焦點弦也叫焦弦（focal chord），是一條線段，指圓錐曲線的過焦點的任一條弦。拋物線、橢圓、雙曲線屬于圓錐曲線的一種，它們的均有焦點弦。焦點弦是由兩個在同一直線上的焦半徑構成。其長度計算因曲線類型而異：橢圓需區分同支焦點弦，雙曲線涉及同支或兩支情況，拋物線與焦準距直接關聯。
其中，通過圓錐曲線的焦點，且與準線平行的弦是正焦弦（latus rectum），它垂直于通過焦點的軸。焦點弦的通徑（垂直于對稱軸的焦點弦）是同類弦中最短的，端點處切線交于準線。以焦點弦為直徑的圓與準線的位置關系因曲線類別不同呈現相離、相交或相切特性。
基本概念
定義
連接圓錐曲線上任意兩點得到的線段叫做圓錐曲線的弦。若這條弦經過焦點，則稱為焦點弦。
焦點弦是指橢圓或者雙曲線或者拋物線上經過一個焦點的弦.
焦點弦簡述
數學中的弦是指同一條圓錐曲線或同一個圓上兩點連接而成的線段。
焦點弦特點
焦點弦是由兩個在同一條直線上的焦半徑構成的。焦半徑是由一個焦點引出的射線與橢圓或雙曲線相交形成的。而由于橢圓或雙曲線上的點與焦點之間的距離(即焦半徑長)可以用橢圓或雙曲線離心率和該點到對應的準線之間的距離來表示(圓錐曲線第二定義)，因此，焦半徑長可以用該點的橫坐標來表示，與縱坐標無關。這是一個很好的性質。焦點弦長就是這兩個焦半徑長之和。此外，由于焦點弦經過焦點，其方程式可以由其斜率唯一確定，很多問題可以轉化為對其斜率范圍或取值的討論。(注意斜率不存在的情況！即垂直于x軸!)
研究對象
橢圓焦點弦公式
2ab2/(b2+c2sin2α) (α為焦點弦的傾斜角)
2a±e(x1+x2)(焦點在x軸)
2a±e(y1+y2)(焦點在y軸)
雙曲線焦點弦公式
2ab2/lb2-c2sin2αl
拋物線焦點弦公式
x1+x2+p
拋物線焦點弦的其他結論
①弦長公式
②若直線AB的傾斜角為α，則|AB|=2p/sin2α
③y2=2px或y2=-2px時，x1x2=p2/4,y1y2=-p2
x2=2py或x2=-2py時，y1y2=p2/4,x1x2=-p2
性質應用
焦點弦有很多良好的性質，高考中或多或少會出現使用，甚至直接要求證明這些性質的題目。在此列舉了幾個常見的性質以及它們的證明過程。證明中皆以焦點在x軸上的圓錐曲線為例。
研究對象
圓錐曲線方程。圓錐曲線焦點弦的性質及其應用性質。
⑴過橢圓焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，記q=a^2/c-c，是焦準距， e是離心率。
⑵過雙曲線(a>0,b>0)焦點F的直線交雙曲線于A、B兩點，記p=c-a^2/c，是焦準距。若A、B兩點在雙曲線的同一支上，此時稱AB為雙曲線的同支焦點弦。若A、B兩點分別位于雙曲線的左支和右支上，此時稱AB為雙曲線的異支焦點弦。（拋物線的類似性質，本文從略）
證明舉例
（只證性質⑴,性質⑵的證明從略）由對稱性，不妨取F為右焦點。設右準線l與x軸交于點D，過A作AG⊥l于G，過B作BH⊥l于點H，則AG∥FD∥BH；且由橢圓的第二定義知，|AG|= ，|BH|=。令|FE|=m,|ED|=n，則m+n=|FD|=。故由， = 可得：。∴。因此，m+n= ?。∴ ，從而 就是焦準距。證畢。
[說明]①在上述證明過程中出現的“m = n”， “即|FE|=|ED|”，亦即 E為線段FD的中點（如圖1）這是橢圓焦點弦的另一條性質。雙曲線與拋物線也有這一性質。
②如圖1，若設∠AFD= ，并分別過A、F作FD和BH的垂線，則可證：從而得焦點弦長公式：|AB|= = 就是焦準距。在雙曲線與拋物線中也有這樣的公式，如：在雙曲線 (a>0,b>0)中，若焦點弦AB的傾斜角為，則， ；從而焦點弦長 為焦準距，是離心率，且。③如圖1，若分別連接AD和BD，利用說明①的結論，則易證：∠ADF=∠BDF，即x軸平分∠ADB。在雙曲線與拋物線中也有這樣的結論。
例1 （07年全國(Ⅰ)高考（理）題)已知橢圓 的左、右焦點分別為一級方程式錦標賽、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P。
(Ⅰ)設P點的坐標為（x0，y0），證明： ；
(Ⅱ)求四邊形ABCD的面積的最小值。
分析：(Ⅰ)略。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC⊥BD的垂足P在橢圓的內部，因此，（畫草圖）四邊形ABCD的面積S=。
設直線AC的傾斜角為，則由本文性質的說明②可得：|AC|= ；而AC⊥BD，∴|BD|=。從而S=。
由均值不等式可得： ≤。
∴S≥ ，當且僅當 =45°或135°時取等號——問題獲解。
例子
求雙曲線
同支焦點弦的弦長的最小值；
⑵ 求雙曲線 異支焦點弦的弦長的最小值。
解 ⑴由對稱性（如圖2），不妨設同支焦點弦
AB經過右焦點F(c, 0) ，且設 = n，
則由本文性質⑴知： ，即。
而mn≤ , ∴ ≥。
因此 ≥ ，即 ≥。
故|AB|=m+n≥ ，其中當且僅當m=n時取等號；即焦點弦AB垂直于實軸時，同支焦點弦的弦長取到最小值。
⑵設異支焦點弦CD的傾斜角為，則由本文性質的說明②可得：。易知當且僅當 時取|CD|最小值2a。
（注：運用“數形結合”思想，也易從圖2中推出|CD|≥2a）。
本文即在于用圓錐曲線的極線理論對這一性質作進一步的推廣，得出一些更一般的結論（即本文末的定理5和定理6）。
什么是二次曲線的極線
設S：Ax+2Bxy+Cy+2Dx+2Ey+F=0為常態二次曲線，P(x0,y0)為不在S上的點(有心二次曲線的中心也除外，下同)，我們把直線P：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0叫做點P關于S的極線，點P則叫做直線P關于S的極點。
在這樣的定義下，有心圓錐曲線的中心沒有極線，并且
定理1 （配極理論的原則）. 若點P的極線通過點Q，則點Q的極線也通過點P.
定理2 通過一點P而且與一個常態二次曲線相切的直線它的切點在點P的極線上。
定理4 如果橢圓、雙曲線、拋物線的兩條切線的交點在準線上，則過切點的直線必過焦點。
這是因為，焦點的極線是相應準線（定理3），又交點在準線上，準線上的點的極線就必過焦點（定理1），而定理2又告訴我們這條過焦點的極線恰好經過兩切點。
由于在射影平面內，圓的焦點是圓心，準線是無窮遠直線，故定理4又可推廣為：
定理5 如果常態圓錐曲線的兩條切線的交點在準線上，則過切點的直線必過焦點。
（特別：如果圓的兩條切線平行，則切點弦是圓的直徑）。
不言而喻，更一般還有
定理6 (1)點E是常態二次曲線內部一點，但不是有心二次曲線的中心，如果該曲線的兩條切線的交點在點E的極線上，則過切點的直線必過點E.
(2)如果有心二次曲線的兩條切線平行，則過切點的直線必過中心點。
參考資料 >