純粹數學，又稱基礎數學，是數學的核心，也是最純粹最抽象的部分。純粹數學由數論、代數、幾何與分析等分支組成，這幾部分相互交叉和滲透，從而產生了解析幾何、解析數論、代數幾何等學科。其中，數論是純粹數學中最古老、最復雜的產物之一。此外，研究隨機現象的概率論，研究形式推理的數理邏輯，也屬于純粹數學。
純粹數學一詞正式出現在數學文獻中是在19世紀初，當時有三種專業數學期刊正式標有純粹數學的字樣，分別是法國數學家熱爾戈納創辦的《純粹與應用數學年刊》、德國數學家克雷勒創辦的《純粹與應用數學雜志》和法國數學家約瑟夫·劉維爾創辦的《純粹與應用數學雜志》。
分類
純粹數學研究從客觀世界中抽象出來的數學規律的內在聯系，也可以說是研究數學本身的規律。它大體上分為三大類，即
研究空間形式的幾何類，研究離散系統的代數類，研究連續現象的分析類
研究空間形式的幾何類
屬于第一類的如微分幾何、拓撲學。微分幾何是研究 光滑曲線、曲面等，它以數學分析、微分幾何為研究工具。在力學和一些 工程問題（如彈性殼結構、齒輪等方面）中有廣泛的應用。拓撲學是研究幾何圖形在一對一的雙方連續變換下不變的性質，這種性質稱為“拓撲性質”。如畫在橡皮膜上的圖形當橡皮膜受到變形但不破裂或折疊時，曲線的閉合性、兩曲線的相交性等都是保持不變的。
研究離散系統的代數類
屬于第二類的如數論、近世代數。數論是研究整數性質的一門學科。按 研究方法的不同，大致可分為初等 數論、代數數論、幾何數論、解析數論等。近世代數是把 代數學的對象由數擴大為 向量、矩陣等，它研究更為一般的 代數運算的規律和性質，它討論群、環、向量空間等的性質和結構。近世代數有 群論、環論、埃瓦里斯特·伽羅瓦理論等分支。它在數學分析、幾何、物理學等學科中有廣泛的應用。
研究連續現象的分析類
屬于第三類的如微分方程、函數論、泛函分析。微分方程是含有未知 函數的 導數或 偏導數的方程。如未知函數是 一元函數，則稱為常微分方程，如未知函數是多元函數，則稱為偏微分方程。函數論是實函數論（研究 實數范圍上的實值函數）和復變函數（研究在 復數平面上的 函數性質）的總稱。泛函分析是綜合運用 函數論、幾何學、代數的觀點來研究無限維向量空間（如 函數空間）上的函數、算子和 極限理論，它研究的不是單個函數，而是具有某種共同性質的函數集合。它在數學和物理中有廣泛的應用。
歷史
19世紀
“純粹數學”這個詞是從Sadleirian Chair（en:Sadleirian Chair）這個
19世紀中期建立的
教授職位的全名而來的。“純粹”數學作為一門獨立的學科的想法可能就是從那個時候發展起來的。
高斯一代的數學家沒有徹底地區分過“純粹”和“應用”。之后，專門化和專業化，特別是卡爾·魏爾施特拉斯研究
數學分析的方法，使得兩者的區別越來越大。
20世紀
進入
20世紀，數學家們受到
戴維·希爾伯特的影響，開始使用
公理系統。
伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素建立了“純粹數學”的邏輯公式，以
量化的
命題為形式。隨著數學的公理化，這些公式變得越來越抽象了，“嚴格證明”成為的簡單的標準。實際上，“嚴格”在“證明”中沒有任何新意。以
布爾巴基小組的觀點，純粹數學就是被證明了的。
# 純粹數學基本理論的深刻變革
（作者：奇東，單位：齊東）
一、緒言（《
古今數學思想
》書中的道白與評論）：
《
古今數學思想》書中 [第四冊324頁] 指出：“對于數學基礎的根本問題所提出的解答——經典
集合論公理化、
邏輯主義，
形式主義，
直覺主義——都沒有達到目的，沒有對數學提供一個可以普遍接受的途徑。在庫爾特·哥德爾1931年的工作以后的發展，也沒有在實質上改變這種狀況，…；該書中又指出：韋爾對數學的現狀作了恰當的描述：關于數學最終基礎和最終意義的問題還是沒有解決，我們不知道向哪里去找它的最后解答，…”,這就是純粹數學的基本現狀，…。《古今數學思想》[第四冊313頁]書中還指出：“…，數學中最重要的進展都不是由于要把邏輯形式完美化而得到的，而是由于基本理論本身的變革，是邏輯依靠數學，而不是數學依靠邏輯。”事實上邏輯與數學相互依賴，數學基本理論自身變革怎樣變革、如何變革、從哪里作為起點開始變革至關重要，追根溯源，還是要上溯到2500多年前
畢達哥拉斯時期，從最簡單的算術談起，無容置疑，潛無限數學理論依然是純粹數學、應用數學的根基，因為無理數都取近似值，堅決突破玄學數學自然觀的束縛、徹底打破純粹數學（
數學基礎）的“
三大數學流派”與“門戶”之見，承認接受實無限數學理論千萬不能排斥丟掉了潛無限數學真理，…。向為數學以及為純粹數學做出過貢獻的歷代
數學家致以崇高敬意！…。
二、建立起數學數值
辯證邏輯
公理
系統
（的雛形）：
究竟是到數值邏輯系統外部探尋系統運算規律與深刻內涵？還是在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律與深刻內涵？很顯然，要在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律以及深刻內涵、建立起數學辯證數值邏輯公理系統（的雛形），使數學理論形成完整的理性認識，事實證明，數理邏輯亦不是萬能邏輯，數理邏輯與實無限并未完全揭示出辯證數值邏輯公理系統運算規律與其深刻內涵，初等數學與純粹數學的基本理論尚有諸多不足之處，這就是數學實無限理論和數理邏輯無法解決的數學矛盾與問題，關于數學的無限矛盾，實無限、數理邏輯不能解決的數學矛盾與問題，運用潛無限數學理論與潛無限的科學方法深化提升對有理數系統的認識，未嘗不可，…，用那10個
阿拉伯數字演繹數學真諦，1生2、2生3、“10”個阿拉伯數字派生無限，確切地說正整數數列： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……如果從數學的
數論、
集合論、
算術與
哲學角度出發，運用算術的方法分別選取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分別地建立起最基本最原始的幼稚可笑的有理數
數列群與
子集合（為了節省版面本文分數線用斜線表示，敬請諒解）：
第1子系列：
第2子系列：
第3子系列：
第4子系列：
第5子系列：
第6子系列：
第7子系列：
第8子系列：
第9子系列：
第10子系列：
……，……
如果再去分別探索在何范疇內系統的各個子系列各基數間存在著運算規律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的（公理）倍數關系時、即分別探索在何范疇內各基數間存在著2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的算術（數學）公理——辯證數值邏輯公理系統運算規律：
第1子系列：
第2子系列、第2環節：
第3環節：
第4環節：
第5環節：
第6環節：
第3子系列、第2環節：
第3環節：
第4環節：
第5環節：
第6環節：
第4子系列、第2環節：
第3環節：
第4環節：
第5環節：
第6環節：
第5子系列、第2環節：
第3環節：
第4 環節：
第5環節：
第6環節：
第6子系列、第2環節：
第3環節：
第4環節：
第5環節：
第6環節：
第7子系列、第2環節：
第3環節：
第4環節：
第5環節：
第6環節：
……，……
（一）、數學數值
辯證邏輯
公理
系統
（以下簡稱為數值邏輯公理系統或
系統
）：
關于上述初等數學與純粹數學的起點，即最簡單、最原始幼稚可笑的未被引起人們足夠重視的數值運算我們無法將其一一列出，上述運算是否蘊涵著數學數值邏輯系統運算
規律和深刻的內涵？單憑直覺無法正確回答，…，目前，只能實事求是，實話實說，常言道，最簡單的、最質樸的恰恰是最深奧的、最難以理解接受的，數學是被應驗了，我們將上述運用
亞里士多德潛無限數學理性認識和在自然辯證法（哲學）指導下、在
數論、
集合論內涵條件下形成的特殊運算規律與普遍運算規律以及深刻內涵辯證地概括地歸納為：總之，數學辯證數值邏輯系統的各個子系列除了第1系列例外，上述辯證數值邏輯公理系統運算
規律，系統的各個子系列無論是在奇數子系列、還是在偶數子系列范疇內均派生
子集合，派生子集合是指（既約分數）從系統發展變化的過程中產生分化出來占據整數的位置充分地十足地體現其半整性質，因為是最大的分數單位，所以分數擁有半整性質；換言之，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…在系統在各個子系列發展變化的過程中紛紛產生分化出來、均占據整數的位置，揭示著它們的絕對值比其他小數的絕對值相對整裝，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…充分地十足地體現其半整性質，蘊涵著完整的算術（數學）
公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關系，2是數學（算術）的首要
公理，
當系統子系列在
10
，
100
，
1000
，
10000
，
…
的范疇內：
均派生子集合，不僅揭示著小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…擁有半整性質，而且在向縱深發展地潛無限的過程中有太多太多的基數是超越數數值的有限形式、甚至與其相吻合，形成有限不循環小數或潛無限不循環小數（例如等等），是超
超越數的有限形式，是十進制小數的典型代表，在此基礎上引進有限·不循環小數（潛無限不循環小數）的概念與定義，有限·不循環小數（潛無限·不循環小數）是數學真理最新發現之一，譬如：
圓周率π=3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，…等等就是有限·不循環小數（潛無限·不循環小數），具有替代無理數數值的數學實際意義與應用價值（無理數的近似值），…；現將數學數值
辯證邏輯公理系統各個子系列籠統的、通項的表達為（僅以正的為代表，符號↓：意指系統的各個子系列均相互派生子集合）：
（此結構式上下交錯對應莫散開）
或者表達為：
（此結構式上下交錯對應莫散開）
或者表達為：
第1環節：，第2環節：
第3環節：第4環節：
第5環節：，第6環節：
第7環節：第8環節：
第9環節：第10環節：
……，…；或者表達為：系統中的意指系統各個子系列1，3，5，7，9，11，13，…奇數環節上的基數的和，意指系統各個子系列2，4，6，8，10，12，…偶數環節上的基數之和，亦是系統的子集合，它們是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數組，其他依次類推，很顯然，假如說的基數是實無限，那么它的基數有理數與無理數一下子就會全部冒出來，究竟具體有多少、是多少？實無限無人無法具體知曉、如果采納實無限手段依然會遇到我們的前人所遭遇的結果，因此務必突破傳統數學思維觀念實無限與傳統經典
數論、
集合論的束縛，本文并不否定實無限的科學性、亦不否定無理數的客觀存在，亦不否認數理邏輯比數值邏輯的無比優越性，只是希望承認接受實無限的人們與專家，千萬莫否定、排斥掉了潛無限數學理論，均為有科學秩序的有理數，并非一堆毫無秩序的有理數，式中的因此務必運用科學的潛無限數學理論來認識、解決數學矛盾與問題，再次強調說明，符號↓意指（相互）派生子集合，在數值邏輯公理系統各個子系列從第2系列起各個子系列均（相互）派生子集合，具有普遍意義，（相互）派生子集合是指在數學辯證數值邏輯公理系統運算過程中，分數（半整數）從系統發展變化的過程中產生分化出來占據整數的位置充分地十足地體現其半整性質，因為是最大的分數單位，所以擁有半整性質（實際上無論是在奇數系列還是在偶數系列范疇內系統均派生分數形式的子集合，為了節省版面本文沒有反復提出，敬請諒解），換言之，小數從系統發展變化過程中產生分化出來，占據整數位置，充分地十足地體現其小數的半整性質，為奇數能被2半整除提供科學的理論依據，系統相互派生子集合，也包涵著整數由系統發展變化的過程中從系統的有理數中分化出來占據整數位置體現整數性質，為偶數能被2整除提供科學依據，因此說在數值邏輯公理系統中相互派生子集合，公理系統蘊涵著完整的辯證數值邏輯運算規律、系統蘊涵著完整的數學（
算術）公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關系、或者說2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…均是數值邏輯公理系統的
算術（數學）
公理，2是數學公理系統的首要公理，系統具有無窮個子系列、用符號n表示，采納潛無限的方法去把握，系統的各個子系列具有無窮個自然連鎖環節、用符號a表示，采納潛無限的方法去把握，構成永不枯竭的無限的連鎖群體和統一體，是數值邏輯對立統一規律的真實體現，是我們人類從數學的必然王國邁向自由王國的有效途徑，是我們人類集體智慧的一大體現與結晶，數學數值辯證邏輯公理系統是無限開放著的公理體系，縱、橫向上只有起點而無終點！它永遠傾聽人類實踐的呼聲、滿足人類實踐的需求，我們人類實踐永遠不可能達到實無限的程度；很顯然，在數學辯證數值邏輯公理系統中的各個子系列無論是在偶數還是在奇數環節上均相互派生子集合，尤其分數形式的半整數或者說小數形式的半整數自告奮勇勢不可擋、在發展變化的過程中紛紛產生分化出來擔負起半整性質的重任，盡管這樣的分數與其對應著的小數極其簡單、分數形式的半整數（小數形式的半整數）然而其基本原理與哲理卻深刻、深奧的難以理解與接受、甚至不可理喻，只有運用辯證邏輯進行辯證認識、辯證分析、辯證推理，才能夠判斷推理出半整數的半整性質，…；概括而言，偶數能被2整除，奇數不能被2整除、奇數（包括素數）卻能被2半整除，奇數與偶數（整數與半整數）相反相成對立統一，蘊涵著哲學的對立統一規律，數值邏輯公理系統為其提供完整地科學依據，這是數學自然觀、科學觀的重大發現與認識問題，要做出正確選擇，要突破傳統數學實無限、傳統經典數論與集合論的束縛，顯然，
廣義內涵的
數論、
廣義內涵的
集合論、廣義內涵的
算術、
哲學（自然
辯證法）四位一體、辯證統一，自然辯證法（現代哲學）以對立統一規律為切入點注入初等數學、純粹數學，為數學真理指明了正確的前進方向，至此，數學（算術）已有科學根據，需要引入數學新概念與定義：譬如分數的半整性質、小數的半整性質、單位小數（小數單位）、最大的單位小數是0.5等等諸多數學概念與定義，有理數屬于離散量的范疇，盡管如此，在數軸上、坐標系、在數值邏輯公理系統中得以體現，廣義內涵的整數與無理數一樣均客觀存在、擁有客觀存在性，問題的關鍵所在就是如果理解接受了派生子集合、特殊分數與特殊小數的半整性質，其他數學矛盾與問題便會迎刃而解，或者說難度會大大縮減，…；集合，其他依次類推 ,公理系統蘊涵著算術的基本法則，關于無理數需要具體問題具體分析、具體對待、具體構造無理數數值，引進實數、實數系千萬莫排斥掉了潛無限數學理論，…。
（二）、數學數值辯證邏輯公理系統（以下簡稱為數值邏輯公理系統或系統）揭示出豐富深刻內涵、數學概念與問題：
1
、傳統經典的數論與集合論的公理系統凸顯巨大的局限性：
很顯然，依照傳統經典的數論與集合論的理性意識，系統的各個子系列運算規律只有即只有奇數3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，…是
算術（
數學）
公理，沒有偶數倍數的統一體，經典的數論與集合論無法回答偶數2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，…是否也是系統的
算術（數學）
公理，傳統經典的數論與集論公理的公理系統凸顯巨大的局限性，即系統沒有偶數倍數的
算術（
數學）
公理，
皮亞諾公理并非算術的全部，如何探索尋求數值邏輯公理系統成為算術（數學）的首要問題，提升到哲學與數學的高度，它涉及到人們數學觀的認識問題，需要艱難地突破傳統經典的數論與集合論的重大束縛，
認識、發現數學真理是艱難曲折的，承認接受數學真理更加艱難曲折，因為
認識接受真理不僅存在著難度，而且還存在著數學的
辯證
自然觀與樸素的數學自然觀的思想矛盾與相互排斥及摩擦，…；
2
、雙
素數
：
除了能被1和自身整除外，還僅能被2和一個素數互為整除的（僅以正的為代表）偶數，把具有這樣性質的
偶數稱之為雙素數，雙
素數無窮無盡，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值的素數之和，即雙素數星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，雙素數與素數相互對應：
6，10，14，22，26，34，38，46，58，……
3， 5， 7，11，13，17，19，23，29，……（上下相互對應）
3
、偶數意義的
素數
與素數：
2既是一個素數又是一個偶數，將2稱之為偶數意義的素數，偶數意義的素數2具有唯一性，那么就可以將奇素數3，5，7，11，13，17，19，...簡稱為素數，簡化奇素數的名稱。
4
、關于
理論上如何認識？在數值邏輯公理系統中也是不可能回避的數學矛盾與問題：
（此結構式上下交錯對應莫散開）
或者表達為：
第1環節：第2環節：
第3環節：第4環節:
第5環節：第6環節：
第7環節：第8環節：
第9環節：第10環節：，
……，…；
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……均為
數學（
算術）
公理，2是公理系統首要公理，…，如果將它們展開為數值邏輯公理的另一種表達形式：
第2環節：
第3環節：
第4環節：
第5環節：
第6環節：
第7環節：
第8環節：
第9環節：
第10環節：
第11環節：
第12環節：
第13環節：
第14環節：
第15環節：
…，…在向的轉換過程中總是蘊涵著
哥德巴赫猜想，運算規律不僅具有算術公理的數學意義，也蘊涵著經典數論“”的重大意義，我們無法否定它的客觀存在性，算術公理與數論的“”二者相輔相成，一脈相承，數論的“”其實它就是數值邏輯公理系統中各個子系列偶環節上的特殊算術公理，數論的“”是數值邏輯公理系統中各個子系列偶數環節上的運算規律，一定要在數值邏輯公理系統中辯證地認識、正確地看待它，數值邏輯公理系統不可能回避如此重大數學矛盾——
（
1
）、
哥德巴赫
偶數猜想：大于等于
6
的偶數
=
（一個
素數
+
另一個
素數
）
數論的“”與算術的在數值邏輯公理系統中一脈相承，在算術公理1+1=2的數值邏輯公理系統中蘊涵著數論的“”，數論的“”是數值邏輯公理系統各個子系列偶數環節上的算術
公理、是數值邏輯公理系統中偶數環節上的運算規律：譬如：無窮無盡，擁有客觀存在性（當然是辯證推理），既不肯定也不否定其真實性、模棱兩可、不置可否，這背離了數學（邏輯）
排中律，很顯然，傳統經典的數論要證明的“”亦是算術公理，依然屬于算術的范疇與算術問題，經典的數論要證明的“”是完美地，…，弄一個足夠多的素數表意義非凡、其意義不亞于證明了“”真實性；
（
2
）、
哥德巴赫
奇數猜想：大于等于
9
的奇數
=
（一個
素數
+
一個雙
素數
）
=3
個
素數
之和：
譬如：很顯然，哥德巴赫奇數猜想亦是辯證數值邏輯公理系統中奇數環節上的算術公理，是系統奇數環節上的運算規律但屬于特殊運算規律，擁有客觀存在性，這當然是運用邏輯辯證推理；
哥德巴赫猜想——數論的“”所證明的真實性、以及邏輯上所要摘取的是十分完美地！…。
5
、
分數
單位：
簡言之，分子是1、分母是等于、大于2的正整數的分數就是分數單位，譬如就是分數單位，最大的分數單位是，在
數軸上、
坐標系、數值邏輯公理系統中得以體現，分數單位、最大的分數單位是一個基本單位與相對整體；
6
、單位
小數（小數單位）
：
什么是單位小數目前尚未形成統一
認識，如果將分數單位對應下的小數0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…界定為單位小數（小數單位），那么就可以將小數0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…統稱為單位小數（小數單位）·，單位小數涵蓋著小數計數單位，單位小數的意義比小數計數單位的意義更廣泛，很顯然，最大的單位小數是0.5，單位小數與最大的單位小數是0.5是數學真理最新發現之一；單位小數、最大的單位小數0.5的數學與哲學意義，就是最大的單位小數0.5為小數形式的半整數擁有半整性質提供科學理論根據與支持，小數形式的半整數擁有半整性質又為奇數（含素數）能被2半整除提供科學理論根據與支持，這就是單位小數、最大的單位小數0.5的數學與哲學意義！因此，引進單位小數、最大的單位小數0.5是正確的、科學的、切合實際的、是非常必要的！單位小數、最大的單位小數是0.5擁有客觀存在性，在數軸上、坐標系中、數值邏輯公理系統中得以體現，是不可分割的相對整體。
7
、
小數
計數單位：
小數計數單位是指小數計數方法中，小數點右邊十分位、百分位、千分位、…上的最具代表性的小數單位，分別為：因為最大的小數計數單位0.1小于最大的單位小數0.5與最大的分數單位，所以不能夠揭示出小數的半整性質，導致數學真理復雜化與更加抽象化，這就是小數計數單位的局限性，因此務必引入單位小數、最大的單位小數0.5，小數計數單位屬于單位小數的范疇，很顯然，單位小數涵蓋著小數計數單位，單位小數的意義比小數計數單位的含義更廣泛.
8
、
分數
的
內涵
：
所謂分數的內涵地地道道、千真萬確包括著分數的絕對值（數值）、分數單位、分數單位的個數（份數）、最大的分數單位是、半整性質（相對整性質）等等概念，因此分數的絕對值（數值）僅僅是分數內涵的一部分，分數的絕對值包含著分數單位與分數單位的個數、這是至關重要的，要充分運用好分數單位、最大的分數單位、分數單位的個數（份數）等等概念進行辯證認識、辯證分析分數的深刻內涵，深化提升對有理數的理性認識，有必要剖析分數的內涵，…。
9
、
分數的半
整性質（相對整性質）：
其他分數的絕對值對比分數的
絕對值更零散，換言之，分數對比其他分數的
絕對值而言相對整裝，在數值邏輯公理系統中，把這一相比較而得到的相對整性質統稱為分數的半整性質，簡稱為半整性質（相對整性質），為什么會擁有分數的半整性質、因為分數]的
絕對值的分數單位均是最大的分數單位，最大的分數單位決定著它們的絕對值擁有分數的半整性質，可以一次全部確定下來，因為這是規律，無需逐一驗證，其他分數不具備半整性質——因為其他分數的分數單位均小于最大的分數單位，所以其他分數的絕對值更零散，因此可以一次徹底排除，無需逐一驗證，這也是規律，千萬莫產生誤解，并非所有的分數都具有半整性質、更不是分數的絕對值越大才越具有半整性質，只有分數形式的半整數的絕對值擁有半整性質，這是由最大的分數單位決定著分數的絕對值擁有半整性質，分數的半整性質是數學真理最新發現之一，在數值邏輯公理系統中占據整數的位置充分地十足地體現其分數的半整性質，
分數的半整
性質的
內涵
與
外延
僅僅適用于
分數的范疇，不能超越了此范疇，否則就是對分數的半整性質（相對整性質）的誤讀、誤解，…；分數的半整性質是一部分分數的特殊性質、特殊規律，是最抽象、最深奧、最為“彎彎繞”的算術（數學）真理；務必需要說明，分數的半整性質與整數（分數形式的整數）的性質是具有差異性、它們是異中之同、差異中的共性與同一性，并非等同的共性，因此既要認識到分數的半整性質與整數性質的差異性、又要認識到分數的半整性質與整數性質的差異中的共性與同一性，分數的半整性質（相對整性質）是數學真理最新發現之一；…。
10
、
分數形式的
半整數
（半整性質的分數）：
將分數以及其絕對值所擁有的半整·性質統稱為
分數形式的半整數（半整性質的分數），也就是把正分數形式的半整與負分數形式的半整統稱為分數形式的半整數（半整性質的分數），分數形式的半整數擁有相互矛盾的雙重性質，其一是分數性質，其二是半整性質，…。
11
、
的
內涵
：
所謂小數的內涵地地道道、千真萬確包涵著小數的
絕對值、單位小數、單位小數的個數、最大的單位小數是0.5、半整性質、小數計數單位、小數計數單位的個數、最大的小數計數單位是0.1等等概念，因此小數的絕對值（數值）僅僅是小數內涵的一部分，需要了解理解消化單位小數、單位小數的個數、最大的單位小數是0.5等等概念與含義，小數的絕對值不僅包含著小數計數單位與小數計數單位的個數，最大的小數計數單位是0.1，而且小數的絕對值還包含著單位小數與單位小數的個數、最大的單位小數是0.5，這是至關重要的，要充分運用好單位小數、單位小數的個數、最大的單位小數0.5等等概念辯證認識、辯證分析小數的深刻內涵，深化提升對有理數的理性認識，有必要深度剖析小數的深刻內涵，…。
12
、
小數形式的半整
性質：
先舉例說明，例如（以
十進制分數、
十進制小數為例）：為了便于理解接受在舉例之前先以小數計數單位為例：譬如小數0.9、0.87、0.988、0.7778888、…,小數，即小數0.9包含9個0.1，小數即0.87包含87個0.01，小數即0.988包含988個0.001，小數即0.7778888包括7778888個0.0000001，…這些小數的小數計數單位分別是0.1、0.01、0.001、0.0000001、…,最大的小數計數單位是0.1；以分數單位與單位小數舉例說明（與小數計數單位以及小數計數單位的個數相類似）即：
即0.5包括1個0.5、包括1個
即0.6…包括2個0.3…、包括2個
即0.75包括3個0.25、包括3個
即0.6包括3個0.2、包括3個
即0.8333…包括5個0.1666…、包括5個
即0.428571…包括3個0.142857…、包括3個
即0.625包括5個0.125、包括5個
…很顯然，單位小數0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，……均小于最大的單位小數0.5，所以小數0.6…，0.75，0.6，0.8333…，0.428571…，0.625，0.7…,0.9，…的絕對值均比的
絕對值更零散，換言之，小數的絕對值均比其他小數的絕對值相對整裝，在數值邏輯公理系統中將這一相比較而言得到的相對整性質統稱為小數的絕對值的半整性質，為什么它們會擁有半整性質，因為小數的
絕對值的單位小數均是最大的單位小數0.5，最大的單位小數0.5決定著小數的絕對值擁有半整性質，半整性質的小數可以一次全部確定下來，無需逐一驗證，這是
規律，其他小數不具備半整性質、因為其他小數的單位小數0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…均小于最大的單位小數0.5，可以一次徹底排除，無需逐一驗證，這也是
規律，本文為了便于人們理解，在前面才如此舉例如此說明的，因此，小數的內涵不僅包括小數的絕對值還包含著單位小數、單位小數的個數、最大的單位小數是0.5，而且單位小數與分數單位相互對應、最大的單位小數0.5與最大的分數單位互相對應（因為所以最大的單位小數0.5并非憑空而來的，需要形成理性認識）、單位小數的個數與分數單位個數（份數）相互對應，最大的單位小數0.5以及公理系統為小數的絕對值擁有半整性質提供理論依據與支持，因為0.5是最大的單位小數無與倫比，小數
絕對值的半整性質又為奇數能被2半整除提供理論依據與支持，再次說明，并非所有的小數也不是小數的絕對值越大越體現小數的半整性質，
小數的半整性質的
內涵與
外延僅僅適用于
小數的范疇，否則就是對
小數的半整性質（相對整性質）的誤讀、誤解，…。
13
、
小數形式的
半整數
（半整性質的小數）：
將小數以及其
絕對值所擁有的半整性質統稱為
小數形式的半整數（半整性質的小數），也就是將正小數形式的半整與負小數形式的半整數統稱為小數形式的半整數（半整性質的小數），
小數形式的半整數其絕對值具有相互矛盾的雙重性質，一是半整性質，二是普通小數性質，…。
14
、
廣義
整數：
將整數與分數形式的半整數統稱為廣義整數，即本文將統稱為·廣義整數；亦可以將整數和小數形式的半整數統稱為廣義整數，換言之，即本文將統稱為廣義整數；廣義整數蘊涵著整數與正、負分數形式的半整數，正、負小數形式的半整數的意義；廣義整數、廣義數學真理為
量子力學奠定堅實基礎、揭示著大宇宙中
微觀世界的
原子、
中子、
質子、核外
電子，
費米子、
玻色子等等粒子的某些運動（
自旋）規律，...；在
量子力學中將分數或者說小數統稱為
半整數或者叫作
量子數，實際上它們就是離散量的有理數，因此說：半整數與分數形式的相對整數或小數形式的相對整數
內涵
與
外延是完全
等價的，沒有什么差異，就如同質數就是素數、素數就是質數其內涵完全等價相類同，因此半整數就是分數形式的半整數或小數形式的半整數，分數形式的半整數或小數形式的半整數就是量子力學中的半整數，…，
費米子
的
規律分別遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
規律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此
量子力學證明
將
統稱為廣義整數是切合實際的、是完全正確的。
15
、
1+1=2
所蘊含著的基本原理與對立統一規律：
偶數能被2在抽象意義下自然整除，
奇數不能被2在抽象意義下自然整除、
奇數（包括素數）卻能被2在抽象意義下半整除，因為小數形式的半整數（半整數）擁有半整性質，為
奇數（包括素數）能被2半整除提供科學的理論依據，或者說2是數學首要公理，哥德巴赫猜想——數論的“”是數值邏輯公理系統中偶環節上的算術公理擁有客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可，不置可否，這不符合排中律；其
哲學意義（哲理）：偶數能被2在抽象意義下自然整除，奇數不能被2在抽象意義下自然整除、奇數（含素數）卻著實能被2在抽象意義下半整除，傳統意義的偶數能被2整除、奇數不能被2整除是指奇數與偶數二者的排斥性、對立性、差異性，偶數能被2整除、奇數不能被2整除、
奇數卻能被2在抽象意義下半整除是指
奇數和
偶數的異中之同、差異中的共性與同一性，恰好與哲學的對立統一規律相吻合，因此說，奇數與偶數（整數與分數形式的半整數或整數與小數形式的半整數、整數與半整數）相反相成
對立統一， 蘊涵著極其深刻的數值邏輯對立統一規律，換言之奇數與偶數（整數與半整數）蘊涵著哲學的
對立統一規律，以上所談就是算術公理蘊涵著的基本原理與哲理，
哲學（自然
辯證法）以對立統一規律為切入點注入純粹數學、注入初等數學，為算術（數學）公理與數論的“”指明了正確的前進方向！為什么，并非質疑算術（數學）公理的正確性，而是科學地回答算術（數學）公理蘊涵著的基本
原理與哲理；
應用數學順應了的客觀規律，并得到人類無數次實踐的檢驗與證明，早已被實踐證明了是正確的自然科學真理，純粹數學（數學基礎）的理論依然處于探索之中，這就是純粹數學（數學基礎）的基本現狀，…；常言道，最簡單的、最質樸恰恰是最深奧的，數學被應驗了，為什么，一個最簡單的數值邏輯，蘊涵著最深刻的真理對立統一規律、廣義整數、廣義數學真理。
數學中的整數擁有科學抽象的廣義單位“1”，分數形式的半整數（半整數）擁有廣義的科學抽象最大的分數單位、小數形式的半整數（半整數）擁有廣義的科學抽象最大的單位小數“0.5”，這就是數學（算術）的最為抽象的數學意義，依照邏輯、概念、定義分數就是分數、擁有分數性質、小數就是小數、擁有小數性質，然而卻偏偏冒出一個半整數的半整性質（相對整性質）來，考驗人類科學的智慧與勇氣！…。
16
、
狹義·
數學
真理
：
偶數能被2整除、奇數不能被2整除、實無限、實數系、數理邏輯高等數學、經典的數論與集合論等等統稱為狹義數學真理，狹義數學真理很有必要突破傳統經典數論、集合論的束縛！發展成為廣義整數、廣義數學真理，...。
17
、
廣義·
數學
真理
：
偶數能被2整除，奇數不能被2整除、奇數（包括素數）卻能被2半整除、奇數與偶數（整數與半整數）相反相成、對立統一，蘊涵著對立統一規律，為什么潛無限理性認識、實無限理性認識、廣義整數、數值辯證邏輯、數理邏輯等等內涵的數學真理統稱為廣義數學真理，廣義整數是數學真理最新發現之一。
18
、潛無限：
…。
19
、實無限：
…。
20
、
：
將廣義整數與分數統稱為有理數，廣義整數包含著整數（分數形式的整數）、分數形式的半整數，分數包含著分數形式的半整數、普通分數；也可以將廣義整數與小數形式的半整數統稱為有理數，廣義整數包含著整數與小數形式的半整數，小數包含著小數形式的半整數、無限循環小數、有限循環小數、有限不循環小數（潛無限不循環小數）、普通小數，因為半整數擁有相互矛盾的雙重性質。
21
、
有理數系
：
事實證明，完全有必要把有理數（域）提升到有理數系統高度去把握，將有理數數值邏輯公理系統和深刻內涵統稱為初等數學有理數系統、簡稱為有理數系（統），有理數系是無限開放著的數值·邏輯·公理體系、永遠不會終極、永遠不會枯竭的數值·邏輯·公理體系，縱橫向上只有起點而無終點，正如人文無限和哲學無限的內涵——無窮無盡，一脈相承；有理數系并無什么缺憾，因為有理數系蘊涵著潛無限·不循環小數，盡管潛無限·不循環小數還不是真正的無理數，它卻是無理數的化身、擁有無理數的要素和成分，潛無限·不循環小數具有無理數的應用價值，實際上是有理數與潛無限·不循環小數為初等數學與應用數學奠定著堅實的基礎，數學也要實事求是，當然有理數（域）系不能替代實數系，…。
22
、
：
把
有理數和
無理數統稱為
實數，…。
23
、
實數
系：
參見數學詞典，……。
24
、
廣義
整數、
廣義
數學真理客觀的科學證據：
廣義整數、廣義數學真理究竟是正確的還是錯誤的？是數學真理還是數學謬論？如果屬于數學真理會有什么應用價值？它困擾、困惑著許多的人們，廣義整數有何意義？以往的確無法正確回答如此數學問題，… ；不久前，一次偶然的機遇我看到了
量子力學，
等等，
我發現了科學證據，數學潛無限、離散量、廣義整數原來是
量子力學的基礎，原來廣義整數揭示著宇宙中
微觀世界的
原子、
中子、
質子、核外
電子等等粒子、
費米子、
玻色子的
自旋規律，整數與分數形式的半整數（小數形式的半整數）的數值邏輯對立統一規律揭示著，無論是宏觀世界還是微觀世界都蘊含著對立統一規律，對立統一規律是
宇宙的普遍規律，費米子與玻色子的自旋運動規律亦蘊涵著對立統一規律，譬如
費米子
的
自旋
規律分別遵循
玻色子
的
規律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此廣義整數、廣義數學真理為量子力學奠定堅實基礎，
量子力學
的
半整數
又為
廣義
整數、
廣義
數學真理提供客觀上的科學證據與客觀支持，
…，潛無限、廣義整數、廣義數學真理的確派上了用場，盡管我們的前人在量子力學中對形如
（
）
的數稱之為
半整數，即量子力學中管
，
，
，
，
，
，
…
叫
半整數，量子力學的
半整數的確亦尚未對半整數形成完整的理性認識，
半整數從直覺上巳節意識到了是介于整數與普通分數的中間數或者說是介于整數與普通小數的中間數，潛意識中已帶有“半整或相對整”的性質了、但又不同于整數的性質，廣義·整數、廣義·數學真理擁有多方位實際的應用價值，毋容置疑半整數擁有半整性質，半整數與半整分數、半整小數相吻合、巧合，不僅如出一轍，
半整數擁有半整性質，半整性質與相對整性質（數學的相對整性質性質與量子力學的半整性質）一脈相承，半整數與分數形式的半整數、小數形式的半整數其內涵與外延、數值完全
等價，半整數與整數相反相成對立統一，蘊含著的對立統一規律，因此，
費米子
的
自旋與
玻色子
的
自旋蘊含著對立統一規律，…。
人們生活中的用語：半小時、半點新聞、半天、半月、半年、東半球、西半球、半個世紀等等、即半整數如此都是直覺認識，如果對半整數或0.5提升理性認識，半整數或0.5擁有半整性質或擁有相對整·性質，便會形成理性認識；廣義·數學真理為量子力學奠定堅實基礎，量子力學的半整數又為廣義整數、廣義數學真理提供客觀上的科學理論證據與支持，為什么1+1=2并非空談數學理論，而是擁有實實在在的應用價值，…。
25
、推論：實無限、實數系辯證數值邏輯公理系統依然是連鎖形式的（辯證推理）：
潛無限向縱深發展的過程中有限不循環小數、尤其是潛無限·不循環小數將會接近或者達到無理數數值實無限的程度（這當然是推論），實無限、實數系辯證數值邏輯公理系統的內容與形式依然是自然連鎖形式的，依然相互派生子集合，半整數依然從系統發展變化的過程中分化出來，充分地體現其半整性質，或者說、半整數依然會從系統發展變化的過程中產生分化出來，充分地十足地體現其半整性質，為奇數（包括素數）能被2半整除提供客觀的科學理論依據，蘊涵著完整的數學（算術）運算公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍數關系，實無限、實數系辯證數值邏輯公理系統如下，的基數均為實數、其他依次類推，符號↓依然是指相互派生子集合（推論僅以正的為代表）：
三、結語：
費米子
的
規律分別遵循
，
，
，
，
，
，
…
、
玻色子
的
自旋
規律分別遵循
0
，
±1
，
±2
，
±3
，
±4
，
±5
，
…
，因此事實證明引進廣義內涵的整數
或是完全正確的，因為量子力學是檢驗廣義內涵的整數、廣義內涵數學真理的標準，為什么，與時俱進開拓創新，
純粹數學（
）基本理論的深刻變革必將揭開廣義內涵數學真理的新篇章，
…。
（該文多字、漏字、諧音字等等問題存在所難免，敬請諒解）
參考資料 >