態射（morphism）是兩個數學結構之間保持結構的一種過程抽象，是從 X 指向 Y 的箭頭，其中 X小于等于Y。在集合論中，態射就是函數；在群論中，它們是群同態；在拓撲學中，它們是連續函數；在泛代數的范圍中，態射通常是同態；范疇論以抽象的方法來處理數學概念，將這些概念形式化成一組組對象及態射。
1890年代，戴德金（Richard Dedekind）強調保持集合上的運算不變的映射（即態射）。但直到20世紀30-40年代，對結構的一般概念的表述仍集中于集合、集合的元素以及定義在它們上的運算和關系，沒有強調態射。20世紀40年代，塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麥克蘭恩（Saunders Mac Lane）為了搞清楚某些同構（等價）的“自然”變換的精確含義合作了《自然等價的一般理論》，其中包括：一個范疇是由一些對象組成的類給出的，對于每個對象對（），都存在一個從到的對應（稱為態射）的集合。
態射可分為同構、滿同態、單同態、雙同態、自同態和自同構等。態射可以進行復合運算、單位運算和域運算。態射廣泛應用于不同領域，在數學領域中，是一種分析結構之間的聯系和轉換的有力工具，用以理解數學的結構本質；在計算機科學領域中，態射應用于程序之中，如軟件體系結構動態演示等。在心理學領域中，可以提供認知過程和認知結構整合的合適模型。
定義
態射是兩個數學結構之間保持結構的一種過程抽象，是從指向的箭頭，其中小于等于。在集合論中，態射就是函數；在群論中，它們是群同態；在拓撲學中，它們是連續函數；在泛代數的范圍中，態射通常是同態；在范疇論中，態射描述結構中對象之間的關系。
令和是兩個具有相同標號的（樸素）結構，并且是結構的基礎集，是結構的基礎集，是一個到的函數，即，并且滿足對每個標號和的元素，使得成立，則稱是從結構到結構的一個態射，記作。
相關概念
單態射
設是范疇，是的態射，如果對的任意態射若必有（或說可以左消去），則稱是單態射。
滿態射
設是范疇，是的態射，如果對的任意態射，若必有（或說可以右消去)，則稱是滿態射。
雙態射
設是范疇，。若即是單態射又是滿態射，則稱是一個雙態射。
常態射
設是范疇，。若對范疇中任意一對態射，都有，則稱是一個常態射。
共常態射
設是范疇，。若對范疇中任意一對態射都有，則稱是一個共常態射。
零態射
設是范疇，.若即是常態射又是共常態射，則稱是一個零態射。
歷史
戴德金（Richard Dedekind）將映射概念置于純粹數學概念的核心，作為算術、代數和分析的唯一基礎，這種態度在十九世紀的數學家中并不常見。戴德金從1870年代開始強調集合和集合上的映射，在1890年代強調保持集合上的運算不變的映射（即態射），如1894年域的同構映射，這標志著代數結構概念獲得發展。但直到20世紀30-40年代，對結構的一般概念的表述仍集中于集合、集合的元素以及定義在它們上的運算和關系，沒有強調態射。
20世紀40年代，塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麥克蘭恩（Saunders Mac Lane）為了搞清楚某些同構（等價）的“自然”變換的精確含義合作了《自然等價的一般理論》，它公理化地系統論證了兩人1942年發表在美國國家科學院院刊（Proceedings of the National Academy of Sciences）上的預告論文里介紹過的函子、范疇和自然等價等一連串的新概念。其中包括：一個范疇是由一些對象組成的類給出的，對于每個對象對，都存在一個從到的對應（稱為態射）的集合。
相關運算
態射滿足復合運算律、結合律以及單位態射等運算關系。
復合運算
1.如圖所示：態射與態射復合得到態射，記為。
2.若；態射，則存在唯一的復合態射，稱為與的復合；
恒等態射
對于任意的對象，存在態射稱為恒等態射，使得和對于任意的和成立。
1.每一個對象，存在一個態射，使得對任意的及有，，稱為單位態射，單位態射也稱為恒等態射。
2.每一個對象，存在一個單位態射，使得對任意的態射，有。
3.如圖所示：，，根據態射的復合，可得，。
結合律
1.若；態射，則；
2.如圖所示：根據態射的復合，可以得出；；進一步復合，可得出與都表示與之間的態射，因此有。
域運算
一組態射的集合，其中，態射，；稱是的論域，為的余論域（陪域），記作，。
陪域運算
態射通常用箭頭表示，其中箭頭從其定義域到其陪域。例如，如果一個態射的定義域是X，陪域是Y，那么這個態射可以表示為。
分類
態射的類型有同構、滿同態、單同態、雙同態、自同態和自同構等。
同構
同構也稱為可逆態射，或同構態射。設是范疇，，。若存在使得，則稱為可逆態射，或同構態射，簡稱同構，并稱為的逆態射。此時稱中的對象與是同構的。若的逆態射存在，則易證它是惟一的，并記作。
滿同態
設、、都是內的二元運算，、、都是內的二元運算，。如果到的滿射滿足那么就稱到（）的滿同態映射；若由（）到（）存在滿同態映射，那么就稱這兩者滿同態，記做（）（）或（）（）；
如果，，，那么就稱為（）的一個滿自同態映射或滿自同態（）。
單同態
設（，）和（，）是兩個群.和分別是和上的二元運算，又設是從到上的一個映射，若對，有，則稱是由群到群的一個同態映射。簡稱群同態；如果是單射的，則稱是到的單同態。
雙同態
設，是兩個同類型的—雙模，若是同態，又是同態，則稱為一個—雙同態。
自同態
設，是代數系統，如果是從，到，的同態，則稱為自同態。
自同構
設，是代數系統，如果是從，到，的同構，則稱為自同構。
舉例
在集合范疇中，（在某個給定的集合論模型中），其對象為集合，態射為映射。
在群范疇中，其對象為群，態射為群同態。類似地有群范疇、環范疇和模范疇。
在拓撲空間范疇中，其對象為拓撲空間，態射為連續映射。類似地有拓撲群范疇，其對象為拓撲群，態射為連續的群同態。可微流形為對象光滑，映射為態射的范疇。
在拓撲空間同倫范疇中，其對象為拓撲空間，態射為連續映射的同倫等價類。
在點拓撲空間范疇中，其對象為序對(X,x)，其中X是非空拓撲空間，，態射為保點連續映射（稱為保點連續映射，當且僅當是連續映射并且滿足）。
在函子范疇中，態射是自然變換，函子可以視為小范疇的范疇中的態射。
應用
數學領域
理解數學結構
態射是一種分析結構之間的聯系和轉換的有力工具。“態射”作為數學域的中心特性被范疇論最初直接應用，通過范疇統一理解數學內容。隨著數學結構主義思想的普及，“態射”被用以理解數學的結構本質。數學結構由對象與對象之間的關系決定，而范疇論是對象與態射的理論，據此，范疇論與數學結構產生了關聯，而且范疇論的對象與態射語言在表達結構時非常契合，譬如一個拓撲結構，只需要考慮空間之間的連續映射，不需要考慮空間中涉及的無結構內容。范疇的結構性質是通過態射表述的，因為范疇中的對象除了與同范疇中其他對象之間的關系外不具有任何其他性質，而對象與其他對象之間的關系就是態射。
測量
德國數學家奧托·霍爾德（Otto H?lder）將幾何學的公理學方法運用于測量理論，首次實現了對象域內發生事實的數值表示條件必要性和充分性問題的研究。在霍爾德看來，對象顯示出一定的屬性量級，組成了定性比較組合系統，這里的“表示”即為同構的含義。根據霍爾德的研究，“未來標準分析的一個重要部分將是建立了一個比較組合的經驗系統必須滿足的公理，使一個加法態射將這樣的系統轉換成實數，因為由于相加性測量是測量的范式，對其條件的分析將是度量化的范式。
計算機領域
程序
在計算機科學中，態射表示過程的想法出現在應用程序中，程序由范疇中的態射表示，數據類型是對象。范疇論方法在計算機科學中應用的主要思路是：將具有相似特征的不同研究對象及其關系高度抽象為一個統一的范疇概念。而態射則是實現這種抽象的數學工具。同時，每個對象均可由恒等態射等價替換，即態射是范疇論研究與應用的核心。下面是態射在軟件體系結構動態演示中的運用：
設有一個軟件體系結構，它對應的超圖為，再給定一個超圖產生式規則，其中為超圖到超圖的一個部分超圖單射，如果運用超圖產生式規則可由變換得到(為另一個軟件體系結構超圖），則稱為一個軟件體系結構演化產生式規則，簡稱為軟件體系結構演化規則。
算法
態射在基本分類器的機器學習中應用，其具體描述：假設輸入空間為對象，且，樣本集對象，其中，是的目標值，是對象中的元素。從樣本集對象中可以獲得個映射，其中是從對象到對象的態射，即為預測態射。但需要尋找一種態射，通過態射聯系和，使得，此時態射即為最終的預測態射。因此，定義分類器算法為分類器范疇算法，記作。通過上面對分類器范疇算法的描述，可看出態射與態射的關聯以及區別是此算法的重點。因此，為提高算法精確度，增加態射的差異性和多樣性，能夠縮小誤差。
心理學領域
態射是皮亞杰認知發展范疇思想的核心成分，它在發生認識論中代表比較、對應、關系等。除此之外，根據皮亞杰等人大量的實驗，發現態射還能標示認識過程中所有的行動類型，而且能使結構定義得到簡化，使結構的分離與轉換成為可能。其中所涉及的一般化、抽象與具體化，很真實地反映了認識的動態轉換。
態射是一種概念化過程，自身有一個建構與發展過程，態射在范疇論內亦可成為具體對象。所以在應用態射描述越來越抽象的思維過程時，它可以是下一水平的形式，又可以是上一水平的內容。所以，態射可以把認知過程的動態的、交換性、平衡化、反省抽象、概括化以及開放的可能性等有機地整合在一起，進而為認知過程和認知結構的整合提供合適模型，可以讓人們從認識的最基本水平開始向前進行系統分析。
參考資料 >
術語在線.術語在線.2024-02-12