二體問題的解是研究行星繞太陽，航天器繞中心天體運動的近似解，是進一步研究更復雜的天體運動的基礎。在二體問題中，只要知道兩個天體在初始時刻的位置和速度，就可以計算出兩天體在任意時刻的位置和速度。它在經典力學中占有重要地位，廣泛應用于衛星、行星、雙星系統、雙行星以及電子繞原子核的運動等。二體問題可以約化為兩個獨立的單體問題，其中一個是平凡的單體問題，另一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由于很多單體問題有精確解，二體問題也可解析求解。不同于二體問題，三體問題或更復雜的多體問題通常沒有精確解。
定義
滿足下述條件的兩個質點的運動問題:①不考慮其他物體的引力； ②它們之間的相互作用力沿兩點的連線，力的大小是兩點之間距離的函數。二體問題可化為一個等價的單體問題。天體力學中的雙星，行星及其衛星、恒星和行星等的運動，物理學中的雙原子分子振動都屬于或近似地屬于二體問題。太陽的質量為太陽系中其他星體質量總和的七百多倍，所以太陽是太陽系的中心天體。每顆行星同太陽近似形成一個二體系統，其他行星對該行星的引力影響僅表現為對它繞太陽運行軌道的微小攝動。因此，天體力學的研究都是以二體問題的解為基礎的。
二體碰撞時間計算
（把直線運動看成是橢圓的退化 用開普勒第三定律，并引入折合質量，即可解決）
T^2=4π^2a^3/GM，把直線看做橢圓的退化，半長軸即為a=距離的1半，碰撞所需的時間為T/2。
歷史發展
二體問題是天體力學中的一個基本問題。J.約翰尼斯·開普勒仔細分析了丹麥天文學家第谷·布拉赫多年的觀測資料，在研究火星繞太陽運動的基礎上總結出描述行星運動的三大定律。I.艾薩克·牛頓隨后提出的萬有引力揭示了產生這些運動現象的原因。從萬有引力和牛頓第二運動定律出發，用數學方法可以嚴格證明開普勒三大定律，于是二體問題得到徹底解決。航天器受到中心天體的吸引力，把這個引力看成質點引力時，航天器圍繞中心的運動問題就是二體問題。由于航天器質量遠比中心體質量小，人們將這種問題稱為限制性二體問題。航天器的運動情況也可近似地用開普勒定律來描述：
①航天器運動始終在一個平面內，這個平面稱為軌道平面，中心體的質心在這個平面內。根據航天器軌道速度大小和方向不同，航天器圍繞中心體質心的軌道可以是圓、橢圓、拋物線或雙曲線。中心體質心位于這些曲線的一個焦點上，這些軌道統稱開普勒軌道。
②航天器與中心體質心的連線在相同的時間里掃過的面積相同。它反映航天器在軌道上各點運動速度之間的比例關系，離中心體越遠航天器速度就越小。
③航天器在橢圓軌道上運行時，運行周期的平方與軌道半長軸的立方成正比。它給出運行一周的時間與軌道大小的關系。
在二體問題中，只要知道兩個天體在初始時刻的位置和速度，就可以計算出兩天體在任意時刻的位置和速度。通過將二體問題約化為兩個獨立的單體問題，可以分別描述兩個粒子的質心運動和相對位移向量運動。質心的位置和加速度由兩個粒子的位置、質量和速度決定，而相對位移向量運動則涉及到粒子間的作用力。這種約化方法使得二體問題的解析求解成為可能。
質心運動和位移向量運動
在二體問題中，可以通過牛頓第二運動定律和第三定律，將兩個粒子的運動方程轉化為描述質心運動和相對位移向量運動的方程。質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出，而質心的加速度為零，意味著質心的速度為常數，這體現了系統的動量守恒。從兩個粒子的初始位置和初始速度，可以確定質心在任意時間的位置。位移向量運動則描述了兩個粒子相對位置的變化，這是通過考慮兩個粒子之間的作用力和約化質量來實現的。一旦求得質心運動和位移向量運動的函數，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式。
角動量守恒與連心力
二體問題中的角動量守恒是一個重要的物理定律。兩個粒子的總角動量是質心角動量和相對角動量的和。在沒有外力矩作用的情況下，總角動量守恒。這意味著，如果作用力是連心力（如萬有引力或靜電力），則兩個粒子的運動軌道必定包含于垂直于總角動量的平面內。這種平面運動的特性是二體問題的一個關鍵特征，它導致了開普勒定律中描述的軌道形狀。
參考資料 >