是定義域上的單調增（減）函數，那么此函數存在著反函數，且反函數也是單調增（減）函數。即互為反函數的兩個函數具有相同的單調性。
反函數單調性的證明：任取，且。按函數的的定義，對于，在內存在唯一的原像，使得，于是；同理，有，于是。如果，函數為單調遞增函數，必有，則當時，，有。
函數奇偶性的概念：設函數的定義域關于原點對稱，如果對任意的，有，則稱為偶函數；若有，則稱為奇函數。
反函數的奇偶性：若奇函數存在反函數，則其反函數也是奇函數；定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數，例如，函數，為常數，僅這樣的偶函數存在反函數。
反函數的反函數：若函數存在反函數，則，，即反函數的反函數就是原函數。
例：已知，分別求出的值。
解：的定義域，的值域，即的定義域，由反函數的反函數性質，，知，而，知無意義，由，，可知，無意義。
一些函數的反函數
分段函數的反函數
若一元函數的定義域由若干段組成（每段可以幾個區間的并或一個區間或一個點），在不同段上有相應的表達式，則稱在這個定義域上定義了一個分段函數。這種函數的對應關系是分段表示的，稱為分段定義的函數，簡稱分段函數。
已知函數（其中）。若函數在上均存在反函數，且，那么分段函數存在反函數，且反函數為。
判斷函數是否存在反函數，若存在反函數，請求出其反函數。
解：當時，函數單調遞增且相應的值域為，其反函數為：。當時，函數單調遞增且相應的值域為，其反函數為：。又因為，所以原分段函數存在反函數，其反函數為：。
復合函數的反函數
設，，則也是一個函數，它稱為是由函數和復合而成的復合函數，其中稱為中間變量。
定理1：設函數，，若與都存在反函數，分別為與，那么復合函數存在反函數且反函數為。
定理2：設函數由n個函數復合而成。若這個函數均存在反函數，分別為，則復合函數存在反函數且反函數為。
已知函數的反函數為，求函數的反函數。
解：因為的反函數為，的反函數為。于是由定理1知函數的反函數為。
反函數的運算
求反函數
若已知函數存在反函數，求該函數的反函數，一般步驟為：第一，求函數的值域；第二，將看成的方程，由求出，得；第三，在中，將互換得到；第四，標出反函數的定義域，即第一步中求出的值域。
求函數的反函數，并在同一坐標系中畫出它們的圖像。
解：函數的定義域為，值域為。由得，所以，函數的反函數為。
由反函數圖像的對稱性作出的圖像，然后作出它關于直線的對稱圖形即為函數的圖像。
反函數求導數
如果存在一個數，在函數里，無論預先給定任意小的正數，總存在一個正數，使得對于時的的一切值，有，那么，數叫做函數的極限。記作或（當時）。因為函數的自變量是取實數值，即是函數的定義域在區間內，所以當都取正值，就可記作；當都取負值，便記作。
設函數在點的某鄰域內有定義，當自變量在處取得增量時，函數有相應的改變量。如果極限存在，則稱函數在點處可導，并稱此極限值為函數在點處的導數，記作，即。
若函數在點的某鄰域內連續，嚴格單調，且，則它反函數在處可導，且。
證明：函數存在反函數。
設在點的自變量的改變量是，則，。
因函數在點的某鄰域內是嚴格單調的連續函數，所以反函數在的某鄰域內也是嚴格單調的連續函數，因此當時有；當時，有，于是，，由此可得，即反函數在處可導，且，即反函數的導數等于直接函數導數的倒數。
設，在個自變量中，固定個：，讓變化，那么可視僅僅是的一元函數，對求導數，便是多元函數的偏導數。
設可微函數存在兩個可微的分別偏和偏的反函數和，且這兩個函數在相應定義區域、內滿足，則可微函數在相應定義區間內兩個偏導數存在，且。
已知函數在點處的導數，其幾何意義是：曲線在點處的切線斜率，如下圖所示，則，其中為切線的傾斜角。
同理函數的反函數在點處的導函數，其幾何意義是曲線在點處的切線關于軸正方向的斜率，如下圖所示，即。由下圖顯然，即，那么，即，也即反函數的導數等于直接函數導數的倒數。
已知函數，求該函數的偏導數。
解：是的反函數，顯然可導，且，所以，即。
反函數求積分
如果在給定的區間里，是函數的導數，或是的微分，即或。那么，在給定區間上，叫做函數的原函數，或的積分。求一個函數的原函數，稱為求積分，用式子表示。
設是單調連續函數，是其反函數，且，求。
解：因為是單調連續函數的反函數，所以。由分部積分法，并注意到的一個原函數為，可得。
計算：
解：由于，取，即，則，，，，。所以。
反函數的泰勒展開
設是定義在區間內的函數，是正整數，在區間內存在，，則對于任意的，有的多項式展開式：，該式即泰勒展開式，式中，，其中為的介值：。
設函數在區間上存在反函數，且及，于是在上可對其反函數進行階泰勒展開：。其中，（原理：反函數的導數與原函數導數互為倒數），在區間內可用的階以下的導數組合表示，即，則。
根據精確度要求，構建反函數解析式，如取時反函數的解析式：
當時，(這實質上就是牛頓法）。
當時，。
當時，。
由原函數，在速度軸上以的步長遞增，求加脈沖時間間隔。
解：，，，，，避開的點（這里是），以為起點，每次計算采用暖啟動方法，即以上次計算出來的點作為起點。由反函數進行階泰勒展開式：，得。
依據精度標準驗證，用的等式近似計算反函數，取1000分點驗證，誤差基本約等于8.561181729228595e-004，時，誤差穩定在5.519257088909546e-004，比時精確度提高，當時，誤差基本穩定在4.197309787538073e-004，當時已達到0.003的精度要求，這個精度高，也穩定，如果要求達到0.0003的精確度要求，可增加階數，精確度會越來越高，但程序也復雜，經實驗觀察，當時，得到的誤差都是正的，基于穩定在5.519e-004，在實際應用時還是應用上次計算的結果作為下步計算的起點，但機器執行時長可通過誤差糾正的方法提高精度。計算結果圖形如圖1至圖3所示，因為是高精度要求，肉眼看不出差別。
自反函數
定義
定義域為的函數存在反函數，若對于任意，恒有，則稱函數為自反函數，即自反函數是指函數的反函數等于它本身的函數，自反函數的定義域與值域相等。常見的自反函數有：、與等。
判定方法
函數為自反函數的充要條件是：對于任意，恒成立。
證明：因函數與其反函數相同，即有。將代入，得。這表明條件是必要的。
反之，若成立，將代入，得。這表明反函數的表達式與相同，故條件是充分的。
函數為自反函數的充要條件是它自身的圖像關于直線成軸對稱。
證明：若與相同，即有，于是點和都滿足，故曲線本身對稱于。反之亦然。
函數為自反函數的充要條件是也為自反函數。
證明：將變為，若令，，則為。按條件函數與其反函數相同。實際上僅是將沿軸和軸同時平移了個單位。故曲線本身關于直線是對稱的。
若自反函數是函數奇偶性，則也是自反函數。
證明：因為，而，記，則。所以是自反函數。
應用
反函數在數學、物理、經濟等領域都有廣泛的應用。
數學領域
反函數是微積分有力的計算工具，運用反函數可以計算出一些函數的導數和積分。在一元函數微分學中，反函數求導法則用來求一些函數的導數。在不定積分的計算中，常用的方法有直接積分法、換元積分法和分部積分法；若利用反函數的積分來計算同樣可以求出一些函數的不定積分。根據定積分的可積條件與分步積分法推出一種利用反函數求定積分的簡便方法。例如，利用反函數計算，由于，取，即，，所以。
物理領域
在物理學中，反函數被用于描述物理量之間的關系，速度、時間和距離，加速度和力等。例如物體運動的速度、時間和距離之間的函數關系為、、，若物體運動的距離為，速度和時間的函數關系為，那么它的反函數為，反映的是物體運動速度與時間之間的關系；若物體運動的速度不變，時間和距離之間的函數關系為，那么它的反函數為，反映的是物體運動距離與時間之間的關系。
牛頓第二運動定律指出：物體受到外力作用時，物體所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同，即，式中，為物體所受到的合外力，為物體的質量，為物體所獲得的加速度。若物體的質量不變，所受到的合外力與所獲得的加速度的函數關系為（為質量），那么它的反函數為，反映的是物體所獲得的加速度與所受到的合外力之間的關系；若物體所受到的合外力為，質量與所獲得的加速度的函數關系為，那么它的反函數為，反映的是物體所獲得的加速度與質量之間的關系。
經濟領域
在經濟學中，反函數被用于描述需求和供給之間的關系，以及價格和數量之間的關系。例如，商品的價格與它的市場需求量之間的函數關系為，那么它的反函數為，它反映的是產品的需求量與價格之間的關系。如下圖，市場價格為時，消費者剩余為，需求量為;市場價格下降至，消費者剩余增加到，需求量增加到；市場價格上升到，消費者剩余減少到，需求量減少到。可見商品的市場價格變動引起商品本身需求量反方向變動，與消費者價格和需求量之間的變動趨勢是一致的。
參考資料 >
Inverse Functions.SFU.2023-11-07
函數.中國大百科全書.2023-11-14