在數(shù)學(xué)物理中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果，等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生效果的累加。疊加原理適用于任何線性系統(tǒng)，包括代數(shù)方程、線性微分方程、以及這些形式的方程組。疊加原理可用于利用線性化分析一個非線性系統(tǒng)的已知解的小導(dǎo)數(shù)。
基本簡介
相關(guān)解釋：疊加原理;superposition principle
例如，物理中幾個外力作用于一個物體上所產(chǎn)生的加速度，等于各個外力單獨(dú)作用在該物體上所產(chǎn)生的加速度的總和，這個原理稱為疊加原理。疊加原理適用范圍非常廣泛，數(shù)學(xué)上線性方程，線性問題的研究，經(jīng)常使用疊加原理。
在物理學(xué)與系統(tǒng)理論中，疊加原理（superposition principle），也叫疊加性質(zhì)（superposition property），說對任何線性系統(tǒng)“在給定地點(diǎn)與時(shí)間，由兩個或多個刺激產(chǎn)生的合成反應(yīng)是由每個刺激單獨(dú)產(chǎn)生的反應(yīng)之和?！?/p>
從而如果輸入 A 產(chǎn)生反應(yīng) X，輸入 B 產(chǎn)生 Y，則輸入 A+B 產(chǎn)生反應(yīng) (X+Y)。
用數(shù)學(xué)的話講，對所有線性系統(tǒng)F(x)=y，其中x是某種程度上的刺激（輸入）而y是某種反應(yīng)（輸出），刺激的疊加（即“和”）得出分別反應(yīng)的疊加
在數(shù)學(xué)中，這個性質(zhì)更常被叫做可加性。在絕大多數(shù)實(shí)際情形中，F(xiàn)的可加性表明它是一個線性映射，也叫做一個線性函數(shù)或線性映射。
疊加原理適用于任何線性系統(tǒng)，包括代數(shù)方程、線性微分方程、以及這些形式的方程組。輸入與反應(yīng)可以是數(shù)、函數(shù)、矢量、矢量場、隨時(shí)間變化的信號、或任何滿足一定公理的其它對象。注意當(dāng)涉及到矢量與矢量場時(shí)，疊加理解為矢量和。
1.如果幾個電荷同時(shí)存在，它們電場就互相疊加，形成合電場。這時(shí)某點(diǎn)的場強(qiáng)等于各個電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和，這叫做電場的疊加原理.
2.點(diǎn)電荷系電場中某點(diǎn)的電勢等于各個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和，稱為電勢疊加原理.
從而如果輸入 A 產(chǎn)生反應(yīng) X，輸入 B 產(chǎn)生 Y，則輸入 A+B 產(chǎn)生反應(yīng) (X+Y)。
用數(shù)學(xué)的話講，對所有線性系統(tǒng) F(x)=y，其中 x 是某種程度上的刺激（輸入）而 y 是某種反應(yīng)（輸出），刺激的疊加（即“和”）得出分別反應(yīng)的疊加：
在數(shù)學(xué)中，這個性質(zhì)更常被叫做可加性。在絕大多數(shù)實(shí)際情形中，F(xiàn) 的可加性表明它是一個線性映射，也叫做一個線性函數(shù)或線性映射。
此原理在物理學(xué)與工程學(xué)中有許多應(yīng)用，因許多物理系統(tǒng)可以線性系統(tǒng)為模型。例如，一個梁可作為一個線性系統(tǒng)，其中輸入刺激是在梁上的結(jié)構(gòu)荷重，而輸出反應(yīng)是梁的撓度。因?yàn)槲锢硐到y(tǒng)通常只是近似線性的，疊加原理只是真實(shí)物理現(xiàn)象的近似；從這里可以察知這些系統(tǒng)的操作區(qū)域。
類似方法
與傅里葉分析及類似方法的關(guān)系
通過將線性系統(tǒng)中一個非常一般的刺激寫成一些特定的簡單形式的刺激之疊加，利用疊加原理，通常使反應(yīng)變得容易計(jì)算。
例如，在傅里葉分析中，刺激寫成無窮多個正弦信號的疊加。由于疊加原理，每個這樣的正弦波可單獨(dú)分析，各自的反應(yīng)可計(jì)算出來。（反應(yīng)自己也是一個正弦波，與刺激的頻率相同，但一般有不同的振幅與相位。）根據(jù)疊加原理，原來的刺激的反應(yīng)是所有單獨(dú)的正弦波反應(yīng)之總和（或積分）。
另一個常見的例子，在格林函數(shù)分析中，刺激寫成無窮多個脈沖函數(shù)的疊加，而反應(yīng)是脈沖響應(yīng)的疊加。
傅里葉分析對波是常用的。例如，在電磁理論中，通常的光描述為平面波（固定頻率、極化與方向的波）的疊加。只要疊加原理成立（通常成立但未必一定；見非線性光學(xué)），任何光波的行為可理解為這些簡單平面波的行為之疊加。
理論應(yīng)用
在波理論中的應(yīng)用
主條目：波動和波方程
波通常描述為通過空間與時(shí)間的某個參數(shù)的變化，例如，水波中的高度，聲波中的壓強(qiáng)，或光波中的電磁場。這個參數(shù)的值稱為波的振幅，而波本身是確定在每一點(diǎn)的振幅的一個函數(shù)。
在任何有波的系統(tǒng)中，在給定時(shí)間的波形式是該系統(tǒng)的源（即可能存在的產(chǎn)生或影響波的外力）與初始條件的函數(shù)。在許多情形（例如經(jīng)典波動方程），描述波的方程是線性的。如果該條件成立，則可以使用疊加原理。這就意味著由在同一空間中傳播的兩個或多個波的合成振幅，是由每個波單獨(dú)產(chǎn)生的振幅之和。例如，兩個相向傳播的波將徑直互相穿過，在另一邊不會有任何變形（見最上面的圖）。
波干涉
主條目：干涉
波之間的干涉即基于此想法。當(dāng)兩個或更多波在同一個空間中傳播，在每一點(diǎn)的合成振幅是各個波的振幅之和。在某些情形，比如消噪聲耳機(jī)（噪點(diǎn)cancelling headphone），合成變量的振幅比各個分變量都??；這稱為消極干涉。在另一種情形，比如線陣音箱（Line array），合成變量振幅比各個分變量都大；這成為積極干涉。
合成
波形式
波 1
元 2
相位相同 相位差180°
線性的喪失
值得注意的是在大多數(shù)實(shí)際物理情形中，支配波的方程只是近似線性。在這些情形，疊加原理只是近似成立。作為一個法則，當(dāng)波的振幅越小時(shí)近似的準(zhǔn)確性程度越高。當(dāng)疊加原理不是準(zhǔn)確地成立時(shí)的現(xiàn)象可參見非線性光學(xué)與非線性聲學(xué)。
量子疊加
主條目：量子疊加
在量子力學(xué)中，一個主要問題是如何計(jì)算一個特定類型波的傳播與行為。這個波叫做波函數(shù)，支配波的行為的方程稱為埃爾溫·薛定諤波動方程。計(jì)算一個波函數(shù)的行為的一個主要方法是將波函數(shù)寫成（可能無窮個）一些行為特別簡單的穩(wěn)定態(tài)的波函數(shù)之疊加（稱為量子疊加）。因?yàn)檠Χㄖ@波方程是線性的，原來波函數(shù)的行為可以通過疊加原理來計(jì)算[1]，參見量子疊加。
邊界值
邊界值問題
主條目：邊界值問題
一類通常的邊界值問題抽象地說是尋找一個函數(shù) y 使其滿足某個方程
F(y) = 0
以及邊界條件
G(y) = z
例如，在狄利克雷邊界條件下拉普拉斯方程的中，F(xiàn) 是一個區(qū)域 R 上的拉普拉斯算子，G 是將 y 限制于 R 的邊界上的算子，z 是 y 在 R 的邊界上要求滿足的函數(shù)。
在這種情形下 F 與 G 都是線性算子，則疊加原理說第一個方程的一些解的疊加是第一個方程的另一個解：
如果 則
而邊界值為：
G(y1) + G(y2) = G(y1 + y2)
利用這一事實(shí)，如果一組解可以組成第一個方程的解，則這些解小心地疊加起來可使其滿足第二個方程。這是解邊界值問題的一個通常方法。
應(yīng)用示例
其它應(yīng)用示例
在電機(jī)工程學(xué)的一個線性電路中，輸入（一個應(yīng)用時(shí)變電壓信號）與輸出（在回路中任何一處的電流或電壓）通過一個線性變換相關(guān)。從而如數(shù)信號的疊加（即和）將得出反應(yīng)的疊加。以此為基礎(chǔ)應(yīng)用傅里葉分析特別普遍。電路分析中另一個有關(guān)技術(shù)參見疊加定理（Superposition theorem）。
在物理學(xué)中，麥克斯韋方程蘊(yùn)含（可能隨時(shí)間變化）電荷與電流和電場與磁場通過一個線性變換相關(guān)。從而疊加原理可喲過來簡化由給定電荷與電流分布引起的物理場的計(jì)算。此原理也用于物理學(xué)中其它線性微分方程，比如熱傳導(dǎo)方程式。
在機(jī)械工程中，疊加用來解組合荷重的梁與結(jié)構(gòu)的形變，如果作用是線性的（即每個荷重不影響其他荷重的結(jié)果且每個荷重的作用不明顯改變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的幾何[2]）。
在水文地質(zhì)學(xué)中，疊加原來用于在一個理想蓄水層中抽水的水井的水位降低量（drawdown）。
在過程控制中，疊加原理用于模型預(yù)估計(jì)控制（model predictive ctrl）。
疊加原理可用于利用線性化分析一個非線性系統(tǒng)的已知解的小導(dǎo)數(shù)。
在音樂中，理論家約瑟夫施林格（Joseph Schillinger）利用疊加原理的一種形式作為他《音樂作曲施林格系統(tǒng)》中的“音律理論”。
注意問題
應(yīng)用疊加原理時(shí)應(yīng)注意：
（1）只有線性電路才具有疊加性，對非線性電路不能應(yīng)用疊加原理。
（2）只有獨(dú)立電源才能進(jìn)行置零處理，對含有受控源的電路，使用疊加原理時(shí)切勿強(qiáng)制受控源取零值。這是因?yàn)橐坏┦芸卦幢粡?qiáng)制取零值就等于在電路中撤消了該受控源所代表的物理元件，從而導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。
（3）功率的計(jì)算不能用疊加原理。
（4）當(dāng)某電源暫不起作用時(shí)，是將該電源置零。對于獨(dú)立電壓源暫不起作用時(shí)將其兩端短接，對于獨(dú)立電流源是將兩端開路。
參考資料 >