一元二次方程（quadratic 方程 with one unknown）指的是通過化簡后，僅含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程。形如：，其中為常數。是二次項，是二次項系數；是一次項，是一次項系數；是常數項。
一元二次方程的歷史可以追溯到公元前2250年的古巴比倫。古巴比倫人掌握了與求解一元二次方程相關的代數知識，并將之應用于解決有關矩形面積和邊的問題。相關算法可以追溯到烏爾第三王朝。希臘時代的歐幾里得和丟番圖也研究了二次方程。印度數學家婆羅摩笈多和阿拉伯數學家阿爾·花拉子米給出了二次項系數為1的求根公式。中國古代的著作《九章算術》和《周髕[bìn]算經》也有關于一元二次方程的內容。印度數學家拜斯卡拉給出了正負兩根的求根公式。意大利數學家斐波那契系統性介紹了方程理論，而法國數學家韋達和笛卡爾對一元二次方程進行了補充。一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、圖像法、求根公式法、因式分解法、計算機法。
一元二次方程在數學問題求解中具有重要的應用。例如根據一元二次方程的計算和計算黃金分割比等等，也可以解決生活問題。
發展簡史
通過分析古巴比倫泥板上的代數問題，可以發現，在公元前2250年古巴比倫人就已經掌握了與求解一元二次方程相關的代數學知識，并將之應用于解決有關矩形面積和邊的問題。相關的算法可以追溯到烏爾第三王朝。在發現于卡呼恩（Kahun）的兩份古埃及紙草書上也出現了用試位法求解二次方程的問題。公元前300年前后，活躍于古希臘文化中心亞歷山大的數學家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命題5、命題6以及卷VI命題12、命題13的內容相當于二次方程的幾何解。繼歐幾里得之后，丟番圖（Diophantus）在他的著作《算術》（Arithmetica）中提出了許多二次方程或可歸結為二次方程的問題。這足以說明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式，但仍限于正有理根。不過，丟番圖在求解二次方程時通常只取一個根，如果方程有兩個正根，他會選擇較大的一個。中國古代也很早就有對一元二次方程研究的記載。例如，秦漢的數學著作《九章算術》中，提出了一種“開帶從平方”法求解一元二次方程。同時期的另一部著作《周髀算經》已經給出了一元二次方程的公式化解法。
公元7世紀時，印度數學家婆羅摩笈多（Brahmagupta)給出了二次項系數為1的方程的求根公式，但只給出了正根部分。阿拉伯數學的突出成就首先表現在代數方面。中世紀阿拉伯數學家對世界影響最大的可說是花拉子米（al-Khwārizmī，約公元783-850年）。約公元820年，花拉子密的著作《還原與對消之書》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala，簡稱《代數學》）問世，書中同樣給出了二次項系數為1的方程的求根公式，且只給出正根部分。在該書中，他將“還原（al-jabr）”定義為這樣一種運算，即將方程一側的一個減去的量移到方程的另一側變為加上的量；單詞“wa”是“和”的意思；“al-muqābala”的意思是將方程兩側相等的同類正項消去，此處譯為“對消”。公元1150年，印度數學家拜斯卡拉（Bhaskara Acharya）對一元二次方程方程的一般形式進行研究，同時給出了正負兩個根的求根公式，與現代求根公式是一致的。十三世紀，斐波那契（Fibonacci）在其著作《計算之書》（Liber Abaci）中系統介紹了印度－阿拉伯數碼，二次和三次方程以及不定方程理論。隨著歐洲人在代數領域的深入研究，包括一元二次方程在內的數學知識進一步向前發展。法國數學家韋達（F.Vieta）解釋了一元二次方程根與系數的關系。1637年，笛卡兒（René Descartes，1596-1650）完成了對韋達代數符號的改進并首次應用待定系數法將四次方程分解成兩個二次方程求解。
定義
基本條件
條件一：它是一個等式；
條件二：等式中只含有一個未知數；
條件三：等式中未知數的最高次數為2；
條件四：等式中未知數的二次項系數不能為0。
相關概念
二次函數
一般地，形如(為常數，且)的函數叫做二次函數，其中是自變量。二次函數與軸的交點為一元二次方程的根。若一元二次函數圖像與軸有兩個交點，有兩個相等的實數根，則方程有兩個不同的實數根。若函數圖像與軸只有一個交點，則方程有兩個相等的實數根。若函數圖像與軸沒有交點，則方程沒有實數根。
相關性質
根的性質
一元二次方程（）可以簡化為，根的性質也可簡化為兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之積等于常數項。即，。
圖像性質
關于的一元二次方程（）可以通過二次函數來表示。二次函數可通過配方法化簡成（）2+的形式，，。即（）2+。由表達式可知的對稱軸為，頂點坐標為。
對于二次函數（），
當時，與軸有兩個交點，如上圖1所示。
當時，與軸有一個交點，如上圖2所示。
當時，圖像與軸沒有交點，如上圖3所示。
如果。當時，隨的增大而增大。當時，隨的增大而減小。如上圖4所示。
如果。當時，隨的增大而減小。當時，隨的增大而增大。如上圖5所示。
求根方法
直接開平方法
直接開平方法主要適用于沒有一次項的一元二次方程，例如
當時，方程有兩個不等的實數根，
當時，方程有兩個相等的實數根，
當時，方程無解。
配方法
對不能直接開平方的一元二次方程，在方程兩邊同時加一次項系數一半的平方，通過降次將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，再完全開平方。
例如（系數化為1并移項）
（）2＝（）2（配方，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方）
（）2＝（）2（整理）
（開方）
（整理）
（整理）
∴
當時
方程為
（移項）
（配方，方程兩邊同時加一次項系數一半的平方）
（整理）
（完全開平方）
。
圖像法
關于x的一元二次方程可以通過做出二次函數（）2來解決。一元二次方程（）的根就是它所對應的二次函數函數值為0時，自變量x的值。即二次函數圖像與x軸交點的橫坐標。例如當＝（）2。可知此二次函數圖像的對稱軸為，頂點為（）。當。所以其圖像如下所示，與橫坐標的交點為（-1，0）和（-7，0）。則為方程的根。
求根公式法??
解一個具體的一元二次方程時，把各系數直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法
推導過程
任何一元二次方程都可以寫成（）的形式，通過配方法解此方程。
（移項）
（二次項系數化為一）
（）2＝+（）2（配方）
方程K：（）2＝（整理）
。式子的值有以下三種情況
（1），。由K得，方程有兩個不等的實數根，
（2），。由K可知，方程有兩個相等的實數根，。
（3），。由K可知，（)2<0，因此方程無解。
例如。
，∴（）
根的判別式
一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ來表示。當Δ≥0時，方程的實數根可寫為 的形式
例如。
，∴（）
求根公式法在復數域的推廣
一元二次方程，當時，該方程在實數域無解。但在復數域有解，通過虛數（虛數單位），一元二次方程總有兩個根。
實數根：（）
虛數根：（）
一般來說，三次方程可化為一個一次方程和一個二次方程，例如三次方程
可化為（）（）
，
解得：這樣方程恰好有3個根。
因式分解法
韋達定理
一元二次方程的根是由系數確定的，兩根之和等于它的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于它的常數項除以二次項系數所得的商。
假設一元二次方程的兩個根分別為。
由求根公式可得
（），（）
∴，。
因式分解法解方程
根據韋達定理找出兩根關系，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形狀，再使這兩個一次式分別等于0。從而實現降次，這種方法叫做因式分解法。而這兩個一次方程的解即為原方程的兩個解。
例如根據兩根關系 ，。
∴（）（）＝0
計算機法
用計算機解一元二次方程，程序中用disc代表；p表示；q表示；p+q表示；p-q表示，先計算 disc 的值，以減少以后的重復計算。在計算過程中，若，則輸出方程無實根（This equation hasn't real roots）。若disc≥0，則求出方程兩個實根＝p+q；p-q；再輸出方程兩個根。
衍生概念
一元n次方程
對于一元n次方程為方程的n個根，則它們滿足以下關系：
分式方程
解方程 。
解：去分母即得一個一元二次方程
解得，
經檢驗都是原方程的根。
無理方程
解方程 。
解無理方程常用的方法是將原方程變為有理方程求解。
解: 原方程可變為
兩邊平方可得
整理可得，
解得。
經檢驗 是增根，原方程的根是。
應用
黃金分割比
黃金分割比在數學、美學等領域都有廣泛應用。它可以通過從一個大矩形中裁去一個正方形來得到。這個大矩形的主要特點是，當從中裁去一個正方形后，所剩下的小矩形仍保持著原先大矩形的形狀，也就是長寬比相等。這個長寬比被稱為黃金分割比，通常用希臘字母φ（phi）表示，其值約為0.61803398875。
如上圖所示，假設矩形的長為，寬為1（長寬比為），切去一個正方形后，剩下的小矩形長為1，寬為，大小矩形的長寬比相等，因此有
上述方程可整理為一個一元二次方程，即
求解該方程可得：
即為黃金分割比，滿足該長寬比的矩形也稱為黃金矩形。
實際問題
收費問題： 一城市出租車的收費標準如下表，一人打車去某公司辦事，停車后，打出的電子收費單為“里程11公里，應收 29.1元請付29元”求基本價()
解：由題可得
()
∴（）（）=0
∵
∴
答：出租車的基本價為每千米10元
疾病傳播問題：要舍去不合題意的負數根。例如：有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患上流感。求每輪傳染中平均一個人傳染給幾個人。
設每輪平均一個人傳染x人，
可列方程（）＝121，
（不合題意，舍去）
∴
增長率問題：年前生產1噸藥品的成本是5000元，隨著生產技術的進步，現在生產1噸藥品的成本是3000。求該藥品成本的年平均下降率。設藥品成本的年平均下降率為，則一年后藥品成本為（）元，
兩年后藥品成本為（）2元，
于是有（）2
解的（不合題意，舍去）
參考資料 >
一元二次方程.術語在線.2023-06-25