約瑟夫·拉格朗日（全名：約瑟夫·路易斯·拉格朗日，外文原名：Joseph-Louis Lagrange，1736年1月25日-1813年4月10日），法國籍著名數學家、物理學家、天文學家，數學分析學主要代表人物之一。
約瑟夫·拉格朗日于1736年出生于意大利都靈，其少年時對數學并無興趣，后因一篇介紹艾薩克·牛頓關于微積分的研究工作的文章決心研究數學。拉格朗日在都靈上大學期間學習幾何學，17歲開始專攻數學分析。1754年，拉格朗日完成第一篇論文，并開始研究變分極值。次年，拉格朗日將一篇介紹用純分析方法求變分極值的論文寫信給萊昂哈德·歐拉，并得到其賞識，后被任命為都靈皇家炮兵學校的數學教授。1756年，拉格朗日將變分法應用于力學，并于8月被任命為普魯土科學院通訊院士，9月升任副院士。1757年，拉格朗日與都靈青年科學家建立了科學協會，并在《都靈科學論叢》刊登變分法、分析力學等方面的研究成果。1766年，拉格朗日被任命為柏林科學院數學部主任。在普魯士科學院期間其研究成果涵蓋數論、天文學等方面，并完成《分析力學論述》的編著工作，此后便一直在柏林做研究，后因普魯士國王腓特烈大帝去世，拉格朗日離開柏林。1787年，拉格朗日來到巴黎科學院工作，并在1790年成為“度量衡委員會”主席。1795年，拉格朗日擔任法蘭西研究院科學院的數理委員會主席。1813年，拉格朗日因病逝世，終年77歲。
拉格朗日一生獲得過很多榮譽，如先后獲得巴黎科學院1772年，1774年，1776年，1780年度的獎金，并被拿破侖·波拿巴封為伯爵以及授予帝國大鐵十字勛章。拉格朗日在數學、力學和天文學三個領域中都有著歷史性貢獻，其一生的著作、論文、學術報告記錄和學術通訊等有500多篇，其代表作品有《分析力學》《復變函數》《函數計算教程》等。后世為了紀念拉格朗日，以他的名字命名了許多數學定理以及小行星，他也成為名字被刻在埃菲爾鐵塔的72位法國科學家和工程師中的一位。
人物生平
早年經歷
約瑟夫·拉格朗日1736年出生于意大利都靈，其父親弗朗切斯科·洛德維科·拉格朗日亞曾是法國陸軍的一名軍官，之后在都靈的公共事務和防務局從事會計工作。后來因父親經商失敗，家道中落。據拉格朗日本人回憶，如果幼年時家境富裕，他也就不會作數學研究了，因為父親一心想把他培養成為一名律師，而他個人卻對法律毫無興趣。
少年時代的拉格朗日對數學并無興趣，而是喜歡文學，但在讀了一篇介紹艾薩克·牛頓關于微積分的研究工作的文章后，便決心研究數學。后拉格朗日在都靈上大學時，由數學家雷維里（Revelli）教導幾何學，逐漸顯示出數學才能，從17歲開始專攻當時發展飛快的數學分析。
1754年，18歲的拉格朗日用意大利語完成了自己的第一篇論文，內容是應用牛頓二項式定理處理兩函數之積的高階導數。在寄信給數學家法尼亞諾（Fagnano）之后，又以拉丁語寫出并寄給在柏林的數學家萊昂哈德·歐拉（Euler）。但不幸的是，早在之前這一研究內容就已經被戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）所發現，即后來的萊布尼茨公式。拉格朗日沒有受到過多的負面影響，并于年底開始研究變分極值的工作。
1755年8月12日，拉格朗日寫信給當時的柏林科學院數學部主任歐拉，是一篇介紹用純分析方法求變分極值的論文，并于9月6日收到了回信，獲得了贊賞。對變分法的貢獻成果讓拉格朗日在都靈出名，年僅19歲就被任命為都靈皇家炮兵學校的數學教授，正式從事數學領域的研究工作。
研究經歷
都靈時期
拉格朗日在擔任數學教授之后，仍然進行著數學研究工作。在1756年寫給萊昂哈德·歐拉的信中，拉格朗日將變分法應用于力學，并把歐拉有心力中的一個定理推廣到一般動力學問題。同年8月，拉格朗日被任命為普魯士科學院通訊院士，又于9月2日晉升為副院士。
次年，以拉格朗日為首的都靈青年科學家建立了一個科學協會，即都靈皇家科學院的前身，并陸續在《都靈科學論叢》（Mélanges de Turin）上出版一系列學術刊物。在前三卷中刊登了拉格朗日有關變分法、分析力學、聲音傳播、常微分方程解法、月球天平動、木衛運動等方面幾乎所有的優秀研究成果。
1763年11月，拉格朗日來到巴黎與讓·達朗貝爾（d'Alembert）初次會面交談。在達朗貝爾的推薦下，拉格朗日在回都靈的途中探訪了數學家D.雅各布·伯努利（Daniel Bernoulli）和文學家F.伏爾泰（Voltaire），這對后來拉格朗日的數學研究工作的順利進展提供了幫助。回到都靈后，拉格朗日的聲望增長，并于1765年秋收到達朗貝爾邀請他來柏林任職的通知，但因其不愿與歐拉爭職位，便回信拒絕。
柏林時期
1766年3月，達朗貝爾來信告知拉格朗日，說萊昂哈德·歐拉即將離開柏林，并邀請他擔任柏林科學院數學部主任。5月3日，歐拉離開柏林之后，拉格朗日正式接受普魯士王國邀請，于10月27日到達柏林，不久后被任命為普魯士科學院數學部主任。次年9月，拉格朗日同維多利亞·孔蒂（Vittoria Conti）結婚。
拉格朗日在普魯士科學院期間，每月會宣讀一篇在《科學院文獻》或《柏林科學院新文獻》上的論文。期間，他的研究成果涵蓋了數論、方程論、微分方程、函數論等數學領域，以及一些天文學和流體力學方面的研究。此外，他還翻譯了萊昂哈德·歐拉和亞伯拉罕·棣莫弗在力學和幾何學方面的著作，并完成了《分析力學論述》的編著工作，該書成為了分析力學的奠基著作之一。
巴黎時期
1783年，都靈科學院建立，拉格朗日擔任名譽院長，并時常寄一些論文在《都靈科學院綜合論叢》發表。同年，拉格朗日的妻子安東尼奧·孔蒂因病逝世。1786年8月，普魯士國王腓特烈大帝去世，拉格朗日決定離開柏林，并于1787年5月來到巴黎科學院工作。在巴黎的前幾年，他主要學習了形而上學、歷史、宗教、醫藥和植物學等其他領域的知識。
1789年，法國爆發資產階級革命，但拉格朗日選擇旁觀，并于1790年5月成為巴黎科學院建立的“度量衡委員會”委員。同年8月，拉格朗日擔任該委員會的主席。1792年，拉格朗日同天文學家勒莫尼埃（LeMonnier）的女兒何蕾-弗朗索瓦-阿德萊德（Renée-Francoise- Adelaide）結婚，兩人一生并未生養兒女。1793年，法國政府決定逮捕所有在敵國出生的人，而拉格朗日在安托萬-洛朗·德·拉瓦錫的幫助下被排除在外。
1795年，法國的最高學術機構法蘭西研究院選舉拉格朗日為科學院的數理委員會主席后，他重新開始進行數學研究工作，主要是整理過去的工作和編撰一些重要著作，如拉格朗日的《師范學校數學基礎教程》在1796年出版，1798年又出版了《論任意階數值方程的解法》等。
晚年病逝
1813年，拉格朗日重病纏身，已臥床不起，于4月11日早晨逝世，終年77歲。在葬禮上，議長拉普拉斯代表上議院，院長拉賽佩德（Lacépède）代表法蘭西研究院一同為葬禮致詞，意大利的各大學校都舉行了紀念儀式。
主要成果
拉格朗日在數學、力學和天文學三個領域中都有著歷史性貢獻，尤其是在對數學領域，有著開創性和奠基性的研究成果，而研究力學和天文學的主要目的是為了體現數學分析的作用。終其一生，全部著作、論文、學術報告記錄和學術通訊等有500多篇。18世紀后半期是拉格朗日學術生涯的主要發展時期，當時的數學、物理學和天文學是自然科學主體，而數學的主流是經過微積分發展起來的數學分析。數學分析的發展使得力學和天體力學發展進一步推進，而力學和天體力學新生的課題又成為數學分析發展的巨大動力。
數學
變分法
1755年拉格朗日19歲時，在探討數學難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結果為依據，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發展了歐拉所開創的變分法，為變分法奠定了理論基礎。后來，拉格朗日在1760年發表的“關于確定不定積分式的極大極小的一種新方法”是以分析方法建立變分法的代表著作，文中的方法稱為“變分方法”（the method of variation），并在歐拉的回信中得到肯定，變分法才真正地成為分析方法的一個分支。
微分方程
早在都靈時期，拉格朗日對變系數常微分方程的降階過程研究中提出伴隨方程，并證明非齊次線性變系數方程的伴隨方程的伴隨方程，是原方程的齊次方程。在萊昂哈德·歐拉關于常系數齊次方程的研究基礎上，拉格朗日把常數系推廣到變系數，證明變系數齊次方程的通解能用一些獨立特解乘以任意常數再相加得到，并且在已知方程的m個特解之后，可以把方程降低m階。在柏林時期，他對常微分方程的奇解和特解做出貢獻，例如拉格朗日在1774年完成的“關于微分方程特解的研究”中系統地研究了奇解和通解的關系，不僅提出由通解及其對積分常數的偏導數消去常數求出奇解的方法，還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡線。
拉格朗日是一階偏微分方程理論的創立者，分別在1772年完成“關于一階偏微分方程的積分”和1785年完成“一階線性偏微分方程的一般積分方法”，文中系統地介紹了一階偏微分方程的理論以及解法。拉格朗日提出了一階非線性偏微分方程的解分類為完全解、奇解、通積分等，并給出它們之間的關系，并進一步證明并求解了線性方程，后被稱為拉格朗日方程。
方程論
18世紀的代數從屬于數學分析，方程論是代數學中的活躍領域。拉格朗日在柏林的前十年，大部分的時間都在研究代數方程和超越方程的解法上。例如在論文“關于方程的代數解法的思考”中，拉格朗日分析出一般的三次與四次方程可用代數方法求解的原因。
拉格朗日認為輔助方程的解為原方程根的預解函數（是有理函數），但在求解5次函數的預解函數中沒能成功。不過，拉格朗日的思想方法已可見到置換群概念，并且得出了在預解（有理）函數值不變的置換構成子群，子群的階是原置換群階的因子的結論。1770年，拉格朗日提出一種超越方程的級數解法，后被稱為“拉格朗日級數”。
數論
柏林初期，拉格朗日就已經開始數論的研究工作，在“二階不定問題的解”和送回都靈《都靈科學論叢》的“一個算術問題的解”中討論了皮耶·德·費瑪（Fermat）方程解的問題，第一次證明當不是平放數，時有解。后來，拉格朗日在1770年的“整數不定問題解的新方法”中給出一般的費馬方程的解（均是整數），并推廣到二元二次整系數方程，同樣解決了整數解問題。
函數和無窮級數
拉格朗日認為函數可以展開為無窮級數，而無窮級數則是多項式的推廣。其曾試圖用代數建立微積分的基礎，后因回避了極限和級數收斂性問題，未能建立真正的級數理論和函數論。但拉格朗日在《復變函數》中得到微分中值定理，并用它推導出泰勒（Taylor）級數，還給出余項的具體表達式，就是拉格朗日余項形式。他指出泰勒級數不考慮余項是不能用的，并強調要趨于零，表明他已注意到收斂性問題。
拉格朗日在《師范學校數學基礎教程》中，提出了拉格朗日內插公式：
該公式在計算機計算大量中點內插時仍在使用。另外拉格朗日在求多元函數相對極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也被廣泛使用。
代數學
拉格朗日的方程論思想已蘊含著置換群的概念，并且使有理函數值不變的置換構成子群，子群的階是原置換群階的因子。拉格朗日對于伽羅瓦群理論的誕生起到了奠基作用，他發現的定理如下：
在群論中，如果群是一個有限群，它的階為則它的一個子群也是一個有限群，設其階為而此時的所有右陪集由于與等勢，所以其元素個數亦為的所有右陪集構成了上的所有等價類，它們互不相交地復蓋了因此，的元素個數一定被所等分，可得拉格朗日定理，即一個有限群的階一定被它的子群的階所等分。
此外，拉個朗日在1773年發表了關于行列式的三篇文章，他通過對四面體的研究，得到了三階行列式的乘法原理，為后面高斯的理論奠定了基礎。
力學
拉格朗日是分析力學的創立者，他在這方面的最大貢獻是把變分原理和最小作用原理具體化， 用純分析方法進行推理，建立了拉格朗日方法。1788年出版的《分析力學》一書中，拉格朗日表明這種方法不需要作圖或幾何推理，而只需要按照一致而正規的程序進行代數運算，其目的是使力學成為數學分析的分支。拉格朗日創立的分析力學使力學發展到新階段，他創立的第二類拉格朗日方程式推廣了牛頓第二運動定律，使得在任意坐標系下有統一形式的運動方程，至今仍為動力學中的最重要的方程。
拉格朗日首先引入廣義坐標概念，也稱拉格朗日坐標。一個力學系統可用有限個坐標表示；為相應的廣義速度。力學系統總動能（拉格朗日稱之為活力）表為和時間的函數后，定義為作用，最小作用原理成為
天體學
拉格朗日把天體力學作為力學的一個分支進行研究。他在天體力學的奠基過程中，有不少的歷史性貢獻。首先，拉格朗日用他在分析力學中的原理和第二類拉格朗日方程式建立起各類天體的運動方程，其中拉格朗日依據微分方程解法中的任意常數變異法，建立了以天體橢圓軌道根數為基本變量的運動方程，后被稱為“拉格朗日行星運動方程”，此方程對攝動理論的建立和完善起了重大作用。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動問題，提出了彗星起源假說等。
其次，拉格朗日發現三體問題運動方程的五個特解即拉格朗日平動解，其中兩個特解是三體圍繞質量中心作橢圓運動過程中，永遠保持等邊三角形，該理論于100年后被證實。不過至今尚未找到肯定在三個拉格朗日共線群（三體共線情況）處附近的天體，因為這三個特解不穩定。而且拉格朗日在一階攝動理論中提出了計算長期攝動方法，并與皮埃爾-西蒙·拉普拉斯一起提出了在一階攝動下的太陽系穩定性定理，后由拉普拉斯集大成而正式建立經典天體力學。
此外，拉格朗日的月球運動理論研究論文多次獲獎，其“月球天平動研究”一文較好地解釋了月球自轉和公轉的角速度差異。此外拉格朗日編寫的論文“木星的衛星運動的偏差研究”，第一次討論了太陽引力對木星的四個衛星運動的影響。而且在柏林時期，拉格朗日研究了用三個時刻的觀測資料計算彗星軌道的方法。
另外拉格朗日還得到了一種力學模型（兩個不動中心問題的解），后被稱為“拉格朗日問題”。該模型現在仍在應用，例如人造衛星運動的近似力學模型。同時，拉格朗日在《分析力學》中給出的流體靜力學的結果，后來成為討論天體形狀理論的基礎。他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉對稱軸上的定點轉動（拉格朗日陀螺）的歐拉動力學方程的解，對三體問題的求解方法有重要貢獻，解決了限制性三體運動的定型問題。
主要論著
拉格朗日一生的著作、論文、學術報告記錄、學術通訊超過500篇。
主要著作
學術論文
人物關系
此外，拉格朗日還有10位兄弟姐妹，大多數夭折，但具體姓名并無記載。
主要榮譽
主要評價
普魯士王國腓特烈大帝評價：拉格朗日是“歐洲最偉大的數學家”。
法國皇帝拿破侖·波拿巴評價：拉格朗日是“一座高聳在數學界的金字塔”。
法國大數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯評價：艾薩克·牛頓和拉格朗日是世界上對于科學進展最有功績的人，他們最高度的掌握了發現一般原理，發現科學實質的方法，這種方法能夠對抽象理論做出罕見的最優美的說明，這也就是拉格刻日的特點。
中國當代數學家吳文俊評價：拉格朗日是18世紀的偉大科學家，在數學、力學和天文學三個學科中都有歷史性的重大貢獻。但他主要是數學家，他最突出的貢獻是在把數學分析的基礎脫離幾何與力學方面起了決定性的作用，使數學的獨立性更為清楚，而不僅是其他學科的工具。同時在使天文學力學化、力學分析化上也起了歷史性作用，促使力學和天文學（天體力學）更深入發展。
人物事件
奇怪想法
拉格朗日出原本家境富足，他是家族中的唯一繼承者。但他卻有一種奇怪的想法，那就是希望家族破產，以便他能全身心地專注于學習數學。后來他的想法成真，他的兄弟揮霍了家族的財產，導致家道中落。為了生活，拉格朗日不得不依靠自己去奮斗。據拉格朗日本人回憶，如果他家境富足，他可能不會投身于數學研究，因為父親希望他成為一個賺錢更多的律師，而他個人卻對法律沒有興趣。
與拉瓦錫的友誼
拉格朗日與化學家拉瓦錫（1743年-1794年）在巴黎相識，作為科學家的他們惺惺相惜。拉瓦錫在化學、生理學、農學、經濟學、政治管理領域都有所建樹，是近代化學革命的代表人物，被譽為“近代化學之父”，兩人合作寫了一本《政治經濟學》。1793年，法國政府決定逮捕所有在敵國出生的人，而拉格朗日在安托萬-洛朗·德·拉瓦錫的幫助下被排除在外。后來在法國大革命中，拉格朗日卻未能成功救回激進的拉瓦錫，他感嘆道：“砍掉拉瓦錫的頭只需一秒鐘，但法國要再生出這樣一個腦袋需要一百年。”
后世紀念
定理命名
拉格朗日是18世紀的偉大科學家，在數學、力學和天文學三個學科中都有歷史性的重大貢獻，后世為了紀念他，以他的名字命名了很多概念與定理，例如拉格朗日點、拉格朗日插值、拉格朗日函數、拉格朗日中值定理等。
小行星命名
月球上的拉格朗日撞擊坑是以他的名字命名。小行星（1006）也以拉格朗日命名，被稱為“小行星1006”。
埃菲爾鐵塔
拉格朗日是名字被刻在埃菲爾鐵塔的72位法國科學家和工程師中的一位。
參考資料 >
小行星(1006) Lagrangea.近地天體和空間碎片數據中心.2023-12-26