費馬原理（Fermat's principle）是描述光波傳播規律的基本原理之一，其在幾何光學中的表述為：光線沿光程為平穩值的路徑而傳播的規律。具體內容為光線在兩點之間傳播的實際路徑，與其他可能得鄰近的路程相比，其光程為極值，該極值可為極小值、極大值或常量，其又叫“最短時間原理”“平穩時間原理”“時間極值原理”“光程極值原理”。利用費馬原理推導出幾何光學的三大基本定律：光的直線傳播定律，折射定律，光的反射定律。并將這三大定律以光程的概念統一歸納為一條原理。
這一原理最早由法國數學家皮耶·德·費瑪（Pierre de Fermat）于1662年提出，最初名為“最短時間原理”，即光線傳播的路徑是需時最少的路徑。該原理可推導出光的直線傳播定律、光的反射定律、光的折射定律以及光路可逆性原理，隨著研究的日臻完善，費馬原理關于最短光程原理、物像等光程性等相關理論得到推廣，在光學、數學、管理學等交叉學科領域的應用研究得到發展，在電磁兼容問題和大氣折射等實際工程的應用亦變得廣泛。
歷史
原理提出
費馬原理的提出與折射率研究有關。十七世紀，望遠鏡的問世，要求有正確的理論來指導怎么提高放大倍數，改善性能，因此，人們進一步探討了光的折射現象。
1611年，約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）在幾何光學著作《屈光學》中，通過光在兩種透明介質界面上發生折射現象的實驗，指出折射角一部分與入射角成正比，另一部分與入射角的余割成正比，同時還得出玻璃折射角不超過42°的結論，利用光的可逆性從反面倒推出光的全反射現象。但是卻錯誤地認為，介質的折射能力與介質的密度成正比。
1621年，斯涅耳（Snell Willibrord）從實驗中正確地給出光的折射定律，指出“對給定的兩種介質，入射角和折射角的余割之比總是保持相同的值”，但沒有進行理論推導，對式中常量的物理意義亦沒有進行探討。后續費馬原理為折射定律提供了依據，并對斯涅爾定律表達式進行了優化。
1637年，勒內·笛卡爾（Rene Descartes）在《方法論》中給出折射定律的正弦形式，指出入射角的正弦值與折射角的正弦值之比為折射光速與入射光速之比。笛卡爾采用微粒說，用球的運動來闡述光的折射，并且提出三條假設，即光在光密介質中的傳播速度比在光疏介質中大；在同一介質，光速對各種入射角都相同；在折射過程中，僅速度的垂直分量變化，而與界面平行的速度分量守恒。
1662年，法國皮耶·德·費瑪（Pierre de Fermat）對勒內·笛卡爾的三條假設提出質疑，得出了與笛卡爾完全相反的結論。費馬按照經濟原則“自然界的作用總是盡可能在最少的時間內完成”，認為只有光在光密介質中比在光疏介質中傳播速度慢，才符合這條原則，并用數學極值方法進行了證明，設光線從密度小的介質進入密度大的介質，在兩種媒質界面發生折射，并將其轉化成求點在圓周什么位置時相應圖形面積最小的問題，進而得出“線DF與DH之比等于密介質的阻力與疏介質的阻力之比”，且“光線從疏介質進入密介質，會轉向垂線”的結論。人們稱這種極值思想為費馬原理。
原理優化
費馬原理是說，光經兩種介質的界面時，無論是發生反射還是折射，光總是沿用時間最短的路徑運行。他認為光的傳播所遵從的極值原理是最小值。費馬原理用數學證明的極值思想，所用的極值條件只是必要條件(一階變分變為0)，而非充分條件。
費馬原理被認為是“形而上學的空想”，遭到了勒內·笛卡爾派和萊布尼茨派的否定，笛卡爾質問“光線不可能記得自己的過去，它怎么能夠在遇到分界面時進行計算而選擇一條時間最少的行進路徑呢？”戈特弗里德·萊布尼茨則從物理學的原則考慮，認為光線應當選擇一條阻力最小的路徑，而不是時間最少得路徑。
費馬原理的第一個真正的證明是由克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在波動理論的基礎上給出，并得出兩種介質折射率之比等于光在這兩種介質中的運行速度之比。但是光的相速度，還是群速度，并沒有指明，直到量子力學創立時，才由路易·德布羅意（Louis Victor de Broglie）徹底弄清，費馬原理中的速度是相速度。
原理延續
1696年，約翰·白努利（Johann Bernoulli）在最速落徑問題中提出在無窮多的曲線中哪一條曲線串珠下落得最快，并稱這條曲線為速降線（brachistochrone）。將皮耶·德·費瑪最小時間原理，力學的能量守恒原理以及微積分結合起來，便可得到速降線的微分方程。伯努利速降線問題的解法是變分法的歷史根源，對后續學者的研究有著深遠的影響。
1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂（Maupertuis）兼顧勒內·笛卡爾和皮耶·德·費瑪兩人的理論，在“關于笛卡爾和其他人在自然定律方面的顯著錯誤”一文中，提出最小作用原理，并導出杠桿平衡原理。
1808年，馬呂斯（étienne Louis Malus）提出馬呂斯定理（Marius theorem），給出了光在兩個波面傳播時不同路徑的光程之間的關系，與費馬原理相互等價，都可以作為幾何光學的基本定律。
1830~1832年，哈密頓相繼完成“論光線系統的理論”的附錄，對光學的費馬原理和粒子的莫培督原理進行了深入研究，哈密頓利用了哈密頓力學的方法，將光線的傳播視為一種動力學過程，其中光線相當于經典粒子，而物理光學的場則相當于量子力學中的波函數。
1919年，英國天文學家阿瑟·愛丁頓（Arthur Eddington）第一次觀測到引力透鏡現象。引力透鏡現象是指在一個恒定的引力場中，由于質量的存在導致時空的彎曲，光沿著彎曲的路徑傳播。在引力場中運用費馬原理發現了引力場中光路的曲率及其對引力透鏡和大質量物體引起的星光偏轉等現象。
定義
文字表述
一般表述為：光在任意介質或一組不同介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播。
更為嚴格的表述為：光線沿其實際路徑從一個點到另一個點的傳播時間相對于該路徑的微小變化是平穩的。所謂的平穩是數學上的導數概念，可以理解為一階偏導數為零，它可以是極大值，極小值，甚至是拐點。根據定義，介質的折射率是真空中光速與介質中相應光速之間的比值。因為光線傳播所花費的時間與介質中的光速成反比，而介質中的光速又與其折射率成反比，所以費馬原理也可以如下所述：光線沿其實際路徑從一個點到另一個點的光程是平穩的。其中，光程等于幾何路徑長度乘以介質的折射率。光路長度在某種意義上是恒定的，即路徑與實際光線路徑之間的偏差的一階小量所產生的光程差，至少是一個二階小量。
通用的表述為：光在任意介質或一組不同介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間為極值(或與相鄰路徑相等)的路徑傳播。即光傳播過程的光程可以取極小值、極大值或與周圍路徑相等的值。
特別地，在一階或近軸成像系統中，所有的連接光源和對應像點的光路具有相同的光程。
光學名詞審定委員會公布（2021年）費馬原理在幾何光學中的表述為：光線沿光程為平穩值的路徑而傳播的規律。
光程定義
光程等于光在介質n中走過距離d的相同時間內，在真空中所走的距離，表達式為。
數學表述
基于變分概念的表述為：在光線的實際路徑上光程的一階變分為零，即，其中，表示光程，即光在介質中通過的幾何路程與該介質折射率的乘積；且介質折射率連續變化。
光程隨路徑變化的關系有幾種形式，在平面坐標系中，橫坐標表示光線路徑，縱坐標表示光程，A點切線均為水平方向，一階變分為零。
嚴格數學表述為：光線實際路徑和相鄰路徑的光程差，即，其中、分別為相鄰路徑和實際路徑長度的導數元素，表示關于的更高階冪級函數。
推導
光程在復雜情況下，存在極大值光程、極小值光程、常數值光程和光程函數拐點，以二維平面內橢圓的情況進行推導，其中為橢圓的焦點，單射光線從焦點出發，反射光線經過焦點。
極小值光程推導
如圖1，當橢圓與外切圓界面相切于點時，實際光線（實線）的光程為極小值。
極大值光程推導
如圖2，當橢圓與內切圓界面相切于點時，實際光線（實線）的光程為極大值。
常數值光程推導
如圖3，當橢圓與內切橢圓界面相切于點時，實際光線（實線）的光程為恒定常數。
光程函數拐點推導
如圖4，當橢圓與彎曲界面（與橢圓部分外接，部分內切）相交于點時，實際光線（實線）的光程對應光程函數拐點。
射線角度推導
費馬原理從射線角度分析，即為波沿射線傳播的時間最短。
光的反射推導
如圖5，光在介質內傳播速度為，光線從A點單射，經過界面NM反射到B點，由光的反射定律可知入射角與反射角相等。取B點關于NM的對稱點B'點，則有，則光傳播的時間為：
當A、O、B'在一條直線上時，OA+OB'最小，即光的傳播時間t最小，而當入射角與反射角相等時，A、O、B'在同一條直線，所以光的反射是沿著所需時間最短（極值）的路徑傳播的。
光的折射推導
如圖6，光從折射率為的介質1中的A點單射，經過界面NM折射到折射率為的介質2中的B點，其中，在介質1的傳播速度為，在介質2的傳播速度為，則由折射定律可得。
當入射點向右微小移動到O'（即）時，光在介質1中的傳播時間減少，在介質2中傳播時間增加，因為O'在O的右邊，所以，所以，即光的傳播時間增加。
同理，當單射點向左微小移動時，易得光的傳播時間增加。
所以，只有入射光線經過O點時，光的傳播時間最短，所以光的折射沿著所需時間最短（極值）的路徑傳播。
能量路徑推導
如圖7，Q是點源M0發出的任意時刻的波前位置，半徑為，振幅為A，圓頻率為，任意小面元為，M是Q外一點，與dQ的距離為r，是法線n與r的夾角。
根據波動理論可知M0到達dQ的振動為，將圓波數用表示，省略周期因子（指標數諧和震動的形狀，與振幅無關），則到達的振動為，根據惠更斯原理，把波前面Q的小面積元dQ看作二次震源，則M點擾動為,通過求導計算可得整個波前面Q在M點的總擾動為。
其中k(θ)是與θ有關因子，稱作傾斜因子，而，所以當夾角θ為零時，即波沿射線傳播時，傾斜因子有最大值，當θ逐漸增大時，傾斜因子急劇減小，當θ為90°時，傾斜因子絕對值衰減到最大值的一半，所以波沿著射線傳播的方向能量最強。
局限性
皮耶·德·費瑪原理適用于幾何光學光束，當光線在兩種介質的界面及其幾何投影附近和按照幾何光學規律出現光線相交的點兩種情況時，光場的振幅或相位梯度隨空間位置會有顯著變化，費馬原理有可能失效，即費馬原理不適用于波動光學和量子光學。
相關推論
最短光時線可以有多條，例如光線從橢圓面焦點A經過反射到另一焦點B，可以有無數條路徑，所有這些路徑的光線傳播時間都相等。
光的直線傳播定律
光在均勻介質中沿直線傳播。
光程，
又兩點之間直線最短，
所以（其中，為曲線路程），
由此費馬原理推導出光的直線傳播定律。
光的反射定律
平面反射
如圖8，光從P點出發射向距離刻度x點，反射到Q點。
P點到x點的距離，Q點到x點的距離，從點P到點Q的光程D為
.
根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。取光程D對x的導數，令其為零：
，
其中：
,
,
,
.
球面反射
球面的半徑=R，光線從直徑一端Q射向球面，反射到直徑另一端P，光程：
,
因：
,
所以：
,
根據費馬原理，
，
解之， 得，代入D得到：光程，乃是一個極大值=2.8R；（極小值光程是從直徑一端到Q另一端P，光程=2R）。
光的折射定律
折射線位于入射面內，折射線與入射線分居法線兩側，入射角的正弦與折射角的正弦之比為一與入射角無關的常數，而與兩種介質的折射率有關。
證明：設在均勻介質中且在鏡面反射條件下，以鏡面為建立直角坐標系，則：
光線的坐標分別為 ，
光線經過鏡面上點的坐標為,介質折射率分別為，于是，
光程
，
根據費馬原理，光程的一階變分為零，則 ，即，
，
所以，
即，其中，為入射角的正弦值，為折射角的正弦值，由此費馬原理推導出光的折射定律。
光路可逆性原理
光線的方向反轉時，其將逆著原來的路徑傳播。
證明：根據費馬原理幾何語言表達式，定積分上下限（）互換時，其值不變（不涉及方向），即光程，
由此費馬原理推導出光路可逆性原理。
相關理論
最短光程原理
定義為實際光線沿著光程為極值（或穩定值）的路線傳播，該路線即為最短光程。在正則光場中描述光波傳播行為的費馬原理的具體表述，即沿著光波電子運動軌跡的介質折射率的線積分為光程函數，則其光線軌跡是使該光程函數取極值的曲線。
因為實際光線為極值，則和實際光線間隔為一階微量的其他路線對應的光程，與實際光線光程差為二階或高階微量。光程是指光在介質中幾何路程s和介質折射率n的乘積，表達式為L= n s，利用最短光程原理，借助光程函數的極值特點，不僅對于主軸上物點的球面反射和球面折射過程，得到實際光線滿足的幾何方程。對于較復雜的情況，如主軸外物點的球面反射和球面折射過程，讓光程函數取極值，對其求導讓其為零得到一級近似方程，進而得到研究物像公式。
最小光程原理多用于平面鏡，凹面鏡，橢球面鏡和成像面鏡等多種光學系統中，以確定光線路徑，達到成像效果。
最小作用量原理
費馬原理是最小作用量的基礎，使得最小作用量原理由最短距離推廣到最短時間，讓定理更具有了普遍化。費馬原理特別關注于光的傳播路徑，而最小作用量原理則提供了一種更廣泛的框架，用于描述各種物理系統中的最優化問題。兩者之間的聯系在于它們都試圖解釋自然界中存在的一種最優狀態，無論是在時間上的最短路徑還是在能量消耗上的最小化。
物理學中最小作用量原理（英語：least action principle），或更精確地，平穩作用量原理（英語：stationary action principle），是一種變分原理，當應用于一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的約瑟夫·拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母。
在現代物理學里，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論里，都有廣泛的用途。在現代數學里，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發展。關于數學描述、推導和實用方法，請參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是皮埃爾·莫佩爾蒂原理（Maupertuis' principle）和哈密頓原理。
在最小作用量原理之前，有很多類似的點子出現于測量學和光學。古埃及的拉繩測量者（rope stretcher）在測量兩點之間的距離時，會將固定于這兩點的繩索拉緊，這樣，可以使間隔距離減少至最低值。克羅狄斯·托勒密在他的著作《地理學指南》（Geographia）第一冊第二章里強調，測量者必須對于直線路線的誤差做出適當的修正。古希臘數學家歐幾里得在《反射光學》（Catoptrica）里表明，將光線照射于鏡子，則光線的反射路徑的入射角等于反射角。稍后，亞歷山大的希羅證明這路徑的長度是最短的。
莫佩爾蒂原理
1741年，莫佩爾蒂在“Loi du repos des corps (物體靜止的定律)”一文中提出：一個靜止的系統，會達到這樣的位置，其任何變化會造成某個量之最小的變化。
1744年，莫佩爾蒂正式提出最小作用原理，即自然界總是通過最簡單的方法產生作用，如果一個物體必須沒有任何阻礙地從一點到另一點，自然界就利用最短的途徑和最快的速度來引導它。
后莫佩爾蒂在1750年出版的“Essai de cosmologie (宇宙學文集)”一書中詮釋了這個思想，他認為這個量是物體的質量、走過的距離與速度的乘積，并花費了二十年發展這個思想，最終為最小作用量原理的發展奠定了基礎。但皮埃爾·莫佩爾蒂并沒有給出該原理嚴格的數學表達式，后來在萊昂哈德·歐拉和約瑟夫·拉格朗日的努力下，將最小作用量原理定量化，即作用量最小的路徑，應滿足方程。
哈密頓原理
哈密頓原理（Hamilton＇s principle，又譯為漢密爾頓原理）是指力學系統在給定時間的一切可能運動中，使哈密頓作用量（主函數）取極值的運動才是真實發生的運動，數學表達式為。
哈密頓原理與最小作用原理相似，但最小作用量原理是不等時變分，它是等時變分，即所有變更路徑必須在同一時間內完成。1835年，哈密頓引入了一個新函數H，即系統的總能量，被稱為哈密頓量，，并得到系統運動的正則方程。哈密頓的光學-力學類比以及正則方程對現代物理學的產生和發展產生了巨大影響。
惠更斯原理
在某一時刻t由振源發出的波擾動傳播到了波面S，則S上的每一面元可認為是次波的波源。該原理是惠更斯（C.Huygens）在1678年提出關于波面傳播的理論。根據惠更斯原理，我們可以給出折射率的物理意義，即光在兩種介質中的速度之比。
惠更斯認為每個點上的波前可視為次波源，次波源發出的新波前是原波前的切線上的每一點上的新次波源的整體波峰。這些次波源在介質中傳播，形成了新的波前。在均勻介質中，新波前是原波前的切線上的每個點作為次波源產生的新次波峰的包絡面。該原理解釋了波是如何在傳播過程中擴展的，在光學中，惠更斯原理可以解釋光的傳播和衍射現象。
最早成功解釋衍射現象的是奧古斯丁·菲涅耳（Fresnel），他將惠更斯原理進一步用光的干涉理論進行補充并發展。
馬呂斯定理
1808年，馬呂斯提出，后由杜平等人推廣。馬呂斯定理給出了光波在光學系統傳播時，兩個波面之間光沿不同光路傳播時光程之間的關系。具體指光線垂直于入射波面入射時，經過任意次的反射和折射，光線依舊垂直出射波面射出，并且兩個波面間的所有光路的光程都相等。
費馬其它理論
費馬二平方和定理：形式為4n+1的每個質數可用唯一方式寫成二平方數之和。
費馬定理：若p是任意正整數，則p能整除。
費馬末定理：若n>2,則不能為任何正整數所滿足。
應用
運動學
伯努利家族的約翰·伯努利在解決最速降線問題時曾利用到費馬原理。他將小球運動類比作光線的運動，從而得出最速降線為擺線。
通過將光的傳播與勻速運動類比，利用費馬原理來解決運動學的最值問題，如兩過程勻速運動時間極值問題。
交叉學科領域
科學研究領域
學者可利用費馬原理探討光學元件成像規律，推導出當反射和折射界面滿足何種條件時，能將同光軸平行光束的反射和折射匯聚在一點，進而得到近軸光線條件下光學元件的成像規律，并使用相應軟件進行模擬以便獲得各光學元件的模擬光路圖。
費馬原理還被用于推導厚透鏡的物像方程，以及近軸近似條件下厚透鏡、柱形透鏡的物像方程，這對于增強學生的科學探究能力具有重要意義。
數學領域
在數學領域，學者發現可利用費馬原理求解直線運動最短問題，在解決該類問題中，將物體的運動比作光的傳播，可以直接確定運動路徑，從而簡化解題過程。
還可將費馬原理應用到凸函數，通過引入次梯度——導數概念得到凸函數極小值的充要條件，從而將費馬原理的應用范圍擴大到凸函數。
經濟領域
在經濟領域中，利用費馬原理，基于生存策略調節與控制，將生存函數最大化，建立經濟系統的動態最優模型，從而分析經濟系統生存域拓展和生存遷移情況下的最優生存問題。主要體現在其對最優化問題的解決上，例如，Markov字段的概念可以應用于經濟學中的決策理論，其中決策者需要在不同選項之間選擇以最大化某種收益或最小化損失。
實際工程應用
在實際工程領域，隨著信息技術的發展，電磁兼容和電磁環境問題受到關注，對于大型復雜器件而言，反射場和直射場占比較大，因而反射射線尋跡的快速性和準確性比較重要，利用費馬原理推導反射點的解析式，可縮短反射線尋跡時間，提高反射線尋跡精度。利用費馬原理推導射線描跡法，模擬電磁波傳播偏移路徑，在實際工程中得到廣泛應用，如對大氣折射進行修正，用于計算機模型和導彈防御系統仿真和測控站對流層傳播介質修正。
參考資料 >
費馬原理.科普中國網.2024-06-14