雙射（Bijection），也稱一一映射，是指既是單射又是滿射的映射。雙射是集合論中的重要概念，對于兩個集合之間的元素，雙射是將A中所有的元素逐一映射到B中，而B中的每一個元素也恰好與中的每一個元素相對應，兩個集合中的元素均全部一一配對，沒有遺漏。數學語言可表示為：對于兩個非空集合間的映射，若由任意，都有，且對任意，都存在，使得，則稱為雙射。
雙射最早是在1954年由法國數學團體尼古拉·布爾巴基在《數學原本卷一：集合論》提出的概念，在此之前，學術界同概念使用的詞是一對一到上（one-to-one onto），布爾巴基對術語進行了標準化并得到了廣泛認可，最終形成了如今的數學名詞。
雙射給集合間的關系帶來優良的性質。在公理集合論里，若 X和 Y為有限集合，則其存在兩集合的雙射函數當且僅當兩個集合有相同的元素個數；若兩個無限集合間存在雙射，則集合的基數相同（基數的概念用以分辨無限集合的不同大?。?，也稱兩個集合等勢。
雙射在抽象代數、泛函分析中均有應用。雙射是群同態、環同態、置換、對稱群等概念的基礎，也是線性算子恒等映射的條件。雙射因其一一對應的思想和形式，在其他學科領域也有出現，比如計算機技術中的電子簽名方案等。
歷史
雙射（Bijection）作為一個詞出現的歷史并不是很久。1954年，法國數學團體尼古拉·布爾巴基（法語：Nicholas Bourbaki）的《數學原本卷一：集合論》（法語：Théorie des ensembles，éléments de 數學ématique Première Partie）中首次提到了單射、滿射、雙射的概念（injection、surjection、bijection）。在此之前，學術界同概念使用的詞是一對一關系、到上及一對一到上（one-to-one、 onto、one-to-one onto），布爾巴基對術語進行了標準化并得到了廣泛認可，最終形成了如今的數學名詞。
定義
設為兩個非空集合，如果有某一法則，使得每個有唯一確定的和它對應，則稱為到內的映射，記為。
若由任意，可推得，則稱為單射；若對任意，存在，使得，則稱為滿射；若既是單射又是滿射（即對任意b∈B存在唯一a∈A滿足f(a) = b），則稱為雙射。
相關概念
像和原像
設為兩個非空集合，如果有映射，使得每個有唯一確定的和它對應，則稱為元素在映射下的像，并記作，即。而元素稱為元素在映射下的一個原像。
定義域和值域
設為到內的映射，集合稱為映射的定義域，記作。中所有元素的像組成的集合稱為映射的值域，記作或，即。
對于每個，元素的像是唯一的，但對于，元素的原像不一定是唯一的。映射的值域是B的一個子集。
逆映射
設為到內的映射，我們得到了值域，因此可以定義一個從到的新映射，即。對于每個，規定，這個映射稱為的逆映射，記作，其定義域為，值域。由定義可知，只有單射才存在逆映射。
復合映射
設有兩個映射，其中，從而可以定義一個由到的對應法則，它將每個映成。我們將這個映射稱為映射和構成的復合映射，記作，即。由定義可知，映射和構成復合映射的條件是的值域必須包含在的定義域內。另外值得注意的是和的復合是有順序的，和一般是不同的。
基本性質
對等
若是非空集合，且存在雙射，則稱與對等，記為，規定（為空集）。
對于對等關系，有以下性質：
對于任何集合，均有
（1）（自反性）；
（2），則（對稱性）；
（3），，則（傳遞性）
伯恩斯坦定理
設是兩個非空集合，如果對等于的一個子集，又對等于的一個子集，那么對等于。這個結論就是康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理(英文：Cantor-Bernstein-Schroeder theorem)。
可數集或可列集
是全體正整數，如果對等于，則稱為可數集或可列集。
等勢
若集合和之間存在雙射，則稱它們有相同的基數，也稱兩個集合等勢。如果與不對等，但存在的真子集和對等，則稱比有較小的基數。
不可數集
可數集的基數我們記作，讀作“阿列夫零”。若集合的勢大于可數集的勢，則稱它為不可數集。[0,1]區間便是一個不可數集。我們稱這樣的集合為不可數集或不可列集，它是具有連續統的勢的集合。我們記不可數集的勢為，讀作“阿列夫”。
判定
方法
第1步
第1步應先判斷是否為映射.映射有三要素才可稱為映射：一是有定義域；二是有值域；三是有對應法則，對于每個有唯一確定的和它對應。第三點里面的唯一且確定必不可少。如果不滿足這三條，就不是映射，那么雙射也無從談起。
第2步
第2步是如果滿足了映射的條件，就看是否為單射。即判斷中任意兩個不同元素，它們的像是否成立，若成立則為單射。
第3步
第3步是如果滿足了單射，再看是否為滿射，即判斷中任意元素是否都有中某元素的像，若成立則為滿射。兩者均成立則映射為雙射。
例子
例1
設，對每一個，它既不是單射也不是滿射。比如4的原像有兩個，2和-2，因而不是單射。負數沒有原像，因而不是滿射。故該映射不是雙射。
例2
設，對于每個，有唯一確定的與之對應，因而是滿射。然而卻不是單射。故該映射不是雙射。在幾何上，這個映射表示將平面上的一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到軸的區間。
例3
設和是兩個同心圓周，由于上每一點與同心圓的圓心的連線與相交且只交于一點，因此上的點與上的點之間構成雙射。這個例子說明一個較長的線段并不比另一個較短的線段含有“更多”的點。
例4
區間（0,1）和全體實數集之間存在雙射，只需要對每個，令即可。這個例子說明無限長的“線段”也不比有限長的線段有“更多的點”。
應用
基礎數學
抽象代數
雙射在抽象代數中常常可見它的身影，對群、環、域的研究是不可或缺的。雙射因為其較好的性質，使得一些概念常常根據雙射構造。以下列舉一些重要的定義及定理。
群同態及環同態
設和是兩個群，如果映射滿足
則稱是到的一個群同態。若對任意（為幺元，為中的幺元）則稱f是平凡同態。若同態是單（滿）射，則稱是單同態（滿同態）。若同態是雙射，則稱f是到的一個群同構，此時稱群和是同構的，記為。特別地，稱群到自身的群同態（或者群同構）為的一個自同態（或自同構）。環也有類似的定義。事實上，環同態是加法群到加法群的群同態。
群同態定理
群同態定理：設是群到的滿同態，（，稱為同態的核），則建立了中包含的子群與中子群間的雙射。
置換和對稱群
非空集合到自身所有雙射組成的集合對于映射的乘法成一個群，成它為集合的全變換群。當為有限集合時，到自身的一個雙射叫做的一個置換。設有個元素，不妨記為，這時的一個置換稱為元置換，并稱的全變換群為元對稱群，記為。
組合數學
構造雙射對無序分拆 、有序分拆 、完備分拆 、連續分拆 、奇偶分拆以及等差分拆等正整數分拆理論有實際作用，可以構造證明或者推出新的恒等式等。比如有序分拆與Frobenius分拆之間存在雙射對應關系，正整數的有序分拆數等于恰含最大分部量為，且滿足Frobenius分拆的自共軛無序分拆數。
泛函分析
在線性算子等研究中有具體應用，可構造并證明某些算子代數中的恒等映射問題。比如設是維數大于1的復Hilbert空間上有界線性算子的全體得到的函數，對于中的任意，定義擬積。則是上的雙射且滿足的充要條件是當時，存在上的酉算子或共軛酉算子使得。
科學研究
可以構造不同結構圖之間的雙射，以解決復雜圖中出現的應用問題。比如在研究混合元樹的集合中避免若干模式的計數問題上，可以構造避免一種模式的混合元樹與間的雙射。
生產生活
計算機技術
雙射也可以抽離出純粹數學的概念，轉換為一種生活中一一對應的思想，這種一一對應也是雙射。計算機網絡安全常常使用這種思想制定比如基于身份的可認證的簽名方案，來保證電子商務和電子現金支付業務中的安全性，并提高效率。比如可以使用雙射對優化具有代理保護的強代理簽名方案，使其計算復雜度大幅減少。
數據分析
可以通過在數據組成的集合之間建立雙射函數以尋求數據之間的對應關系，從而可對多維數據和一維數據相互轉換，以達到數據轉換、加密、存儲、查詢等處理方法。比如可以將管理機構的企業信息寫成五元組的形式，然后構造雙射將這五維數據映射到一維數據上，由于一維數據更沒有規律性，且表面上與五維數據毫不相干，因此可以很好地進行數據加密。
參考資料 >
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I).MacTutor.2023-08-12