拉格朗日點（Lagrangepoint）是在天體力學中平面圓型限制性三體問題的五個特解。又被稱為平動點。即一個小質量天體(忽略為質點)在兩個大質量天體的引力作用下在空間中使小物體相對于兩大物體基本保持靜止的一點。這些點的存在由瑞士數學家歐拉于1767年推算出前三個，法國數學家拉格朗日于1772年推導證明剩下兩個。
在每個由兩個大質量天體構成的系統中，按推論有5個拉格朗日點，其中有兩個是穩定的解，即在受外力后有回到原來的相對位置的趨勢。1767年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）推算出前三個拉格朗日點。法國著名數學家、物理學家約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）于1772年推導證明剩下兩個。后來把這5個點叫做“拉格朗日點”。
截至2023年，拉格朗日點處小天體相對于大天體相對靜止的特點已被廣泛應用在天文學、航空航天等領域。例如著名的詹姆斯·韋伯空間望遠鏡就被設置在日-地系統中的拉格朗日點上。
定義
拉格朗日點是平面圓型限制性三體問題的5個特解，又稱為平動點，指的是一個小天體在兩個大天體的引力作用下，使得小天體在空間中相對于兩個大天體基本保持靜止的點的位置。在這個位置，小天體受到的來自兩個大天體的引力之和恰好等于小天體以共同的角速度繞著質心做勻速圓周運動所需要的向心力。
發現與證實
發現與命名
求解上述三體運動中小天體位置的問題又被稱為“平面圓型限制性三體問題”。當小天體的質量可以被忽略不計時，這種問題一共有五個特解。1767年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）根據旋轉的二體引力場推算出了其中的三個特解，后來將這三個點稱為L1、L2和L3，五年后，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）推算出了剩下的兩個特解L4和L5。后來，人們將這五個點統稱為拉格朗日點。
證實
拉格朗日點的首次證明是在1906年，這一年，天文學家馬克斯·沃爾夫（Max Wolf）發現了一顆位于火星和木星間主帶以外的小行星。它的繞日軌道與木星完全相同，在木星前方運行?？瓷先?，這顆小行星-木星-太陽這三者總是位于等邊三角形的三個頂點上，這顆小行星被冠以特洛伊戰爭中英雄的名字“阿基里斯”。同年，天文學家又發現了名為617號的小行星出現在木星的軌道上，這顆小行星在木星后方運行，比木星落后60°。這顆小行星也和木星與太陽構成了一個等邊三角形。20世紀80年代，天文學家發現土星和它的大衛星構成的運動系統中也有類似的正三角形。截至2009年，天文學家已經在木星的L4和L5周圍各發現了超過1000顆小行星。L4和L5這兩個拉格朗日點也因此被稱為三角拉格朗日點或特洛伊點。這些事實都無可辯駁地證明了拉格朗日點的存在及其正確性。
性質
拉格朗日點的位置
設M1為中心大質量天體的質量，M2為以R為公轉半徑繞M1公轉的大質量天體的質量，以M1所在位置為原點，M1與M2的連線為x軸，則所有拉格朗日點的位置坐標為可以如下推導：
L1的位置
我們利用受力平衡列方程求解：假設拉格朗日點與天體M2的距離為r，M1和旋轉中心的距離為aR，其中a=,設重力常數G=1，則由萬有引力=向心力有：
其中
代表天體M2的角速度。我們使用近似的方法，由于，因此我們可以將作為小量近似，泰勒展開并且忽略余項得：
代回并化簡得：
也就是：
解得
則L1的位置坐標即為，這里依舊運用了近似的方法將近似成
L2的位置
L2的位置推導和L1幾乎一樣，我們的方程變成了
用同樣的方法，我們得到L2的坐標公式為：
L3的位置
我們假設L3距離M1的距離為,這里的是個無窮小量，我們可以列如下方程：
我們使用小量近似，通過泰勒展開我們有：
代回可解得：
可以將其近似成
因此的位置坐標為
如果將旋轉中心視為坐標軸原點，則坐標為
L4和L5
這兩個點的位置可以完全通過幾何關系進行推導，結果為
綜上所述，這五個拉格朗日點的位置坐標為：
其中
拉格朗日點的穩定性
不穩定的拉格朗日點（L1、L2和L3）
五個拉格朗日點中，有三個不穩定的拉格朗日點，即L1、L2和L3，這三個點位于兩個大質量天體的連線上（其中L3在較大的天體一側），又被稱為共線平動點。L1對應的是兩個大天體的引力之差提供小天體圍繞質心做圓周運動的情況，L2和L3對應的則是兩個大天體的引力之和提供小天體圍繞質心做圓周運動的情況。通過數學測算發現，當質量參數μ發生改變時，共線平動點的位置也會發生改變，下圖給出了不同質量參數時共線平動點的位置變化，虛線表示的是兩個大天體的位置，縱坐標為兩個主天體之間的距離。分析圖像可知，這三個拉格朗日點都是不穩定的拉格朗日點，這些點上的小天體可能會因為擾動而偏離軌道。
穩定的拉格朗日點（L4和L5）
對于L4和L5而言，無論質量參數如何變化，這兩個拉格朗日點與兩個大天體之間始終保持著等邊三角形的構型，因此非常穩定，這兩個點上的行星不易發生偏移，這兩個點又被稱為三角平動點。
探測
尋找拉格朗日點最直觀的方法是通過有效勢能推導物體受力。等勢線最密集處力最強，等勢線最稀疏的地方力最弱。如下圖，高點為黃色，低點為紫色，通過這個分析方法可以很快分析出拉格朗日點的位置。
拉格朗日點的應用
對于人類而言，不同的拉格朗日點有不同的應用，其中最重要的拉格朗日點是地球-太陽系統和月球地球系統中的拉格朗日點。
地球-太陽系統
共線平動點
由于共線平動點處的不穩定性，在共線平動點附近不存在長期運行的自然天體，因此，地-日系統的共線平動點L1處具有相對太陽和地球較為固定的幾何構型，能提供不間斷的太陽視野，因此在日地關系觀測中有著十分重要的應用。例如太陽和L2點則因為具有非常穩定的熱力學環境以及與地球相對固定的構型，在當今的天文觀測任務中有著十分重要的應用。例如著名的詹姆斯·韋伯空間望遠鏡就被設置在日-地系統中的L2拉格朗日點。除此之外，L2還是PLANCK和WMAP的所在地。而對于L3而言，截至2023年，天文學家還沒有發現其任何用途，因為它始終位于太陽的后方，在那里的航天器很難與地球之間建立穩定的通信系統。但是L3處隱藏星球的想法一直是科幻小說寫作中的熱門話題。
截至2023年，世界范圍內造訪過日-地系統共線平動點的任務有：ISEE-3/ICE、WIND、SOHO、ACE、DSCOVER、LPF、WMAP、GENESIS、HERSCHEL、PLANCK、GAIA、嫦娥二號衛星等。
月球-地球系統
共線平動點
月球-地球系統的共線平動點L1具有相對地月而言幾乎不變的幾何構型，將來可以作為地-月轉移的中繼點。由于L2附近的軌道可以持續觀測到月球的背面且與地球的通訊不受月球遮擋，可以用于月球背面與地球觀測站之間的中繼通訊處。例如我國“鵲橋中繼衛星”就在圍繞地球公轉的同時繞拉格朗日點L2自轉，“鵲橋中繼衛星”可以作為中繼站，將月球背面的探測器傳輸的信號無阻礙地傳輸給地球。
2015年，我國航天器首次達到地-月L2點。截至2023年，世界范圍內造訪過月-地系統共線平動點的任務有：ARTEMIS、GRAIL、CE5/T1等。
三角平動點
截至2023年，已有相關學者就地月系統的三角平動點的應用做過理論研究，但是，除了20世紀90年代日本的探測器飛天號飛躍過地-月系得三角平動點之外，目前上沒有任何與之有關的航天任務。
參考資料 >
拉格朗日點.中國探月與深空探測網.2023-09-05
拉格朗日點.中國大百科全書.2023-09-05
拉格朗日點（航空宇航科學與技術）.中國大百科全書.2023-09-05
What is a Lagrange point.NASA.2023-09-05
Do gravity holes harbour planetary assassins?.New Scientist.2023-09-05
The Lagrange Points.Wayback Machine.2023-09-05
我國航天器首次到達地月L2點.中國共產黨新聞網.2023-09-05