在數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)（英語：Taylor series）用無限項(xiàng)連加式——級(jí)數(shù)來表示一個(gè)函數(shù)，這些相加的項(xiàng)由函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求得。泰勒級(jí)數(shù)是以于1715年發(fā)表了泰勒公式的英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字來命名的。通過函數(shù)在自變量零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求得的泰勒級(jí)數(shù)又叫做麥克勞林級(jí)數(shù)。以蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林·麥克勞林的名字命名。泰勒級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中有重要作用。
概述
定義：如果在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則冪級(jí)數(shù)
稱為在點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)。
在泰勒公式中，取，得到的級(jí)數(shù)
稱為麥克勞林級(jí)數(shù)。函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)是x的冪級(jí)數(shù)，那么這種展開是唯一的，且必然與的麥克勞林級(jí)數(shù)一致。
注意：如果的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)收斂，它不一定收斂于。因此，如果在某處有各階導(dǎo)數(shù)，則的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能算出來，但這個(gè)級(jí)數(shù)能否在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于還需要進(jìn)一步驗(yàn)證。
一些函數(shù)無法被展開為泰勒級(jí)數(shù)，因?yàn)槟抢锎嬖谝恍?a href="/hebeideji/1351186976238902641.html">奇點(diǎn)。但是如果變量x是負(fù)指數(shù)冪的話，仍然可以將其展開為一個(gè)級(jí)數(shù)。例如，就可以被展開為一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)。
定理
定理一
設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件使得泰勒公式中的余項(xiàng)滿足
定理二
如果在區(qū)間能展開成泰勒級(jí)數(shù)則右端的冪級(jí)數(shù)是惟一的。
作用
泰勒級(jí)數(shù)的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：
對(duì)于一些無窮可微函數(shù)f(x) 雖然它們的展開式收斂，但是并不等于f(x)。例如，分段函數(shù)，當(dāng) 且，則當(dāng)所有的導(dǎo)數(shù)都為零，所以這個(gè)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)為零，且其收斂半徑為無窮大，雖然這個(gè)函數(shù) f 僅在處為零。而這個(gè)問題在復(fù)變函數(shù)內(nèi)并不成立，因?yàn)楫?dāng) z 沿虛軸趨于零時(shí)并不趨于零。一些函數(shù)無法被展開為泰勒級(jí)數(shù)是因?yàn)槟抢锎嬖谝恍?a href="/hebeideji/1351186976238902641.html">奇點(diǎn)。但是如果變量x是負(fù)指數(shù)冪的話，我們?nèi)匀豢梢詫⑵湔归_為一個(gè)級(jí)數(shù)。例如，就可以被展開為一個(gè)洛朗級(jí)數(shù)。
基本原理：多項(xiàng)式的k重不可約因式是其導(dǎo)數(shù)的重不可約因式；
基本思想：通過系數(shù)為微商的多項(xiàng)式來研究任意函數(shù)的性質(zhì)（本科主要是收斂性)
發(fā)展簡(jiǎn)史
希臘利奧六世芝諾（Zeno of Elea）在考慮了利用無窮級(jí)數(shù)求和來得到有限結(jié)果的問題，得出不可能的結(jié)論 -芝諾悖論。后來，亞里士多德相對(duì)于芝諾悖論提出了一個(gè)哲學(xué)的決議，但顯然此部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容沒有得到解決直到被德謨克利特接手以及后來的阿基米德。正是用了阿基米德的窮舉法才使得一個(gè)無窮級(jí)數(shù)被逐步的細(xì)分，實(shí)現(xiàn)了有限的結(jié)果。
進(jìn)入14世紀(jì)，Mādhava of Sa?gamāgrama最早使用了泰勒級(jí)數(shù)以及相關(guān)的方法。雖然沒有保留他的工作記錄，但后來印度數(shù)學(xué)家的著作表明他發(fā)現(xiàn)了一些特殊的泰勒級(jí)數(shù)，這些級(jí)數(shù)包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函數(shù)等等。之后，喀拉拉邦的天文與數(shù)學(xué)學(xué)校在他的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一系列的延伸與合理逼近，一直持續(xù)到16世紀(jì)。
到了17世紀(jì)，詹姆斯·格雷戈（James Gregory）同樣繼續(xù)著這方面的研究并且發(fā)表了若干麥克勞林級(jí)數(shù)。1715年，布魯克·泰勒（Brook Taylor）提出了一個(gè)常用的方法來構(gòu)建這一系列級(jí)數(shù)并適用于所有函數(shù)。這就是后來被人們所熟知的泰勒級(jí)數(shù)。科林·麥克勞林級(jí)數(shù)是以愛丁堡大學(xué)教授麥克勞林來命名的。他在18世紀(jì)發(fā)表了泰勒級(jí)數(shù)的特例。
常見泰勒級(jí)數(shù)
下面給出幾個(gè)常見函數(shù)在x=0處的泰勒級(jí)數(shù)，即麥克勞林級(jí)數(shù)。
正弦函數(shù)：
余弦函數(shù)：
正切函數(shù):
參考資料 >
你知道泰勒級(jí)數(shù)，但你了解泰勒嗎?.騰訊網(wǎng).2023-12-27