常微分方程（英文：Ordinary Differential 方程，簡稱QDE）是聯系自變量、未知函數以及它的導數的關系式。其定義為：如果方程中的未知函數是一元函數，即只含一個自變量的微分方程，稱為常微分方程。
常微分方程的發展最早可追溯至16世紀末。1590年，意大利天文學家伽利略·伽利萊（G.Galileo）在比薩斜塔自由落體實驗中，通過求解微分方程發現了物理的運動規律。1676年，德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨（G.W.Leibniz）在給牛頓的信中首次提出“微分方程”的數學術語。1743年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（L.Euler）給出了“通解”和“特解”等概念。1754年，法國數學家拉格朗日（J.L.Lagrange）在解決等時曲線問題過程中創立了變分法，提出了求解任意階變系數非齊次線性常微分方程的常數變易法。18世紀末，常微分方程發展成為了一個獨立的數學分支。
19世紀初至19世紀中期，微分方程發展出了一套包括解的存在性、唯一性、延伸性，以及解的整體存在性、解對初值和參數的連續依賴性和可微性等基本理論的適定性理論體系。1876年，德國數學家李普希茨（Lipschitz）提出了著名的“李普希茨條件”，對解的存在唯一性定理做出進一步改進。1881年，法國數學家亨利·龐加萊（Poincare）創立了常微分方程的定性理論，開啟了從“求定解問題”轉向“求所有解”的新時代。至20世紀60年代，隨著計算機技術的發展，常微分方程從“求所有解”轉入“求特殊解”的時代。
常微分方程可根據方程階數、方程個數等分類，其中高階方程的求解往往較為復雜，可以對一些特殊類型的方程進行降階處理，如不顯含未知函數的方程等。在隨機過程理論中，常微分方程可推廣得到伊藤積分方程。此外，該概念可廣泛地應用在自然科學和社會科學等領域，如在金融學中，多指標正則化基因表達式編程算法的高階常微分方程模型能夠刻畫股價隨時間的變化趨勢，有效且準確地描述數據波動。
定義
微分方程是聯系著自變量、未知函數以及它的偏導數的關系式。在微分方程中，自變量的個數只有一個，稱微分方程為常微分方程；自變量的個數為兩個或兩個以上，則稱為偏微分方程。
一般形式：凡是聯系自變量，自變量的未知函數，及其直到階導數在內的函數方程
叫作常微分方程。導數實際出現的最高階數叫作常微分方程的階。
簡史
起源與創立
常微分方程的發展最早可追溯至16世紀末。1590年，意大利天文學家伽利略·伽利萊（G.Galileo）在比薩斜塔自由落體實驗中，通過求解微分方程發現了物理的運動規律，建立了自由落體運動定律。
英國的艾薩克·牛頓（I.Newton）是第一位著手于求解微分方程的數學家，1671年，他在著作《流數法與無窮級數》中列出了三大微分方程，并用級數方法進行求解。1676年，德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨（G.W.Leibniz）在給牛頓的信中第一次提出“微分方程”的數學術語，并于1691年提出了分離變量法，解決了形如的方程，隨后又用變量變換的方法分析了齊次方程、線性微分方程的相關求解問題。
1694年，瑞士數學家雅各布·伯努利（J.Bernoulli）在《教師學報》上進一步完善了分離變量法與齊次方程的求解問題，并在一年之后提出了伯努利微分方程。至此，微分方程開始被作為獨立的學科對象進行研究，并逐步從微積分中分離出來。1712年，意大利數學家黎卡提（Riccati）在研究曲線的曲率半徑過程中，發現了形式上最簡單的一類非線性微分方程，并于1724年給出了方程的具體形式。后來，讓·達朗貝爾（J.L.R.D'Alembert）將該方程命名為黎卡提方程，并與歐拉（L.Euler）等人嘗試求解方程，但都只得到了一些特殊條件的解。
豐富與獨立
后來，常微分方程理論的研究逐漸豐富，很多求解方法隨之誕生。1734年，瑞士數學家歐拉（L.Euler）給出了判定全微分方程的充要條件，隨后又引入了積分因子的概念。隨后，他在潮汐和行星軌道攝動等著作中應用了常數變易法，并于1743年發表的論文中，最早給出了“通解”和“特解”等概念。1753年，歐拉通過將方程的階數逐次降低，發表了求解常系數非齊次線性方程的方法，并在之后的工作中把積分因子法應用于許多一階微分方程類型，還推廣到了高階方程。之后，他在研究黎卡提方程的性質過程中，給出了一個從特殊積分鑒別奇解的判別法。
1754年，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在解決等時曲線問題過程中創立了變分法，1763年，數學家讓·達朗貝爾（J.L.R.D'Alembert）發現非齊次線性方程的通解等于齊次方程的通解加上一個非齊次方程的特解。隨后，拉格朗日引入伴隨方程的概念，通過伴隨方程可使原方程的階數降低，提出了求解任意階變系數非齊次線性常微分方程的常數變易法。至18世紀末，常微分方程發展成為了一個獨立的數學分支。
完善與發展
1820年，法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）最早證明了微分方程初值問題解的存在唯一性定理，拉開微分方程從求通解到定解的序幕。1841年，約瑟夫·劉維爾（Liouville）證明了在一般情形下，黎卡提方程的解是無法用初等函數的積分來表達的。至19世紀中期，微分方程發展出了一套包括解的存在性、唯一性、延伸性，以及解的整體存在性、解對初值和參數的連續依賴性和可微性等基本理論的適定性理論體系。1874年，挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie）在研究微分方程時，發現某些微分方程的解對一些連續變換群是不變的，解決了解的可積性問題。
1876年，德國數學家李普希茨（Lipschitz）提出了著名的“李普希茨條件”，對奧古斯丁-路易·柯西給出的解的存在唯一性定理做出進一步改進。隨后，意大利數學家皮亞諾（Peano）和法國數學家皮卡德（Picard）先后于1875年和1876年給出了常微分方程的逐次逼近法，完善了研究常微分方程的基礎理論，包括解的存在性及唯一性、解的延拓、解對初值和參數的連續依賴性和可微性、奇解等。1881年，法國數學家亨利·龐加萊（Poincare）創立了常微分方程的定性理論，開啟了從“求定解問題”轉向“求所有解”的新時代。至20世紀60年代，美國數學學家洛倫茨（Lorenz）發現了稱為洛倫茨方程的常微分方程，導致了混沌現象的發現。隨著計算機技術的發展，常微分方程進入了新的時期，從“求所有解”轉入“求特殊解”的時代。
相關概念
方程的解
常微分方程的解：設函數在區間上連續，且有直到階的導數。如果把及其相應的各階導數代入方程，得到關于的恒等式，即
對一切都成立，則叫作微分方程在區間上的一個解。
通解：設階微分方程的解包含個獨立的任意常數，則稱它為通解。不被通解包含的解稱為奇異解。
特解：如果微分方程的解不包含任意常數，則稱它為特解。特別地，當任意常數一旦確定之后，通解也就變成了特解。
特別地，非線性自治微分方程：假設一個運動質點在時刻的空間位置坐標為，并且假設它的運動速度只與空間位置有關而與運行時間無關，即在點的運行速度為，則得到的運動方程
它是一個非線性自治微分方程。該類非線性方程一般都無法求得顯式解，因而對非線性自治微分方程做專門研究是非常必要的。
分類
一階與高階方程
設常微分方程中未知函數的導數的最高階數為，則
（1）當時，就稱為一階常微分方程。
（2）當時，稱為高階常微分方程。
一階常微分方程的一般式為
或
又稱為一階隱式方程，相應稱為一階顯式方程。
線性與非線性
設常微分方程中關于未知函數及其導數的方冪的最高次數為，則
（1）當時，稱為線性常微分方程。
（2）當時，稱為非線性常微分方程。
例如，線性常微分方程
；
非線性常微分方程
。
齊次與非齊次
考慮一般的一階一次方程
假設都是連續函數，并且，用除等式的兩邊，并把它改寫為：
稱為與對應的齊次一次方程。與不同，方程左端雖然關于是一次，但右端關于來說是零次的，故稱為非齊次線性方程。
方程與方程組
設常微分方程的未知函數的個數及方程的個數均為，則
（1）當時，就稱為常微分方程。
（2）當時，稱為常導數方程組。
相關定理
全局解
李普希茨條件：如果存在常數，使得不等式對都成立，則稱函數在區域內關于滿足李普希茨（Lipschitz）條件，常數稱為李普希茨常數。其中，為閉矩形區域上的連續函數。
存在唯一性定理
若函數在區域上連續，且關于滿足李普希茨條件，則常微分方程的初值問題
在區間上存在唯一解，其中常數
。
舉例 方程定義在矩形區域上，求確定經過點的解的存在區間。
解：設，顯然在上連續，且在上也連續，由存在唯一性定理知，過點，方程存在唯一解，定義在上。其中，，于是即解定義上。
局部解
局部李普希茨條件：若函數在區域內連續，且對內每一點，都存在以點為中心，完全含在內的閉矩形域，使得在上關于滿足李普希茨條件（對于不同的點，閉矩形域的大小和李普希茨常數可能不同），則稱在上關于滿足局部李普希茨條件。
解的延伸定理
如果方程的右端函數在（有界或無界）區域上連續，且在關于滿足局部李普希茨條件，則對任意一點，方程以為初值的解均可以向左右延展，直到點任意接近區域的邊界。
解對初值的連續依賴性定理
設維向量函數在空間的某個開區域上連續，且對滿足局部李普希茨條件。假設是微分方程
的一個解，其存在區間為。在區間內任取一個有界閉區間，則存在常數，使得對任何滿足下列條件
的初值初值問題
的解至少在區間上存在，并且它對在區域
上連續的。
解對參數的連續可微性定理
設向量函數在區域
上是連續的，且對和有連續的偏導數。則初值問題的解在區域
上是連續可微的，其中，正數為在區域的一個上界。
特殊類型
一般的高階微分方程沒有普遍的解法，處理問題的基本原則是降階，一般會利用變換把高階方程的求解問題化為較低階的方程來求解。下面討論三類特殊方程的降階問題。
不顯含未知函數的方程
設方程不顯含未知函數，即形如
方法：若令，則方程即降為關于的階方程
如果能求得上式方程的通解，即，再經過次積分得到，其中為任意常數，可以驗證，這就是方程的通解。
特別地，若二階方程不顯含（相當于的情形），則用變換便把方程化為一階方程。
不顯含自變量的方程
假設方程中的未知函數為，自變量為，不顯含自變量的方程
方法：若令，并以它為新未知函數，而視為新自變量，則方程就可降低一階。
在所作的假定下，，可用數學歸納法證明，可用表出（），將表達式代入方程可得到，它是關于的階方程，比原方程低一階。
齊次線性方程
考慮齊次線性方程
方程求解問題歸結為尋求方程的個線性無關的特解。如果知道方程的一個非零特解，則利用變換，可將方程降低一階；或更一般地，若知道方程的個線性無關的特解，則可通過一系列同類型的變換，使方程降低階，并且新得到的階方程也是齊線性的。
方法：設是原方程的個線性無關解，顯然。令，直接計算可得
將關系式代入原方程得到，它是關于的階方程，且各項系數是的已知函數，而的系數恒等于零，因為是的解。因此，如果引入新未知函數，并用除方程的各項，便得到形狀如
的階齊次一次方程。
方程的解和的解之間的關系，由以上變換可知為或，因此，對于方程，就知道它的個線性無關解。
事實上，是方程的解。假設個解之間存在關系式
或
其中是常數。那么，就有
或
由于線性無關，故必有，即是線性無關的。
類似地，若對方程重復以上變換做法，令，則可將方程化為關于的階齊次一次方程
并且還知道方程的個線性無關解
。
由上面的討論看到，利用個線性無關特解當中的一個解，可以把方程降低一階，成為階齊線性方程，并且知道它的個線性無關解；而利用兩個線性無關解，則可以把方程降低兩階，成為階齊線性方程，同時知道它的個線性無關解。依此類推，繼續上面的做法，若利用了方程的個線性無關解，則最后就得到一個階的齊一次方程，即把方程降低了階。
特別地，對于二階齊次線性方程，如果知道它的一個非零解，則可求得方程的通解。
計算結果
一階微分方程
可分離變量的方程
方程：如果一個一階微分方程可寫成（或）的形式，換言之，能把微分方程寫成一端只含的函數和，另一端只含的函數和，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。
求解：先分離變量，將方程寫成
的形式。再兩端積分
設積分后得
；
最后求出由所確定的隱函數
或
或都是方程的通解，其中稱為隱式（通）解。
通過上述過程，在求解可分離變量的微分方程時，如式，可以形式上認為對式的左邊關于求積分，對式的右邊關于求積分，于是就可以求得微分方程的通解。先將微分方程中的變量分離開來，然后求解的方法稱為分離變量法，一般地，如果微分方程可以寫成
或者
如果，或者且，則有
和
于是，就化成了式的形式，可以像前面一樣，通過對方程兩端分別對和積分來求出微分方程的通解。
線性微分方程
線性齊次方程
方程：對于一階線性齊次方程
其中為連續函數，可用分離變量法求解得：
其中，任意常數可等于零。
求解：如果要找方程滿足初始條件的解，可先取定為的任一確定的原函數，然后以代入式，得到，從而，把它代入式右邊，即得所求的特解為。
線性非齊次方程
方程：對于一階線性非齊次方程
其中為連續函數，該方程不能用分離變量法求解，可用常數變易法進行求解。
求解：方程的通解為：
。
方程滿足初始條件的特解為：
。
伯努利方程
定義：方程稱為伯努利方程。當或時，該方程為非齊次或齊次線性方程。伯努利方程可通過變量代換法化為相應的一階線性方程，求解該一階線性方程的通解之后，再應用變量代換，便可得出方程的通解。
求解：注意到伯努利方程不是線性的，將方程變形，以除上方程的兩端，得
容易看出，上式左端第一項與只差一個常數因子，因此有
做代換，設，則上方程化為
該方程為一階一次方程，求出該方程的通解后，以代，便得到伯努利方程的通解。
全微分方程
定義：一階微分方程可寫成如下對稱形式：
其中，在某區域內是的連續函數，而且具有一階連續的偏導數。如果存在可微函數，使得，即
則稱方程為全導數方程或恰當微分方程。
結論：設在某區域內具有連續的一階偏導數，方程是全微分方程的充要條件為
。
在上述情形下，方程可寫為，于是方程的通解為，其中為任意常數。
二階微分方程
線性微分方程
方程：二階線性微分方程一般形式為
其中是的已知連續函數。若，則方程稱為二階非齊次線性微分方程；若則方程
常系數線性方程
方程：形如
的方程，若其中均為常數，為連續函數，則稱為二階常系數線性微分方程。若，則方程稱為二階常系數非齊次線性微分方程；若，則方程
稱為二階常系數齊次線性微分方程。
求解：齊次： 的通解步驟如下：
（1）寫出微分方程的特征方程；
（2）求出該特征方程的兩個特征根；
（3）根據兩個根的不同情況，分別寫出微分方程的通解。
求解：非齊次：
常數變易法：考慮二階常系數非齊次線性微分方程，由齊次線性微分方程的通解結構定理可知，它對應的齊次方程的通解為
。
可由常數變易法求得二階常系數非齊次線性微分方程的通解為
。
待定系數法：當方程的自由項為以下特殊形式，可由待定系數法求得方程的特解。
（1）型，可假設方程有特解：
其中，是與同次的待定多項式，而的取值如下：
（2）型，其中，分別是的次多項式，都為實常數。
對于自由項
，
設其特解為
，
其中，是的次多項式，，的取值如下：
n階微分方程
線性微分方程
方程：階線性微分方程一般形式為
其中及都是區間上的連續函數。若，則方程稱為階非齊次線性微分方程；若，則方程
稱為方程對應的階齊次線性微分方程。
結論：齊次：（疊加原理）如果是方程的個解，則它們的線性組合
也是方程的解，其中是任意常數。
是方程的解，它含有個任意常數。
結論：非齊次：考慮階非齊次線性微分方程，易知是它的特殊情形，直接驗證得到如下三個性質：
其中為任意常數，而且通解包括了的所有解。
常系數線性方程
求解：特征方程法：二階常系數齊次線性微分方程所用的特征方程法以及方程的通解的形式，可推廣到階常系數齊次線性微分方程。
一般形式
其中都是常數。
微分方程的特征方程為
，
根據特征方程的根，可以寫出對應的微分方程的解，如下表所示。
求解：非齊次：對于階常系數非齊次微分方程，二階常系數非齊次線性微分方程所用求解方法——常數變易法、待定系數法都可推廣至階。另外，當所考慮的階常系數非齊次線性微分方程右端函數滿足拉普拉斯變換的原函數條件時，可借助拉普拉斯變換法求解。
拉普拉斯變換法：對于給定的微分方程
及初始條件
方程的右端函數滿足原函數的條件。如果是方程的解，則及其各階導數
均滿足原函數的條件。記
由拉普拉斯變換法即可求得微分方程滿足所給初始條件的解的像函數。直接查拉普拉斯變換表或由反變換公式可得方程的解為。
如果所得的像函數在拉普拉斯變換表中找不到對應的形式，需要對像函數進行變形或分解，化成可以在表中找到對應形式因式的線性形式。
推廣
伊藤積分
伊藤積分方程是常微分方程的推廣。在工程技術應用中，當系統有隨機干擾影響時，系統的微分方程需要增加隨機因素的影響，其微分方程的形式為
式中是隨機過程。當時，，是正態白噪聲，為隨機因素的影響。已知正態白噪聲與維納過程之間的關系為
由此可得，式在形式上等價于
其積分形式為
在式的兩個積分中，第一個是均方積分，第二個積分是伊藤積分。
定義：設為二階矩過程，為維納過程，在上進行分割，其分點為
作和式
如果
均方極限存在，則隨機變量稱為關于維納過程在區間上的伊藤隨機積分，簡稱伊藤積分，記作
。
從伊藤積分的定義可看出，在積分和中，隨機過程在小區間上的取值點并非任意的，由于任意取值將不能保證和的唯一性，因而只取區間開始點的值。
存在定理
設為均方連續的二階矩過程，對于一切滿足，而的和過程獨立于增量，則存在且唯一。
應用
金融學
隨著經濟的發展以及人們投資意識的改變，股票市場的價格數據逐漸成為人們關注的熱點。股票價格數據作為一種時間序列數據，它具有一定的滯后性和有較大隨機性，且由于國家政策和公司制度等各個方面的影響，存在短期內劇烈波動的可能。傳統的預測方法無法準確地表達股價的變化規律，為了更好地衡量數據短期內的波動，可建立一個基于多指標正則化基因表達式編程算法的高階常微分方程模型，它能夠刻畫股價隨時間的變化趨勢，有效準確地描述數據波動。
地理學
在地理學領域，子午線弧長與底點緯度的計算是橢球大地測量學中高斯坐標正算和反算的基礎，計算子午線弧長是一個橢圓函數積分過程，底點緯度的求解是非線性方程的求根問題，它們計算過程的本質是解算標準的一階常微分方程。在傳統的算法的精度基礎上，可應用基于常微分方程數值解法來進行求解，該算法運算速度更快，且能夠高效地計算出到高精度的計算結果，比傳統算法更適用于子午線弧長和底點緯度的大數據計算。
計算機科學
計算機科學中，在對并發程序進行靜態分析時，經常會遇到狀態空間爆炸的問題。在傳統的解決方法中，通常使用靜態分析方法對并發程序進行死鎖檢測，但隨著程序中的并發結構或異步進程增多，仍然會遇到狀態空間爆炸問題?；诔Ｎ⒎址匠痰乃梨i檢測實驗分析方法，通過建立系統的常微分方程模型，分析常微分方程組的解來檢測系統中是否存在死鎖，可有效避免狀態爆炸問題，并具有較強的靜態分析能力。
參考資料 >