正弦（sine），數(shù)學(xué)術(shù)語，在直角三角形中，任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA（由英語sine一詞簡寫得來），即sinA=∠A的對邊/斜邊。
古代說法，正弦是股與弦的比例。
研究歷史
古代說的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜邊，“勾”、“股”是直角三角形的兩條直角邊。
正弦是股與弦的比例，余弦是余下的那條直角邊與弦的比例。
正弦=股長/弦長
勾股弦放到圓里。弦是圓周上兩點(diǎn)連線。最大的弦是直徑。把直角三角形的弦放在直徑上，股就是∠A所對的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。
按現(xiàn)代說法，正弦是直角三角形的對邊與斜邊之比。
現(xiàn)代正弦公式是
sin = 直角三角形的對邊比斜邊.
如圖，斜邊為r，對邊為y，鄰邊為a。斜邊r與鄰邊a夾角Ar的正弦
無論a，y，r為何值，正弦值恒大于等于0小于等于1，即。
三角函數(shù)
三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。
由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。
三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。
在中，如果銳角A確定，那么角A的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個(gè)比叫做角A 的正切，記作tanA
即
同樣，在中，如果銳角A確定，那么角A的對邊與斜邊的比便隨之確定，這個(gè)比叫做角A的正弦，記作sinA
即
同樣，在中，如果銳角A確定，那么角A的鄰邊與斜邊的比便隨之確定，這個(gè)比叫做角A的余弦，記作cosA
即
正弦函數(shù)
一般的，在直角坐標(biāo)系中，給定單位圓，對任意角α，使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P（u，v），那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v叫做角α的正弦函數(shù)，記作。通常，我們用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數(shù)值，這樣我們就定義了任意角的三角函數(shù)，它的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域為。
相關(guān)公式
平方和關(guān)系
積的關(guān)系
倒數(shù)關(guān)系
商的關(guān)系
和角公式
倍角和半角公式
由泰勒級數(shù)得出
級數(shù)展開
正弦定理
特定正弦函數(shù)與橢圓的關(guān)系
關(guān)于橢圓的周長等于特定的正弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的長度的證明：
半徑為r的圓柱上與一斜平面相交得到一橢圓，該斜平面與水平面的夾角為α，截取一個(gè)過橢圓短徑的圓。以該圓和橢圓的某一交點(diǎn)為起始轉(zhuǎn)過一個(gè)θ角。則橢圓上的點(diǎn)與圓上垂直對應(yīng)的點(diǎn)的高度可以得到
r:圓柱半徑
α:橢圓所在面與水平面的角度
c:對應(yīng)的弧長（從某一個(gè)交點(diǎn)起往某一個(gè)方向移動(dòng)）
以上為證明簡要過程，則橢圓的周長與的正弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的長度是相等的，而一個(gè)周期，正好為一個(gè)圓的周長。
正弦定理（The Law of Sines）是三角學(xué)中的一個(gè)基本定理，它指出“在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”，即（r為外接圓半徑，D為直徑）。
早在公元2世紀(jì)，正弦定理已為古希臘天文學(xué)家克羅狄斯·托勒密(C．Ptolemy)所知．中世紀(jì)阿拉伯著名天文學(xué)家阿爾·比魯尼(al—Birunj，973一1048)也知道該定理。但是，最早清楚地表述并證明該定理的是13世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家和天文學(xué)家納綏爾丁。在歐洲，猶太數(shù)學(xué)家熱爾松在其《正弦、弦與弧》中陳述了該定理：“在一切三角形中，一條邊與另一條邊之比等于其對角的正弦之比”，但他沒有給出清晰的證明。15世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家約翰·繆勒在《論各種三角形》中給出了正弦定理，但簡化了納綏爾丁的證明。1571年，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F．Viete，1540一1603)在其《數(shù)學(xué)法則》中用新的方法證明了正弦定理，之后，德國數(shù)學(xué)家畢蒂克斯(B．Pitiscus，1561—1613)在其《三角學(xué)》中沿用韋達(dá)的方法來證明正弦定理。
單位圓關(guān)系
圖像中給出了用弧度度量的某個(gè)公共角。逆時(shí)針方向的度量是正角而順時(shí)針的度量是負(fù)角。設(shè)一個(gè)過原點(diǎn)的線，同 x 軸正半部分得到一個(gè)角 θ，并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的 y 坐標(biāo)等于 sin θ。在這個(gè)圖形中的三角形確保了這個(gè)公式；半徑等于斜邊并有長度 1，所以有了 sin θ = 。單位圓可以被認(rèn)為是通過改變鄰邊和對邊的長度并保持斜邊等于 1 查看無限數(shù)目的三角形的一種方式。
對于大于 2π 或小于 的角度，簡單地繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn)。在這種方式下，正弦變成了周期為 2π的周期函數(shù):
對于任何角度 θ 和任何整數(shù) k。
泰勒級數(shù)
正弦函數(shù)（綠色）被對中心為原點(diǎn)的全圓的它的 11 次泰勒級數(shù)（紅色）緊密逼近。
微分方程
由于正弦的導(dǎo)數(shù)是余弦，余弦的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦，因此正弦函數(shù)滿足微分方程
這就是正弦的微分方程定義。
正弦積分
恒等變換
用其他三角函數(shù)的表示
兩角和的正弦
三倍角公式
半角公式
和差化積公式
數(shù)學(xué)術(shù)語
正弦函數(shù)﹑余弦函數(shù)﹑正切函數(shù)﹑余切函數(shù)﹑正割函數(shù)與余割函數(shù)合稱為三角函數(shù)。
拉普拉斯變換
正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為：
參考資料 >