拋物線（英文名：Parabola），指平面內到一個定點（焦點）和一條定直線（準線）距離相等的點的軌跡，它的開口方向分為上、下、左、右四種。拋物線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標變換下，可以看成二次函數圖像，拋物線可由方程表示，其中是正實數。拋物線具有單一的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點稱為頂點。
拋物線最早由古希臘數學家梅內柯繆斯通過截取直角圓錐曲面得到，后經阿波羅尼斯將三種圓錐曲線統一到同一圓錐截面中，并將直角圓錐曲線命名為齊曲線。意大利科學家伽利略·伽利萊發現拋射體運動軌跡與該曲線特征相符，由此產生“拋物線”的名稱。
拋物線在幾何光學、力學及生活中有重要的應用，生活中用到比較多的是開口向下的拋物線。光學領域中，常見的探照燈應用到了拋物線的原理。
相關定義
軌跡定義
拋物線是一種平面曲線，是由平面上到定點的距離與定直線的距離相等的點組成的圖形。選取平面直角坐標系，使原點在焦點到準線的垂線段的中心點，該垂線段在軸上，則拋物線可由方程確定，其中是正實數。這時，該拋物線的焦點的坐標是，準線方程是，焦點到準線的距離是，該距離反映拋物線的開口寬度。
截面定義
由圓錐表面和平行于錐體母線的平面的交點形成的截面曲線，稱為拋物線。該定義方式為古希臘時期阿波羅尼斯等人研究圓錐曲線的描述。
發展歷程
圓錐曲線的研究歷程
圓錐曲線的研究最開始是為解決三大幾何作圖問題之一——“倍立方問題”而引起的。公元前460年前后，希波克拉底（Hippocrates of Chios）指出倍立方問題可以歸結為求線段與之間的兩個等比中項，這是因為，若設其中比例中項為，則有，可得：，于是有，以及或，如果是已知立方體的邊長，那么便是所求立方體的邊長。根據歐托基奧斯（約公元480）的記載，門奈赫莫斯（約公元前4世紀中葉）曾用兩種方法：(i)找出曲線和的交點；(ii)找出曲線和的交點。找出其兩個段落之間的兩個等比中項，他發現了圓錐曲線，解決了“倍立方問題”問題。
到公元前4世紀末，已有兩本涉及圓錐曲線的著論，它們分別是阿里斯泰奧斯的五卷本《立體軌跡》（Solid Loci）和歐幾里得的四卷本《圓錐曲線論》，這兩本著作已失傳，而阿基米德有關圓錐截圖的研究卻保留了下來，阿基米德在他的《劈錐曲面體與旋轉橢圓體》中證明任一橢圓都可看作一個圓錐的截線，該圓錐不一定是直圓錐，其頂點的選擇有很大的任意性。阿波羅尼斯是第一個根據同一個（直的或斜的）圓錐被各種位置的截面所截來研究圓錐曲線系統理論的人，也是第一個發現雙曲線有兩支的人，他在前人的基礎上把圓錐截線研究得既全面又深入。阿波羅尼斯從一個一般圓錐面（斜的或直的）上用平面截得三種曲線，他稱其為齊曲線（拋物線 parabola）、超曲線（雙曲線的一支）和虧曲線（橢圓 ellipse）；同時在對頂的兩個圓錐面上截得兩個曲線（即兩個超曲線）稱為二相對截線（雙曲線 hyperbola），他們分別就是拋物線、雙曲線的一支、橢圓和雙曲線。
他將其研究著成八冊《圓錐曲線論》，目前完整保存的Ⅰ-Ⅶ卷就有圓錐曲線相關命題387個，如此深奧的內容卻完全是用文字表達的（沒有使用符號和公式），作為綜合幾何最高水平的《圓錐曲線論》是世界數學史上的一座豐碑，他的數學內容、數學思想在人類文化史上占有一定的地位。圓錐曲線自阿波羅尼斯后，他的研究沒有本質的突破，直到兩門數學分支的興起，一個是以勒內·笛卡爾為代表的“解析幾何”，另一個是以帕斯卡賭注、吉拉德·笛沙格為代表的‘‘射影”，這兩門學科的到來，為圓錐曲線提供了新的研究方法，打開了新的研究思路。同時，隨著物理天文學的發現和微積分的創立，圓錐曲線作為一個重要研究對象參與到這些學科當中，為這些學科的研究提供新的思路和方法。
拋物線的發展歷程
拋物線最早是由古希臘數學家梅內柯繆斯通過截取直角圓錐曲面得到的，定義為直角圓錐曲線，后由古希臘數學家阿波羅尼斯將三種圓錐曲線統一到截取一個圓錐上，并將直角圓錐曲線定義為齊曲線。這一時期的幾何學研究奠定了拋物線的理論框架，但其應用仍局限于純數學領域。之后意大利科學家伽利略·伽利萊發現，拋擲物體的運動軌跡恰好符合齊曲線，這就是拋物線名稱的由來。
基本元素與術語
以拋物線標準方程進行說明：
焦點：定點，坐標為。
準線：定直線，直線方程為，焦點到準線的距離為。
范圍：因為中，所有動點的橫坐標永遠大于等于0，且當增大時，也增大，所以該拋物線開口向右，且不斷地向上和右下方延伸。
對稱軸：垂直于準線并通過焦點的線，直線方程為，也稱為拋物線的軸。
頂點：拋物線與其對稱軸的交點叫做頂點，在方程中，當時，，說明坐標原點是拋物線的頂點。
焦距：拋物線的焦點與頂點的距離稱為拋物線的焦距，通常用表示，長度為，即。
離心率矢量：拋物線上的點與焦點的距離和點到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用表示，由拋物線的定義可知，。
焦點弦：經過拋物線焦點的弦稱為焦點弦。
焦半徑公式：連接拋物線上一點與焦點的線段叫做點的焦點半徑，長度用公式表示為。
主要直徑：連接頂點和焦點的直線稱為主要直徑，拋物線唯一主直徑為軸。
通徑（正焦弦）：過拋物線的焦點作垂直于對稱軸的直線與拋物線交于兩點，連接這兩交點的線段，長度為。
法線：在曲線上任一點所在垂直于該點處切線的直線叫做法線。
拋物線方程
直角坐標系中的拋物線方程
一般方程
拋物線的一般方程：
拋物線的參數方程
設，則從知2，即2，是是拋物線的參數方程，設切點為，則于處的切線方程可寫為。
極坐標下的拋物線方程
圓錐曲線的極坐標方程為：，
當時，上述方程表示開口向右的拋物線方程。
相關概念
點與拋物線的關系
點在拋物線的上的充要條件是；
點在拋物線的內部的充要條件是；
點在拋物線的外部的充要條件是。
直線與拋物線的關系
直線與圓錐曲線的位置關系即直線與圓錐曲線有無公共點的問題。對于這個問題，可通過直線與圓錐曲線的方程組成的二元二次方程組的實數解的情況進行研究來探究。若方程消元法后得到一個一元二次方程，根據判別式來討論，若方程組消元后得到一個一元一次方程，則直線與圓錐曲線相交于一個公共點。
相切
二次曲線的切線定義：如果直線與二次曲線有兩個重合的交點或者在上，則稱是的切線，稱與的交點為切點。若是拋物線，有一點
拋物線切線相關性質
拋物線切線相關性質繁多，以下列舉幾條常見命題：
拋物線切線的尺規作圖
過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，
拋物線弦的相關定值
命題一：過拋物線焦點的一條直線和拋物線相交，交點坐標為，，則有，為定值。
命題二：設拋物線上兩動點，滿足(是常數)，則直線恒過定點。
命題三：設拋物線上兩動點，滿足(是常數)，則線段中點的軌跡方程為。
命題四：拋物線的焦點弦對拋物線的頂點所張角被對稱軸分成和兩部分，則。
二次函數與拋物線
形如的函數稱為二次函數，二次函數的圖像是拋物線，其中系數的幾何意義：決定拋物線的開口大小；的符號決定拋物線的開口方向（>0，開口向上，<0，開口向下），為拋物線的對稱軸方程；為拋物線與軸交點的縱坐標（即拋物線的縱截距）。
過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，
拋物線弦定值
命題一：過拋物線焦點的一條直線和拋物線相交，交點坐標為，，則有，為定值。
命題二：設拋物線上兩動點，滿足(是常數)，則直線恒過定點。
命題三：設拋物線上兩動點，滿足(是常數)，則線段中點的軌跡方程為。
命題四：拋物線的焦點弦對拋物線的頂點所張角被對稱軸分成和兩部分，則。
二次函數與拋物線
形如的函數稱為二次函數，二次函數的圖像是拋物線，其中系數的幾何意義：決定拋物線的開口大小；的符號決定拋物線的開口方向（>0，開口向上，<0，開口向下），為拋物線的對稱軸方程；為拋物線與軸交點的縱坐標（即拋物線的縱截距）。
應用范圍
建筑學
拋物線在生活中的應用最經典的莫過于橋梁，趙州橋正是拋物線的設計。1400年間經歷10次水災和多次地震，趙州橋仍能巍然屹立。
光學應用
從拋物線的交點發出的光線照射到拋物線上，經過翻折后的光線都平行于拋物線的軸。手電筒就是利用這個原理設計的。
常見的探照燈也應用到了拋物線的原理，探照燈的反光鏡呈拋物面。拋物面的焦點就在該拋物面，也就是拋物線的軸上，過焦點的任何一條直線經過反射后，都會變得與軸平行。探照燈是拋物線原理的創新應用。
應用拋物線的這個性質，也可以使一束平行于拋物線的軸的光線，經過拋物面的反射集中于它的焦點，人們應用這個原理，設計了一種加熱水和事物的太陽灶，在這種太陽灶上裝有一個旋轉拋物面形的反光鏡，當它的軸與太陽光平行時，太陽光線經過反射后集中于焦點處，這一點的溫度就會很高。
聲音和其他形式的能量也會產生相同的效果。這種反射性質是拋物線的許多實際應用的基礎。
弧形海灣穩定性分析
沙質海岸作為全世界最重要的海岸類型之一，分布廣泛，國內外學者對弧形海岸的形態變化和河彎沖淤做了大量研究，提出多種設計弧形海岸穩定的模型，拋物線模型為其中之一。專家利用拋物線模型和可視化軟件MEPBAY分析弧形海灣的穩定性問題，為海灣利用開發、海岸防護和港口工程提供一定的理論依據。
Hsu和Evans通過對27個處于靜態平衡的海灣和實驗模型海灣的模擬得出的拋物線模型如下：
式中：為海灘上任意一點到極點的極半徑；為上下兩角的距離（即控制線長度）；為單射波峰線和控制線的夾角；為極半徑與波峰線的夾角；為的函數，由27個海灘和實驗室數據經回歸分析所得，表述如下：
參考資料 >