線性導(dǎo)數(shù)方程（linear differential 方程）是所含未知函數(shù)以及未知函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)或微分都是一次的微分方程就是線性微分方程。方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為該微分方程的階數(shù)。根據(jù)階數(shù)不同可分為一階線性微分方程和二階線性微分方程等。線性微分的線性則體現(xiàn)在方程中未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的。
十七世紀，首先由艾薩克·牛頓（Newton）和戈特弗里德·萊布尼茨（Leibinitz）發(fā)明了微積分，同時產(chǎn)生了微分方程問題。到17世紀末及18世紀，常微分方程的研究主要是集中在求微分方程各種具體類型通解的明顯表達式，即把微分方程的解化為初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分的各種特殊方法上。
線性微分方程根據(jù)不同情況可以選用不同的方法求解，比如待定系數(shù)法、參數(shù)變易法等。運用線性微分方程可以求解多種類型的實際問題，也可以進行物理學(xué)等學(xué)科的問題研究。例如，可以用于解決建筑施工中的壓桿穩(wěn)定問題和彈性基地梁問題等問題。也可以用于物理學(xué)中振動系統(tǒng)、電學(xué)系統(tǒng)的問題研究。還可以用于建立一些醫(yī)學(xué)模型，比如腫瘤生長規(guī)律模型。
定義
含有未知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)或導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程，其中所含未知函數(shù)以及未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)或微分都是一次的微分方程就是線性微分方程。其一般形式為，其中系數(shù)，，是自變量x的已知函數(shù)或常數(shù)。函數(shù)稱為線性方程的自由項。時，稱方程為齊次的；時，稱方程為非齊次的。使得系數(shù)，，和自由項都連續(xù)的區(qū)間稱為方程的容許區(qū)間。
簡史
十七世紀，促使艾薩克·牛頓（Newton）和戈特弗里德·萊布尼茨（Leibnitz）發(fā)明微積分，同時也產(chǎn)生了微分方程問題。牛頓力學(xué)一般導(dǎo)致一個常導(dǎo)數(shù)方程組，例如天體力學(xué)中的“二體問題”，就是解一個二階微分方程組。
1693年，萊布尼茲對齊次方程用代換，將一階微分方程化成了變量分離這種簡單基本的方程；不久之后，對線性方程用未知函數(shù)，的乘積代換，也可將微分方程轉(zhuǎn)化為分離變量方程求解。
1696~1697年，萊布尼茲和瑞士著名數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利兄弟用同樣方法解決了所謂伯努利方程（）。他們指出，在的代換下，這方程就變成線性方程。
1743年，萊昂哈德·歐拉用代換給出任何階的常系數(shù)線性齊次方程的古典解，在同一篇論文中，歐拉指出階方程的通解是它個特解的線性組合。而達朗伯爾（D'Alembert）則得出：非齊次線性方程之通解由齊次線性方程的通解及非齊次線性方程的任一特解所組成這一基本定理。
1766～1777年，約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在詳細研究了常數(shù)變易法之后，用這種方法求出了非齊次方程的特解。
解的結(jié)構(gòu)
階線性微分方程的一般形式：。當(dāng)時，稱為階線性齊次微分方程。當(dāng)時，稱為階線性非齊次微分方程。以二階為例（Ⅰ），（Ⅱ）。非齊次線性方程（Ⅰ）和與它對應(yīng)的齊次線性方程（Ⅱ）的解的結(jié)構(gòu)，有以下幾個結(jié)論：
（1）若，是齊次線性方程（Ⅱ）的兩個解，則也是齊次方程（Ⅱ）的解。
（2）若，是線性齊次方程（Ⅱ）兩個線性無關(guān)的解，則是線性齊次方程（Ⅱ）的通解。
（3）若是非齊次方程（Ⅰ）的一個解，是齊次方程（Ⅱ）的通解，則是非齊次方程（Ⅰ）的通解。
（4）若是方程的解，是的解，則是方程的解。
（5）若是線性方程的復(fù)數(shù)解（，，，都是實函數(shù)），則解的實部和虛部分別是方程及的解。
分類及解法
一階線性微分方程
形如（a）的方程，稱為一階線性微分方程，其中，為已知的連續(xù)函數(shù)。如果，則方程（a）變?yōu)椋╞）。方程（b）稱為一階齊次線性微分方程。如果不恒等于零，則方程（a）稱為一階非齊次線性微分方程。通常方程（b）稱為方程（a）所對應(yīng)的齊次線性微分方程。
一階齊次線性微分方程的解法
一階齊次線性微分方程是可分離變量的微分方程。分離變量，得，在兩邊積分，得。所以方程（b）的通解為。
一階非齊次線性微分方程的解法
首先，求出一階非齊次線性微分方程（a）所對應(yīng)的一階齊次線性微分方程（b）的通解。其次，利用“常數(shù)變易法”求一階非齊次線性微分方程（b）的通解。
方程（a）和方程（b）的左邊相同，而右邊不同。因此，如果假設(shè)方程（a）具有形如的解，那么其中的不可能是常數(shù)，而應(yīng)是的函數(shù)，設(shè)為。于是，可設(shè)為非齊次線性微分方程（a）的解，其中為待定函數(shù)。因為，將，代入方程（a）可得。再兩邊積分得，最后將代入，得到一階非齊次線性微分方程（a）的通解為。
二階常系數(shù)線性齊次微分方程
形如（，為常數(shù)）的微分方程稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程。
由二階線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)可知，要求方程的通解，只需找出它的兩個線性無關(guān)的解即可。觀察此方程的特點可得，未知函數(shù)具有（為常數(shù)）的形式，將代人并化簡得由于，所以。當(dāng)滿足時，函數(shù)就是的解。我們把稱為的特征方程，稱為特征根。
由此，給出（，為常數(shù)）的求通解步驟：
1.寫出的特征方程；
2.求出特征根與；
3.根據(jù)與的情況，確定的通解：
二階常系數(shù)線性非齊次微分方程
形如的方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，由線性方程解的結(jié)
構(gòu)定理可知，求的通解問題可歸結(jié)為求對應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。一般地，求線性非齊次方程的特解是比較困難的，但對于自由項的一些特殊情形，仍是有法可循的。
1.其中是常數(shù)，是的一個次多項式：。可以得出：
（1）.若不是特征方程的根，則的特解形式為;
（2）.若是特征方程的單根，則的特解形式為;
（3）.若是特征方程的二重根，則的特解形式為;
其中是與同次的多項式。
2.其中，是常數(shù)，、分別是的次、次多項式，與不全為零，記，則非齊次線性方程的特解形式為其中與均是次多項式，而按不是特征根，或是特征單根依次取0或者1。
將二階常系數(shù)非齊次微分方程的特解形式歸納如下：
變系數(shù)線性微分方程
變系數(shù)的線性微分方程一般來說都是不容易求解的，但是有些特殊的變系數(shù)的線性微分方程，則可以通過變量代換化為常系數(shù)的線性微分方程，因而容易求出線性微分方程的解．歐拉方程就是可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的線性微分方程的一種。形如的變系數(shù)的線性微分方程就稱為二階歐拉方程。其中，為常數(shù)。為已知的連續(xù)函數(shù)。作變量代換或。計算整理可得，這是常系數(shù)的線性微分方程，求出通解后，再用代入，可得歐拉方程的通解為。
應(yīng)用
建筑施工
在結(jié)構(gòu)設(shè)計或建筑施工中，經(jīng)常會遇到壓桿穩(wěn)定問題。為了使壓桿的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，避免桿件喪失穩(wěn)定，引起破壞。可以運用線性微分方程來求出壓桿的臨界力，使縱向壓力小于臨界力，就可以保證壓桿的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；此外，建筑施工中的建筑結(jié)構(gòu)的振動問題以及彈性地基梁問題等也需要用到線性微分方程來解決。
物理研究
在求解物理中的振動系統(tǒng)和電學(xué)系統(tǒng)等實際問題時，也需要結(jié)合力學(xué)和電學(xué)的基礎(chǔ)知識，正確建立線性微分方程，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龇匠痰慕猓越鉀Q這些具體的問題。例如，可以運用線性微分方程來計算掛著彈簧的重物的運動規(guī)律或者是液體中質(zhì)點的運動規(guī)律。
醫(yī)學(xué)模型
隨著整個科學(xué)的數(shù)學(xué)化，現(xiàn)代醫(yī)學(xué)也加快了向數(shù)學(xué)化發(fā)展的速度。普遍地、有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決醫(yī)學(xué)研究中的問題，揭示其中的數(shù)量規(guī)律性，已成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)發(fā)展的潮流，而微分方程是建立醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型最為有效的、廣泛采用的工具之一。例如可以運用線性微分方程建立起指數(shù)生長模型、Gompertz模型等模型來研究腫瘤生長規(guī)律的問題。
參考資料 >