在復數a+bi中，a稱為復數的實部，b稱為復數的虛部，i稱為虛數單位。當虛部等于零時，這個復數就是實數；當虛部不等于零時，這個復數稱為虛數，虛數的實部a如果等于零，且虛部b不等于零，則稱為純虛數。由于實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這么一個數目解答，給它設定一個符號i。大部分的編程語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或數學Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別后方可使用。在MATLAB，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for循環可以有其他用途。
來源
虛數單位“i”首先為瑞士數學家萊昂哈德·歐拉所創用，到德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯提倡才普遍使用。高斯第一個引進術語“復數”并記作。“虛數”一詞首先由勒內·笛卡爾提出。早在1800年就有人用點來表示，他們可能是柯蒂斯、亞伯拉罕·棣莫弗、歐拉以及范德蒙。把用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞爾，并且由他第一個給出復數的向量運算法則。“i”這個符號來源于法文imkginaire——“虛”的第一個字母，不是來源于英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。復數集C來源于英文complexnumber(復數)一詞的第一個字母。?
定義
引進一個新數i，叫做虛數單位，并規定：
(1)它的平方等于-1，即.
(2)實數可以與它進行四則運算。進行四則運算時，原有的加法、乘法運算率仍然成立。?
虛數單位i定義為二次方程式?的兩個解中的一個解。這方程式又可等價表達為
所以虛數單位同樣可以表示為：
由于實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這么一個數目解答，給它設定一個符號i。很重要的一點是,i是一個自定義的數學構造。
虛數單位有時記為。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數范圍內成立的公式在復數范圍內并不成立。
公式僅對于非負的實數才成立。
為了避免這種錯誤，盡量不要用平方根來表示虛數。例如我們不應使用，而應使用。
性質
基本性質
實數運算可以延伸至虛數與復數。當計算一個表達式時，我們只需要假設i是一個未知數，然后依照i的定義，替代任何?的出現為-1的更高整數冪數也可以替代為-i，1或i，
一般地，有以下的公式：
其中表示被4除的余數。
i與-i
方程?有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛復數。更加確切地，一旦固定了方程的一個解i，那么?i（不等于i）也是一個解，由于這個方程是唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，并固定為i，那么實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然?i和i在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是i和?i之間沒有質量上的區別（?1和+1就不是這樣的）。如果所有的數學書和出版物都把虛數或復數中的+i換成?i，而把?i換成，那么所有的事實和定理都依然是正確的。
i的運算
許多實數的運算都可以推廣到，例如平方根、冪、對數和三角函數。
平方根
以i為底的對數
余弦
正弦
參考資料 >