單射（injection或injective）又叫入射，是指映止集合中的每個元素都至多有一個原像的映射。其定義為：若對于X中的任意兩個不同元素x1、x2，x1≠x2，它們的像f(x1)≠f(x2)，則稱f為X到Y的單射。更精確地說，函數f被稱為是單射時，對每一值域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y。
19世紀初，隨著重建數學基礎運動的發生，波爾扎諾（Bolzano）對建立無窮集合理論提出了重要見解。后來，格奧爾格·康托爾（cantor）又研究了集合的映射問題，并在1874年提出了集合的定義。1954年，法國數學團體尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）的《數學原本卷一：集合論》中首次提到了單射、滿射、雙射的概念，形成了現在使用的數學名詞。
單射具有一些基本性質，如若f和g皆為單射的，則f o g亦為單射的。通過是否滿足充要條件可以對單射性進行驗證。在集合范疇中，函數是內射的當且僅當它是一個單射。此外，該概念在其他領域應用廣泛，如計算機科學中，一種沿光路逆向迭代的算法，通過建立從元素圖像顯示面到重建光場的單射映射，達到提高像素的匹配精度的目的。
定義
映射
設、是兩個非空集合，如果存在一個法則，使得對中每個元素，按法則，在中有唯一確定的元素與之對應，那么稱為從到的映射，記作
，
其中稱為元素（在映射下）的像，并記作，即
，
而元素稱為元素（在映射下）的一個原像。
在映射中，始集()稱為映射的定義域，記為或；終集()稱為映射的陪域，記為或；稱為映射的值域，記為或。
單射
如果一個映射的映止集合中的每個元素都至多有一個原像，那么就把這個映射稱為單射。即若對于中的任意兩個不同元素，它們的像，則稱為到的單射。
相關概念
滿射
雙射
雙射也稱滿單射、一一對應、到上的一一映射等，指同時是單射和滿射的映射。
三者區別
單射：對于映射的值域中每個像元素，都唯一存在自己的原像。
滿射：集合中的每個元素都存在原像。
雙射：集合中的每個元素都唯一存在自己的原像。
簡史
發展背景
關于映射，早在1638年，伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）就發現，自然數和自然數的平方之間有一一對應的關系。19世紀初，微積分中的許多迫切問題得到解決后，反過來，一場重建數學基礎的運動出現，促進了集合論的誕生。后來，波爾扎諾（Bolzano）對建立無窮集合理論提出了重要見解。其在《無窮的悖論》中，堅持實無窮集合的存在性，強調兩個集合的等價概念（即兩集合元素間存在對應），并注意到無窮集合的真子集可以同整個集合等價。但是該著作直到他死后三年，也就是1851年才問世。
1870年，格奧爾格·康托爾（cantor）應朋友海涅（Heine）邀請開始研究函數的三角級數表示的唯一性問題。他在1871年至1872年的論文中逐步把三角級數展開的唯一性條件推廣到允許例外值成為無窮集的情況，把函數間斷點問題的研究過渡到對點集本身的研究，明確提出了點集、點集的導集、導集的導集等由實數構成的更復雜的集合。后來，康托爾又研究了集合的映射問題，并在1873年12月給戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）中的信中說，他已成功證明了實數集是不可數的。次年，他在1874年提出了集合的定義。但是，后來人們認識到集合是一個原始的概念，不能用其他概念來定義，而只能加以描述或說明。
詞源
單射作為一個名詞出現的歷史并不是很久，1954年，法國數學團體尼古拉·布爾巴基（法語：Nicholas Bourbaki）的《數學原本卷一：集合論》中首次提到了單射、滿射、雙射的概念。在此之前，學術界同概念使用的詞是一對一關系、到上、一對一到上，布爾巴基使術語標準化，形成了現在使用的數學名詞。
性質
（1）等價命題：映射是單射的充要條件是：任意兩個不同的元素，都使。
證明：先證充分性。假設映射滿足命題，求證它是單射。用反證法，設不是單射，則存在，的原像不止一個，可以設是的不同的原像，即。這與矛盾。因此是單射。
再證必要性。設映射是單射，求證它滿足命題。仍然用反證法，設不成立，則存在中兩個不同的元素，使。令，則是的兩個不同原像，這與單射定義矛盾。所以成立。
（2）性質（1）的逆否命題：映射是單射的充要條件是：若，，則。
（3）只有單射才存在逆映射。設，若為單射，則對于的任意子集，有。
（4）設的一個映射，的一個映射，則合成映射滿足：當都是單射時，也是單射。
（5）設是任意兩個集合，若存在從到的單射，則稱的基數小于或等于的基數，記作（若是有限集，表示集合中所含元素的個數，若是無限集，用只表示其基數或勢）。
（6）對于，定義映射為：對任意，。稱為包含映射或內射。包含映射是單射。
（7），當且僅當為單射時相等。
（8），當且僅當為單射時相等。
（9），當且僅當為單射時相等。
（10），當且僅當為單射時相等。
舉例
正例
例1：映射，是單射。
證明：設且，求證。
因為，所以或，又因為真數較大，則對數也較大，所以有或。總之，無論何時，都有，證畢。
根據上面的性質，要證一個映射是單射，只要任取映始集合中的元素，或者假設，求證和的像不等，或者假設的像相等，求證。要說明一個映射不是單射，只要列舉出映始集中兩個不同的元素具有相同的像即可。
例2：設有函數，。顯然，是單射的，因為當時，。
反例
例3：映射，不是單射。
證明：可取中的和，它們滿足。這說明中存在不等的實數，在下的像相等。因此，不是單射。
例4：設有函數，。不是單射的，因為。
推廣
范疇論中的單射
態射在范疇論中扮演著主要的角色。因為范疇論將許多不同數學領域但具有相似特征的具體數學對象和映射抽象為統一的概念是通過態射來實現的。例如一個集合是一個單點集，從范疇論的角度可以等價地表示為任意一個集合到集合恰好存在一個映射。
單射：是一范疇的單射，如果對該范疇中任何對象和任意射蘊涵。在集合范疇中，函數是內射的當且僅當它是一個單射。此定理說明了單射（內射）函數恰好是集合范疇內的單態射。
證明：設是內射的，令是的可變元素。如果，那么存在一個使得，于是，從而。故是單射的。
反之，設是單射的，取常量且，那么。因為常量對應的元素，所以有蘊涵，也就是是內射函數。
子對象：在許多具體的范疇中經常需要討論某個對象的"子對象"，因此，可以將這一概念抽象為范疇概念，但是在范疇論中與其說是討論對象之間的"包含關系"，不如說來討論"包含態射"的性質。由于不同的具體范疇中對"包含態射"的要求不同，所以不能給出一個統一的條件來刻畫所有的"包含態射"。在范疇中，對象的一個子對象是下的單射的一個等價類。單射是內射，所以子對象是內射的等價類。
應用
密碼學
在密碼學中，仿射密碼是單表替代密碼的一個特例，是一種線性變換。即仿射密碼就是移位密碼和乘法密碼的結合（更確切地說是二者的線性結合，將移位密碼和乘法密碼進行線性組合就可以得到更多的選擇方式獲得密鑰）。仿射密碼中會用到乘法，乘數也受到與乘法密碼相同的局限。但是，如果所選的仿射函數是一個單射函數，讓與互質（與乘法密碼類似），即要求仿射密碼，就能對密文進行解密。
計算機科學
在計算機科學中，對于元素圖像生成算法，傳統的方法是建立從光場到顯示面的映射，這會存在很多冗余映射。針對這一問題，人們提出沿光路逆向迭代的算法，建立從元素圖像顯示面到重建光場的單射，使元素圖像中的每個像素只對應唯一的光場像素，這可以提高像素的匹配精度，消除深度階躍處的空洞。該方法提出的元素圖像的計算生成速率是現有算法的8倍以上，圖像中的像素總數越大，該算法的速率優勢越明顯。
日常生活
在日常生活中人們也可以借助單射原理，將復雜的事情變得簡單，同時也能了解更多的信息。例如，兩個棒球隊首次對陣時，人們總會尋找球衣號碼為1的人，因為在業余棒球隊選手中，球衣號碼為1的隊員一般都是主力，只要了解主力選手，就能推測出那個棒球隊的實力。由于知道球衣號碼和選手是一一對應的，通過尋找1號選手可以推測該棒球隊的實力。
參考資料 >
單射.術語在線.2024-04-15
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I).MacTutor.2023-08-12