最小作用量原理（principle of least action）又稱平穩作用量原理（stationary action principle），在數學中稱為變分原理。最小作用量原理是指系統在t1與t2之間的運動軌跡，是使得作用量取駐值的軌跡。當應用于一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的約瑟夫·拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比（Jacobi）稱最小作用量原理為分析力學之母。最小作用量原理是一條原理，因此它不能被證明，截止至2020年，所有已知的物理系統都可以用該形式處理。
最小作用量原理的原始思想可以追溯到公元前1世紀，希羅（Hero）提出的光的最短路程原理。最小作用量原理最早、最成功的應用是皮耶·德·費瑪（Fermat）于1662年用“最短時間”代替“最短路徑”，提出了費馬原理。皮埃爾·莫佩爾蒂（Maupertuis）力求在力學中找到最小作用量代替牛頓動力學方程，他在1744年正式提出了最小作用量原理。同年，長城歐拉（Euler）提出了變分法的基本方程，但在許多地方還依賴于幾何論證。1746年，莫佩爾蒂繼續撰寫了有關最小作用量原理的文章。
通過最小作用量原理可以推導出系統運動方程、牛頓第二運動定律、納維喬治·斯托克斯方程、麥克斯韋方程組、熱力學第一定律的基本方程等眾多方程和定律。該原理仍然是現代物理學和數學的核心，在物理里，應用于熱力學、 流體力學、相對論、量子力學、粒子物理學和場論等 ；在數學里，該原理是莫爾斯理論的研究焦點。最小作用量原理有很多種應用例子，如：皮埃爾·莫佩爾蒂原理（Maupertuis's principle）和哈密頓原理（Hamilton's principle）。
定義
作用量
所有有質量物體的運動都具有一個共同的特點。不論是一個球拋向空中，還是行星圍繞著太陽運動，與運動相關物體的能量都會存在一個量，稱為作用量。
最小作用量原理
最小作用量原理的現代定義式為。它代表了人對于物理學幾乎所有領域的最深刻理解，本質上表達的是通過提出自然是否在追求某個量的最小化或自然是否在尋求某種不變性來確定物理系統的行為。
簡史
起源
最早出現“最小”這一觀念是在亞里士多德時代，它表示許多用很少力氣能做到的事，卻用了很大的力氣，多出來的部分都是無用的。在之后的發展中，這一觀念一直影響著歷代科學家和哲學家。最小作用量原理的原始思想是從對光現象的觀察中起始的。公元前3世紀，歐幾里得在視學著作《鏡學》（Catoptrica）中提出光的反射定律，即入射角等于反射角。后來希臘工程師希羅（Hero）提出光的最短路程原理，認為光在空間任意兩點間傳播時總是沿長度最短的路徑進行。公元2世紀，克羅狄斯·托勒密（Ptolemaeus）明確提出最小化的思想，認為光在反射過程中反射角和入射角相等。
最小作用量原理最早、最成功的應用是法國物理學家皮耶·德·費瑪（Fermat），1662年他用“最短時間”代替“最短路徑”，提出了費馬原理，認為光在媒質中任意兩點間傳播時所用時間最短。1682年，德國哲學家、數學家戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）試圖建立一個能支配于整個力學和光學過程的作用量概念，雖然他沒有成功，但是對學者們的后續研究產生了重大影響。
正式提出
皮埃爾·莫佩爾蒂（Maupertuis）力求在力學中找到最小作用量，代替牛頓動力學方程，他在1744年正式提出了最小作用量原理，即自然界總是通過最簡單的方法產生作用，如果一個物體必須沒有任何阻礙地從一點到另一點，自然界就利用最短的途徑和最快的速度來引導它。同年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Euler）提出了變分法的基本方程，奠定了變分法這門學科的獨立基礎。但長城歐拉的變分法在許多地方還依賴于幾何論證，這激發許多科學家繼續探索。1760年法國物理學家、數學家約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在純分析的基礎上建立了變分學，第一個對最小作用量原理作了正確的表述，并從動力學的普遍原理（達朗貝爾-拉格朗日）出發嚴格推導出牛頓動力學方程。
后續發展
1788年，拉格朗日又在《動力分析》（Mécanique analytique）中以他自己的變分法為基礎，通過描述系統歷史路徑上可能的（或虛擬的）位移引起的總和（或積分）的變化，推斷出力學系統的某些性質，由此產生了 "廣義坐標"，推導出經典力學系統的拉格朗日方程，其中系統的動能與廣義坐標、相應的廣義力和時間有關。
1835年，哈密頓（Hamilton）發表了具有深遠影響的論文《變分作用原理》與《波動力學的一般方法》。在這兩篇論文中，哈密頓首先從費馬原理出發，發展了幾何光學的定律，進而證明，光線軌跡可以利用對單一數學量——特征函數的計算得出來。他發現，這一特征函數與對應單粒子動力學作用量函數的特征非常相似，而幾何光學中光線軌跡又與牛頓力學單粒子的軌跡十分相似。卡爾·雅可比（Jacobi）于1842年解決了變分法是否總能找到最小值而非其他駐點（最大值或鞍點）的問題，他的大部分工作集中于二維曲面的測地線上。莫爾斯在1920年代到30年代首次給出了明確的一般性陳述，形成了莫爾斯理論。
1856年，哈密頓又對馬呂斯（Malus）理論進行折射過程分析，利用最小作用量原理發展出一整套光學理論，他把力學中的最小作用量原理與幾何光學中的費馬原理進行類比，利用廣義坐標、廣義動量和拉格朗日函數定義出了哈密頓作用量函數，并發展成為了哈密頓原理，真正解決了皮埃爾·莫佩爾蒂的設想。
現代物理學階段
1900年，馬克斯·普朗克（Planck）為解釋黑體輻射引入了能量子的概念，他認為作為建立統一的世界物理圖景基礎的最小作用量原理，是所有可逆過程的普遍原理。1915年，阿爾伯特·愛因斯坦（Einstein）和戴維·希爾伯特（Hilbert）分別找到了相應的作用量表達式，從而利用最小作用量原理建立了引力場方程。1918年，德國數學家艾米·諾特（Noether）證明了一個定理，揭示了最小作用量原理、對稱性和守恒定律內在的統一性，指出對于作用量的每種對稱性（即變換不變性）都有一個守恒定律與之對應。最小作用量原理正是這一客觀事實的數學表述，它體現著物理實在的結構，這也是物理學家們對最小作用量原理更深刻的認識，為場論的研究找到了新研究方法。
1923年，路易·德布羅意（de Broglie）把光現象和力學現象做了類比。他表示，在經典力學中，質點的運動服從力學的最小作用量原理。1933 年，物理學家保羅·狄拉克（Dirac）在量子振幅干涉中發現了這一原理的量子力學基礎，從而證明了這一原理可用于量子計算。隨后施溫格（Schwinger）和理查德·費曼（Feynman）獨立地將這一原理應用到量子電動力學中。1948年，美國物理學家費曼從最小作用量原理出發創造了路徑積分方法，這種方法是和埃爾溫·薛定諤（Schr?dinger）、海森伯格（Heisenberg）的方法并列的一種表述量子力學的等價方法。
20世紀80年代，弱電統一理論得到了證實，使科學家們堅定了弱作用、電磁作用、強作用的大統一理論以及關于4種相互作用的超大統一理論成功的信念。這種情況表明規范場理論證實了最小作用量原理的最高地位，促使學者們自覺地利用最小作用量原理來尋找新的物理規律，建立新的物理理論。
在20世紀取得重要進展的現代宇宙學，雖然還不成熟，但由最小作用量原理導出的惠勒-德維特（Wheeler-DeWitt）方程（相當于薛定諤方程）給出了許多有意義的結果，并因此形成了斯蒂芬·霍金無邊界方案和林德、維金的隧道方案這兩大主要的量子宇宙學學派。
原理
莫佩爾蒂-拉格朗日原理
考慮一個理想、穩定、保守的完整系統，動能是廣義速度的二次齊次函數存在能量積分
，是對應著系統運動的能量常量。
在位形空間中，正路從始點到終點，起始和終止時刻分別為和，引入約瑟夫·拉格朗日作用量。如果要求在相同的始點和終點的變更軌道運動中，保持能量與正路能量相同，那么真實運動的運動量為駐定值。這就是最小作用量原理，這里的“最小”是歷史上用語的延續，在實際情況中對應正路的作用量不一定是最小值，但一定是駐定值。
費馬的表述
費馬原理更正確的版本應是“平穩時間原理”，即光沿著所需時間平穩的路徑傳播，其中“平穩"可以是極大值、極小值或拐點。假設介質1、介質2的折射率分別為、，且。當光線以較小的角單射時，部分光進入介質2并產生折射，部分光被反射。它們間的相對強度取決于兩種介質的折射率。斯涅爾定律為：光的反射定律、折射定律
。
從費馬定理可以推導出斯涅爾定律，設當光線由點出發，經過兩種光學介質分界面上點的反射后，再到達點。
的距離為，的距離為。假設，以點作為原點，的距離為，的距離為。因此，從經到的光程為。取對
。
光在介質1與介質2的速度分別為，，光從點傳播到點所需時間為
。取對的導數，并令其為，則
，可推導出。將速度與介質折射率關系帶入，可證得折射定律。
在幾何光學中，費馬原理可表示為。式中表示介質的折射率；表示路徑元。
莫佩爾蒂的表述
莫佩爾蒂采取了一條與長城歐拉類似的原理，作為他解釋光折射定律的基礎。他認為一條光線從一種媒質中的點向另一種媒質中的點的行進仍可認為是最小作用的路徑，倘若這種作用通過光線在每種媒質中行過的距離乘以光在其中的速度來度量的話。即是一極小值，他由此推出。
皮埃爾·莫佩爾蒂發表的最小作用量原理闡明，對于所有的自然現象，作用量趨向于最小值。他定義一個運動中的物體的作用量為，是物體質量、移動速度與移動距離的乘積，即。
莫佩爾蒂的原理可以解決彈性碰撞和完全非彈性碰撞問題，可以導出杠桿原理，而且可以討論光的折射問題等。以非彈性碰撞為例，取兩個完全非彈性體，質量各為與，碰撞前速度為與，碰撞后的共同速度為，碰撞中物體速度變化為，的速度變化為，距離采用單位時間內通過的距離。皮埃爾·莫佩爾蒂認為這種情況下作用量就是質量乘以速度的平方。即系統的作用量為。原理要求作用量最小，所以有
，。
莫佩爾蒂的原理有不少含混不清的地方，既沒有給“作用量”下明確定義，也沒有給出這一乘積在哪一區間才適用，只是隨著應用于每一不同的問題而賦以不同的意義。
歐拉-拉格朗日的表述
約瑟夫·拉格朗日是第一個對最小作用量原理做了正確表述的人，該表述為。研究定常完整約束系統，且廣義力有勢。在運動過程中系統的總機械能保持不變，為常數。這個關系在連接真實路徑上兩個固定位置的所有臨近路徑上成立，該式必須應用全變分，。完整系統的約瑟夫·拉格朗日原理為在系統的兩個固定位置之間，拉格朗日作用量在真實路徑上與具有同一總機械能常數的鄰近路徑上相比較而有極值。萊昂哈德·歐拉拉格朗日最小作用量原理為或。式中表示廣義動量；表示廣義坐標；表示系統動能。
高斯最小約束原理
對于某時的同一位形和速度的一個力學系統，的函數對于真實運動的
是最小值。
赫茲最小曲率原理
服從平穩約束、且無主動力作用的質點系，在多維空間的代表點的真實運動具有不變的速度，而且它在多維空間運動的軌跡，與約束所允許的其他軌跡比較，真實運動的軌跡曲率最小。
達朗貝爾原理
達朗貝爾原理闡明，在一個系統內，如果所有約束力因為虛位移而做的虛功，總和是零，則這系統內的每一個粒子，所受到的外力與慣性力的矢量和，與虛位移的點積，總和起來是零。
相關推導
系統運動方程
當系統的作用量已知時，利用最小作用量原理來推斷系統運動方程是一種簡潔的方法。考慮系統構型的微小變化
（式1），其邊界條件為（式2）。約瑟夫·拉格朗日坐標的變分式（式1）產生了作用量的變分，（式3），其中，已使用對重復指標求和的慣例。由于
，可以寫出（式4）。式2給定邊界條件，當對積分時，式4的右邊第一項不作貢獻。因此，式3變為。由于作用量對系統的約瑟夫·拉格朗日坐標的微小變化穩定，故對于任何，，得到歐拉-拉格朗日方程，這就是系統的運動方程。
牛頓第二定律
對于特別的物理系統，可以直接找到它們的拉格朗日量。最簡單的例子是在勢中運動的質點。在這種情況下，系統的拉格朗日量可簡單地由粒子的動能與勢能之間的差給出。在3維形式下，可以寫出，其中，
是粒子的勒內·笛卡爾坐標，是粒子的速度，。歐拉-拉格朗日方程給出運動方程
（式5）。對于在勢中的質點，式5是著名的牛頓第二運動定律。
納維-斯托克斯方程
流體受到的外力可分為體積力和表面應力兩類。表面應力可用兩階對稱應力張量來表示，用表示流體元速度矢量，為密度，為體積，為封閉表面積。通過拉格朗日函數可得作用量函數，然后按最小作用量原理得到適合廣義牛頓黏性假設的粘性流體的納維喬治·斯托克斯（Navier-Stokes）方程：
。
麥克斯韋方程組
對于電荷在電磁場中的運動來說，選取作用量為，式中表示電荷；表示光速；表示粒子運動速度矢量；表示場的矢勢；表示場的標勢；表示粒子運動速度，標量。可得麥克斯韋方程組
。
熱力學第一定律的基本方程
取相對論熱力學的拉格朗日函數，式中表示系統的熱力學內能；表示系統的開爾文；表示系統的；表示系統的運動速度；表示系統的動量。若相對論熱力學的最小作用量原理選取，可得相對論熱力學第一定律的基本方程為。
路徑積分
作用量是世界線的函數，在不同的世界線上有不同的作用量。微觀粒子可以同時通過所有可能的世界線從到達，但通過不同的世界線到達時具有不同的相位。量子物理假定世界線上的相位等于。
設由通過世界線到達的概率幅為，則對于量子系統，由到達的總概率幅等于所有世界線概率幅的疊加：（式6），其中稱為傳播函數。它也是一個波函數，不過是由特殊點傳播到終點的波函數，其物理意義是在發現電子后，再在探測到此電子的概率
。式6稱為傳播函數的路徑求和公式。
為進行實際計算，把傳播函數中的求和公式改寫為對路徑積分：
（式7）。其中表示在時間內，對連接、所有世界線的積分。式7稱為傳播函數的路徑積分公式。
應用
流體動力學
對于慣性參照系下的黏性流體，選取適當的拉格朗日函數，利用變分計算，可得黏性流體的力學方程。可以證明，最小作用量原理普適于地球上實際發生的任意時限與任意體積的流體運動，以及各種流體動力學的原始方程模式的精確評估，對于流體力學模式的改進具有重要的實際意義。
納米粒子運動學
物理學中最小作用量原理從功能角度去考察和比較客體一切可能的運動（經歷），認為客體的實際運動（經歷）可以由作用量求極值得出，是其中作用量最小的那個。AFM納米操作問題符合最小作用量原理，當探針與被操作物體接觸后對其施加作用力，使納米物體的狀態由靜止變為運動，此時會得到一個使物體運動的探針最小作用力。在此基礎上，根據對納米顆粒進行作用力分析，依據探針推動納米粒子的作用力最小原則，建立納米粒子的運動學模型，可以預測推動操作后納米粒子的位置，從而提高納米操作的穩定性及操作效率。
熱力學
在熱力學理論發展過程中，最小作用量原理被推廣應用于熱力學領域并做了進一步研究，從作用量表達式先后導出了熱力學的基本變換關系式。
相對論
在廣義相對論研究形成初步思想后，利用最小作用量原理推導出了廣義相對論場方程，即愛因斯坦場方程（愛因斯坦-希爾伯特作用量）的廣義相對論場方程。此外，相對論力學方程也可以用作用量的語言表述出來。
量子力學
從最小作用量原理出發，創造了一種表述量子力學的等價方法——路徑積分方法。路徑積分方法是處理量子力學問題的重要而又簡明的方法。路徑積分形式可以推廣到普遍量子場論。此外，量子力學的薛定諤方程、克萊因-高登（Klein-Gordon）方程、保羅·狄拉克（Dirac）方程等，都可以用作用量的語言表述出來。
場論
在經典場論和量子場論中，場方程和場的守恒量都可以由統一的最小作用量原理出發而得到。在統一場論以至弦律中，最小作用量原理擔當著主要角色。建立理論實際上可歸結為找出正確的拉格朗日密度的具體形式。隨后，場的對稱性也由它體現出來，可由它去嚴格定義。
意義
最小作用量原理以其簡潔、優美的形式和對物理學各個領域的普適性揭示了自然界的某些基本規律和特征。只要找出對應于不同物理問題的作用量函數的表達式，就可用最小作用量原理求解該問題。從宇宙的創生到演化，極小到極大，最小作用量原理都扮演著重要的角色，統一說明了宇宙的整體特征，深刻地反映了物質世界的統一性。同時，在宇宙創生期，最小作用量原理發揮了關鍵作用，使得宇宙的誕生成為自然科學研究的一個重要領域。
最小作用量原理對力學研究有指導性意義。例如，在量子力學中，有一個作用量常數（普朗克常數），給出了粒子性與波動性之間的聯系，成為物理世界統一性的橋梁，它的量綱是。
以哲學的觀點看，自然界中某些量盡可能保持最小值，這也許表明了自然界受到某些根本的節省機制的制約。自然界存在某些普遍或共同的規律，支配著不同領域里的不同過程。或者說，不同領域里的不同過程都處在廣泛聯系之中，因而都具有一些共同的特征，以至相似的規律和表現形式。最小作用量原理揭示了自然界的統一性、和諧性、對稱性以及自然規律的邏輯簡單性。自然界的各種事物和現象雖然千變萬化、紛繁復雜，但是它們之間卻存在深刻的內在聯系，它們在本質上是相互關聯的。
參考資料 >
宇宙的演化原理都蘊藏在費曼的這個理論里了.騰訊網.2024-03-24
隱藏在這幅畫中的17個不同的物理世界.荔枝網.2024-03-31
《當代物理學進展》六.太原師范學院物理系.2024-04-08
Mécanique analytique.britannica.2024-04-08
物電學院研究團隊實驗證實“量子最小作用量原理”.華南師范大學新聞網.2024-04-01