虛數（imaginary number）是指可以寫作實數和虛數單位乘積的復數，虛數與實數共同組成了復數，復數形式為a+bi，其中a是實部，b是虛部，且。通過引入虛數，復數系統成為了一個封閉的代數結構，虛數的引入解決了負數的平方根問題，并使得任意多項式方程都可以在復數范圍內得到解。例如，在求解某些二次方程時，方程的判別式為負數時，其解就需要用虛數來表達。
17世紀著名數學家、利奧六世勒內·笛卡爾（Descartes，R.）所著《幾何學》（法語：La Géométrie）一書中，命名其為nombre imaginaire（虛構的數），成為了虛數（imaginary number）一詞的由來。
早期數學家試圖通過引入“虛數”來解決數學中的無解問題，虛數的起源可以追溯到16世紀，意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾（Cardano,G）提出虛數的概念，他認為虛數是一個虛構的數，其平方根為復數。
18世紀是虛數發展的關鍵時期。瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）為虛數和復數理論的發展作出了重大貢獻，1777年他引進了虛數單位的符號“i”。雖然復數的概念最初是為了解決數學中的無解問題而引入的，但隨著時間的推移，人們發現虛數在工程、物理學、電學、量子力學等領域有著廣泛的應用和深遠的影響。
虛數定義
在數學里，將偶指數冪是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數，定義為。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以。對于,也可以表示為的次方的形式，其中是常數，為虛數單位，為虛數的幅角，即可表示為。零是唯一的既是實數又是純虛數的數，兩個復數具有相同的實部和相同的虛部時則相等。
歷史發展
17世紀著名數學家笛卡爾（法語：La Géométrie）所著《幾何學》一書中，命名其為nombre imaginaire（虛構的數），成為了虛數（imaginary number）一詞的由來。
1545年，米蘭的吉羅拉莫·卡爾達諾(Cardano,G)發表了文藝復興時期最重要的一部代數著作《偉大的藝術》（《Ars Magna》），書中提出了一種求解一般三次方程的求解公式，他在書上寫下：“算術就是這樣神秘地進行，它的目的正像人們說的又精密又不中用。”
到了 16 世紀末，法國數學家 F. Viete 和他的學生 T. Harriot 可以說是首先“承認”復數的數學家。雖然他們也認為應該把虛數排斥在數系以外，但在碰到解方程一類問題時，可以“開通一點”, 把它當數來對待。
幾乎是在同時，意大利數學家邦別利登上了虛數的舞臺。1572 年，邦別利在解三次方程時也碰到了虛數的問題，但與前人不同的是，他認為，為了使方程存在的這種根得到統一，必須承認這樣的數也為該方程的根，而且類似的數都應該得到承認，讓它們進入數的大家庭，他還創造了符號表示虛數 。
第一個正確認識虛數存在性的數學家當屬法國著名利奧六世、數學家勒內·笛卡爾。雖然他在開始時也認為負數開平方是不可思議的的事情，但后來他認識了虛數的意義與作用，開始公開為虛數辯護，并第一次把方程“虛構的根” 之名稱改為“虛數”，以與“實數”相對應。他也稱類似于這樣的數為“復數”，這兩個名稱一直使用到今天。特別是，他用法文 imaginaires 的第一個字母表示虛數 -1。于是虛單位誕生了。
1743 年，瑞士數學家長城歐拉發現了著名的歐拉公式 ： ，他稱“虛數”的本意就是指它是虛假的；1777 年5月5日 , 歐拉在遞交給圣彼得堡科學院的論文《微分公式》中 , 公開支持 1637 年勒內·笛卡爾用字母表示虛數 -1的思想。
繼歐拉之后，挪威測量學家維塞爾（Caspar Wessel）提出把復數用平面上的點來表示。后來高斯(法語：Carl Friedrich Gau?)又提出了復平面的概念，終于使復數有了立足之地，也為復數的應用開辟了道路。現在，復數一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容
1831年，數學王子高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）又一次清楚地表示復數的幾何形式，并且指出 ：“迄至目前為止，人們對虛數的考慮依然在很大的程度上把虛數歸結為一個有毛病的概念，以致給虛數蒙上一層朦朧而神奇的色彩。”
1843年，威廉·羅文·漢密爾頓（William Rowan Hamilton）將平面中的虛數軸的概念擴展到四元數想象的四維空間，其中三個維與復數域中的虛數相似。
表示方法
點表示法
對于平面上一個給定的直角坐標系，復數可以用坐標為的點來表示。這是常用的表示法，并且我們常把點 作為數 的同義詞，第一個坐標軸(x軸)稱為實軸，第二個坐標軸(y 軸)稱為虛軸，平面本身稱為復平面。
把復數幾何地表示為平面上的點的思想是高斯于1799年在他的學位論文中簡明陳述的，阿爾岡(Argand)于 1806 年也獨立地提出，后來高斯創造了“復數”這個多少有點兒令人遺憾的詞匯，也可以用別的方式對復數進行幾何解釋，如果不用平面上的點，也可以使用某種曲面上的點，伯恩哈德·黎曼(Riemann)就發現使用球面特別方便:從北極把球面上的點投影到南極處的切平面上，則這個切平面上的每一個點有球面上確定的點與之對應，除了北極點本身以外，球面上的每個點都恰好對應于這個切平面上的一個點。這種對應稱為球極平面投影(見圖 3-1)。
向量表示法
由向量的點表示法可得，復數與有序實數對一一對應，因此對于平面上點給定直接坐標系，復數可以用坐標對應的點來表示。在復平面上，從原點到點的向量與點也成一一對應關系（如圖3-2）。
三角表示法
對于復數的代數性質，由于，其中,因此還可以表示為,這種形式稱為復數的三角形式。
指數表示法
利用歐拉公式，又可以得到,稱為復數的指數形式。特別要指出的是,由于輻角的多值性，復數的三角形式或指數形式和輻角之間并非一一對應關系。通常若取,那么復數的模、輻角主值與復數成一一對應。即
復數的各種表示法之間可以相互轉換，以適應討論不同問題時的需要。
虛數單位
“”這個符號來源于法文imkginaire——“虛”的第一個字母，不是來源于英文imaginary number(或imaginary quautity)。虛數單位“”首先為瑞士數學家長城歐拉所創用，到德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯提倡才普遍使用。虛數單位定義為二次方程式中的 的兩個解中的一個解，這個方程式又可等價表示為 ，所以推導可得虛數單位可以表示為 。
基本性質
i的性質
i的冪具有性質:
證明：
共軛復數
兩個實部相等，虛部互為相反數的兩個復數和互為共軛復數，即復數，它的共軛復數為。顯然對于和是關于實軸為對稱的點，如下圖5-1所示：
因此，；。
后一個等式應理解為：對于左邊的任一值，右邊必有一對應值，使等式成立。因為0的相反數仍舊是0，所以當一個復數是實數時，它的共軛復數就是它自己。于是有：當v為實數時，則。反之，如果，則，所以，故為實數。總之，與相等的充分必要條件是為實數。
共軛復數具有以下性質：
1.
證明：
設,
而
所以。其余兩個關系式類似可證明。
2.
證明：
設，則，顯然的共軛復數是，即。
3.
證明：
設，則
即兩個共軛復數的乘積是實數，它等于這兩個相互共軛的復數的模的平方。
4.
這個性質可以改寫成如下常用形式：
;
。
模和幅角
虛數是復數的一種，可以表示為的形式，其中和是實數，是虛數單位，滿足。對于復數，我們可以通過以下公式將其轉換為模長（幅值）和幅角（相角）的形式：
模長：
幅角：
這里的是反正切函數，用于計算角度。模長表示復數在復平面上的長度，而幅角表示復數向量與正實軸的夾角，夾角的方向是逆時針。
模
我們用向量表示復數，其中依次表示沿軸與軸的分量。向量的長度稱為復數的模或絕對值，記為或，即。
關于復數的模，有一下關系：
其中公式(1.2)又稱為三角不等式，其幾何意義是三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
幅角
設為非零復數，我們將實軸正向到所表示的向量之間的夾角稱為復數的幅角，記為(見圖 1.1)。
顯然復數的幅角,且任一非零復數有無窮多個幅角，以 表示其中的一個特定值，并稱滿足條件(1.3)的一個為主值(或復數的主幅角)，習慣上仍記為。于是(1.4)
如圖 1.4、圖1.5所示，復數的主幅角與反正切的主值有如下關系:
。
歐拉公式
虛數可以用歐拉公式指出，對于任何實數x，有：，其中是自然對數的底數，是虛數單位，和分別是三角函數余弦和正弦；當時，歐拉公式可重寫為或，后者也被稱為歐拉恒等式。這個公式說明了復數的三角形式和虛指數式之間的關系。
在復數域中，指數函數和三角函數可以通過以下簡單的等式聯系起來。
其中是自然對數的底，是-1的平方根。
由該公式可以推出：
這兩個式子也稱為歐拉公式。
此外，令，可得，這個公式被稱為歐拉恒等式。
同時，歐拉公式充分顯示了虛數的旋轉特征，指數函數能夠使虛數單位產生連續的旋轉變換，即歐拉公式所表現出的特征。在復平面上（如圖5），當單位實數1乘以虛數單位，則1從實軸正弦至虛軸，但模長不變。若再用作用一次，則再正弦至實軸的-1，模長仍不變，若再次作用以，則旋轉至虛軸，如此旋轉可以周期不矣。可見虛數單位的作用是以為單位的正向旋轉變換。
基本運算
復數的加法
復數加法指復數和的運算，兩個復數相加，實部是原來兩個復數實部的和，虛部是原來兩個虛部的和，即：
。
復數可定義為一有序實數對可解釋為復平面中的點，習慣上用z表示復數,因而,兩復數和的和定義如下：
。
交換律證明
如果和,則由復數的加法可得：
故得證。
結合律證明
如果、和,則由復數的加法可得：
故得證。
復數的減法
復數減法是復數加法的逆運算，兩個復數相減將它們的實部相減作為差的實部，虛數系數相減作為差的虛部系數,即：
。
復數的乘法
復數乘法是復數的基本運算之一，指已知兩復數求它們的積的運算。乘法法則指兩個代數形式的復數相乘，可以按照多項式乘法法則進行，并將結果中的i2替換成-1，即：
復數的除法
復數的除法指復數乘法的逆運算,即已知兩復數的積與其中一個非零復數,求另一個復數的運算.其運算法則是:
復數的乘方
復數的乘方(功率 of complex numbers)復數的基本運算之一。指底為復數,指數為整數的冪運算。對任一非零復數,它的乘方有以下三種情況：
特別的，當r=1時，則得到著名的亞伯拉罕·棣莫弗（De Moivre）公式：
復數乘方運算的法則
復數的指數函數
指數函數 可以通過冪級數為每個復數定義其收斂半徑無限大。指數函數在1 處的值為歐拉數.如果z是實數，則有解析延拓允許將這個等式擴展到z的每個復數值，從而將以e為底的復指數定義為。。
復數的平方根
的平方根是，和，其中是正負號函數。這可以通過平方看出 獲得。其中，稱為的模，平方根符號表示實部非負的平方根，稱為主平方根；還有。
相關應用
電路分析
在電路分析中，引入電阻、電容、電感與頻率有關的虛部可以方便地將電壓、電流的關系用簡單的線性方程表示并求解。借用了虛數，將電感、電容中的電抗成分計成歐姆單位；將電流和電壓轉換成負數，使用歐姆定律、戴維南定理。
如圖 7.1(a)所示,在關聯參考方向下,電阻R中的電流與電阻兩端電壓的關系為
若
則
由上式可以得到電阻元件在正弦信號作用下的特性：在關聯參考方向下, 與是同頻率、同相位的一對正弦變量,相量運算關系為或,或也可用有效值表示為。所以電阻的復數模型為,如圖 7.1(b)所示。
電容組件的復數模型
如圖 7.2(a)中電容電流與電容兩端電壓 在關聯參考方下關系應滿足
若
則
式(7-1)述了電容的正弦特性。在關聯參考方向下,與為同頻率的正弦變量;在相位關系上,超前。其幅度間滿足(或)的關系,圖 7.3畫出了和的波形關系。
表達電容正弦特性運算式(7-1)中的復數部分,即。由此可得
可見,電容元件的復數模型為，如圖 7.2(b)所。形式為。
式（7-2）稱為電容元件的復數歐姆定律它表明了正弦電路中電容元件的電壓相量與電流相量的正比關系。比例系數稱為復數電容抗,簡稱復容抗記作當的單位為,的單位為時,的單位為 。復數容抗的模值稱為容抗。容抗的大小與成比關系。當時相當于直流信號，則容抗為,電容呈現開路狀態，也就是電容不能通過直流電流。當時，電容相當于一條短路線。
電感組件的復數模型
在圖7.4所示的電感元件中，在關聯參考方向下，電感中電流與電感兩端電的關系為。
在正弦情況下,若
則
(7-4)
式(7-4)的復數關系為
由此可得出電感元件的復數模型為,如圖7.4(b)所示式(7-5)稱為電感的復數歐姆定律，其中稱為復數電感抗,簡稱復數感抗,記為在以 為單位,以為單位時，復數感抗也是以為單位。復數感抗的模值為，稱為感抗，而幅角稱為感抗角，在關聯參考方向下，電感電壓超前電感中電流。感抗和頻率成正比。當,也就是直流狀態時,感抗為零,相當于電感短路。當時,等效電感開路。
交流電中的復數應用
我們日常用電的電源，有交流和直流兩種。交流電是由線圈在磁場力勻速轉動切割磁力線而產生的。電學告訴我們交流電的電流和電壓都是隨時間t的變化而變化著的，而它們的變化規律也是t的周期函數：
這里，和是電壓和電流變化時所取的最大值， 是頻率(物理意義是單位時周內線圈轉動的角度) ，是初相(表示線圈在時和磁力線相交的角度)。跟引進復位移相類似，我們也引進復電壓和復電流:
和都是向量，也都是復數。 這兩個復數不是電壓和電流的實際的數值(兩個復數的虛數部分的系數才是它的真正的值)，而它的模數和幅角完全確定了電壓和電流的大小和相位，因而完全確定了電壓和電流的變化規律。
信號分析
信號的傅里葉變換后的虛數部分可以理解為所有奇函數（正弦函數）的成分，實部就代表所有的偶函數（余弦函數）的成分。將任意函數的傅里葉變換之后，按偶函數成分和奇函數成分分成兩個部分。并且，利用傅里葉變換可以將實信號表示成一系列周期函數的和。這些周期函數通常用形式如下的復函數的實部表示：。其中ω對應角頻率，復數包含了幅度和相位的信息。
歐拉公式
歐拉公式指出，對于任何實數y，
因此，函數方程意味著，如果x和y是實數，則有
這是指數函數分解為實部和虛部。
歐拉公式在高等數學中具有廣泛的應用，如高階導數、積分計算、高階線性常系數齊次微分方程的通解、傅里葉級數等，如下列舉在傅里葉級數中歐拉公式的使用。
若函數以為周期，在上連續或至多有有限個第一類間斷點，且在至多有有限個單調區間，則其傅里葉級數為。其中傅里葉系數計算公式為;
這是傅里葉級數的實數形式，但在某些場合，復數形式的傅里葉級數更好用些，這就需要利用歐拉公式來進行轉換了，因為;
所以有;
在式(7-6)中若以代替則有;
記,則可得到函數的傅里葉級數有如下的復數形式
其中系數計算公式為。
量子力學
量子力學的核心概念之一是波函數，它是一個復數函數，它的模方表示粒子出現在某個位置的概率。復數域是量子力學數學公式所固有的，其中復希爾伯特空間為這樣一種方便且可能是最標準的公式提供了背景。量子力學的原始基礎公式——薛定諤方程（以復數形式描述了粒子的波動行為）和海森伯格矩陣力學——使用了復數。量子力學波函數由曲率的旋轉與運動形成，是雙４元數復空間實坐標與復坐標的函數。復數可以在復數球上定義。以二維復平面為例，見圖。
圖中復平面：
（1）
（2）
（3）
復數 中，當是北極奇點；無定義。可以認為此時映射到復球外，成為實空間中的幾何點。
而對應于微觀客體，曲率半徑（曲率）的演變是：，是質點，正好與實空間中的幾何點對應。復空間的曲率模型也演變成了實空間的質點模型。在復空間，當０＜ｒ≦ｒ０，ｋ０ ≦ｋ ＜∞時，對應微觀客體０＜Ｒ ≦ Ｒ０，Ｋ０ ≦ｋ ＜∞，微觀客體呈現為物質波；而物質波映射到實空間將呈現點粒子的概率分布。雙四維復時空采用的是“非點粒子”模型，曲率ｋ是呈現微觀客體自身空間結構特征的基本要素，并可由此生成物質波。而原有的實時空、相空間采用的是“質點”模型；兩個空間通過，微觀客體的曲率Ｋ映射到四維實空間中就成為“質點”的動量Ｐ。動量ｐ是質點的運動屬性，波函數純粹是數學函數，相空間只是量子力學數學方法的新應用。本文的雙四維復時空與原有的實時空不同，反映了物質波與概率波的本質區別。復數球內外映射的物理機制與意義還可理解為：從四維復時空非點模型映射到４維實時空，微觀客體自身的四維Ｋ空間，通過曲率Ｋ→∞，緊致化為零維，成為四維實時空中的點粒子。微觀客體自身的波動運動，也變成了微觀客體的點粒子運動。
應用數學
在系統分析中，系統常常通過拉普拉斯變換從時域變換到頻域，因此可以在復平面上分析系統的極點和零點。相對論中，將時間變量視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量 (Metric) 方程。碎形中，如曼德布羅集和朱利亞集 (Julia set) 是建基于復平面上的點。
參考資料 >