波函數是量子力學中描寫微觀系統狀態的函數。在經典力學中，用質點的位置和動量（或速度）來描寫宏觀質點的狀態，這是質點狀態的經典描述方式，它突出了質點的粒子性。由于微觀粒子具有波粒二象性，粒子的位置和動量不能同時有確定值（見測不準關系），因而質點狀態的經典描述方式不適用于對微觀粒子狀態的描述，物質波于宏觀尺度下表現為對幾率波函數的期望值，不確定性失效可忽略不計。
歷史發展
起源
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛定諤等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為海森伯格和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。后來，埃爾溫·薛定諤證明這兩種方法完全等價。
路易·德布羅意于1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程。薛定諤參考哈密頓先前關于牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向于幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向于明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向于明確的運動，但他并沒有給出一個具體方程來描述這波動行為，而埃爾溫·薛定諤給出了這方程。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定諤方程。他又用自己設計的方程來計算氫原子的譜線，得到的答案與用玻爾模型計算出的答案相同。他將這波動方程與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表于物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平臺。
埃爾溫·薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，埃爾溫·薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，馬克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或概率方法，和它所伴隨的非連續性波函數坍縮，如同阿爾伯特·愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最后一年，他寫給玻恩的一封信內，埃爾溫·薛定諤清楚地表明了這意見。
1927年，道格拉斯·哈特里（Douglas Hartree）與弗拉基米爾·福克（Vladimir Fock）在對于多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，后來福克將之加以改善，能夠符合泡利不相容原理的要求。
薛定諤方程不具有亨德里克·洛倫茲不變性，無法準確給出符合相對論的結果。埃爾溫·薛定諤試著用相對論的能量動量關系式，來尋找一個相對論性方程，并且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程給出的精細結構不符合阿諾德·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負概率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。
1926年，奧斯卡·克萊因（Oskar Klein）和沃爾特·戈爾登（Walter Gordon）將電磁相對作用納入考量，獨立地給出埃爾溫·薛定諤先前推導出的相對論性部分，并且證明其具有亨德里克·洛倫茲不變性。這方程后來稱為克萊因-戈爾登方程。
1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程，適用于電子等等自旋為1/2的粒子。這方程的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。
研究過程
在量子力學中，為了定量地描述微觀粒子的狀態，量子力學中引入了波函數，并用Ψ表示。一般來講，波函數是空間和時間的函數，并且是復函數，即。將阿爾伯特·愛因斯坦的“鬼場”和光子存在的概率之間的關系加以推廣，馬克斯·玻恩假定就是粒子的概率密度，即在時刻t，在點附近單位體積內發現粒子的概率。波函數Ψ的絕對值的平方因此就稱為概率幅。
電子在屏上各個位置出現的概率密度并不是常數：有些地方出現的概率大，即出現干涉工程圖中的“亮條紋”；而有些地方出現的概率卻可以為零，沒有電子到達，顯示“暗條紋”。
由此可見，在電子雙縫干涉實驗中觀察到的，是大量事件所顯示出來的一種概率分布，這正是玻恩對波函數物理意義的解釋，即波函數模的平方對應于微觀粒子在某處出現的概率密度（probability 密度）：
即是說，微觀粒子在各處出現的概率密度才具有明顯的物理意義。
據此可以認為波函數所代表的是一種概率的波動。這雖然是人們對物質波所能做出的一種理解，但是波函數概念的形成正是量子力學完全擺脫經典觀念、走向成熟的標志；波函數和概率密度，是構成量子力學理論的最基本的概念。
概率幅滿足于迭加原理，即：。
波函數是坐標和時間t的復函數。ψ(r,t)的絕對值二次方乘上r 處的體積元與粒子在這個體積元中出現的幾率成比例。
， с是比例常數。
一個微觀系統的波函數，滿足薛定諤方程。處于具體條件下的微觀系統的波函數，可由相應的薛定諤方程解出。
由|；常量說明自由粒子在空間各點出現的幾率相同。
把波函數的絕對值二次方解釋為與粒子在單位體積內出現的幾率成比例是M.馬克斯·玻恩在E.薛定諤建立波動力學后提出的，被稱為是波函數的統計詮釋。波函數所表示的波也常被稱為幾率波。
由于粒子肯定存在于空間中，因此，將波函數對整個空間積分，就得出粒子在空間各點出現幾率之和，結果應等于1。
可以用波函數代替作為波函數，那么波函數波函數就滿足如右圖所示條件。
這個條件稱為波函數的歸一化條件，滿足這個條件的波函數稱為歸一化波函數。
數學表達
[1]量子力學假設一：對于一個微觀體系，他的任何一個狀態都可以用一個坐標和時間的連續、單值、平方可積的函數Ψ來描述。Ψ是體系的狀態函數，它是所有粒子的坐標函數，也是時間函數。
為時刻t及在體積元dτ內出現的概率。Ψ是歸一化的：式中是對坐標的全部變化區域積分。（注：（Ψ）指Ψ的共厄復數）
[2]量子力學假設二：體系的任何一個可觀測力學量A都可與一個線性算符對應，算符按以下規律構成：
（1）坐標q和時間t對應的算符為用q和t來相乘。
（2）與q相關聯的動量p的算符(注：d指偏微分，以后不特別說明都指偏微分)
（3）對任一力學量{A}先用經典方法寫成q,p,t的函數則對應的算符為：
則：能量算符為：（其中△為皮埃爾-西蒙·拉普拉斯算符）
（直角坐標）
（球坐標）
[3]量子力學假設三：若某一力學量A的算符{A}作用于某一狀態函數ψ后，等于一常數a乘以ψ，即則稱力學量A對ψ描述的狀態有確定的數值a。a稱的本征值，ψ稱的本征波函數，方程稱的本征方程。
顯然，對能量來說，即為定態的薛定鄂方程。含時的薛定鄂方程為：
[4]量子力學假設四：若為某一微觀體系的可能狀態，則他們的線性組合∑Cψ也是該體系的可能狀態，稱ψ的這一性質為疊加原理。
（1）有本征值力學量的平均值：設ψ對應本征值為a，體系處于狀態ψ，若ψ已歸一化則：
（2）無本征值力學量的平均值：
則定態中所有的力學量平均值都不隨時間變化。
如圖：為S亞層的軌道3s1電子經過10萬次影象合成的波函數圖象。
概率詮釋
波函數是概率波。其模的平方代表粒子在該處出現的概率密度。
既然是概率波，那么它當然具有歸一性。即在全空間的積分。
然而大多數情況下由薛定諤方程求出的波函數并不歸一，要在前面乘上一個系數N，即把它帶入歸一化條件，解出N。至此，得到的才是歸一化之后的波函數。注意N并不唯一。波函數具有相干性，具體地說，兩個波函數疊加，概率并非變成倍，而是在有的地方變成倍，有的地方變成，具體取決于兩個波函數的相位差。聯想一下光學中的楊氏雙縫實驗，不難理解這個問題。
重要概念
力學量
在量子力學中，可觀測的力學量A以算符的形式出現，代表對波函數的一種運算。
例如，在坐標表象下，動量算符對應的A稱為力學量的本征值，ψ稱為力學量的本征態。如果測量位于的本征態ψ上的力學量A，那么它的值是唯一確定的。
定態問題
在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符不是時間的函數的情況。這時，可以分解成一個只與空間有關的函數和一個只與時間有關的函數乘積，即把它帶入薛定諤方程就會得到。
參考資料 >