級數(shù)（Series），又稱無窮級數(shù)，是表示無窮個(gè)數(shù)相加的函數(shù)。級數(shù)主要分為數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)級數(shù)兩類，它通常可以用來研究函數(shù)性質(zhì)、進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。
無窮級數(shù)的理論在歷史上經(jīng)歷了長期的發(fā)展過程，古希臘時(shí)代已經(jīng)有了公比小于1的無窮幾何級數(shù)的概念。在古代中國，沈括首次提出了求解高階等差級數(shù)之和的例證。15世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家奧爾斯姆（Oresme）證明了調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性。1673年，德國數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）發(fā)現(xiàn)了圓周率的無窮級數(shù)表達(dá)式。18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Euler）將復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)用于數(shù)論等領(lǐng)域。1811年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉（Fourier）給出了級數(shù)收斂性的正確定義。1821年，法國數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）在其《分析教程》中建立了收斂性的近代理論基礎(chǔ)。19世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass）等人明確了一致收斂的概念，使無窮級數(shù)的收斂性理論趨向完整。
典型的數(shù)項(xiàng)級數(shù)包括正項(xiàng)級數(shù)、任意項(xiàng)級數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)包括冪級數(shù)及三角級數(shù)。級數(shù)的收斂具備一些基本性質(zhì)，可通過特定的方法進(jìn)行斂散性的判定，如比較審斂法、比值審斂法適用于數(shù)項(xiàng)級數(shù)，而魏爾特拉斯判別法、阿貝爾判別法適用于函數(shù)級數(shù)。同時(shí)，對級數(shù)的研究可以和數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)其他數(shù)學(xué)分支相結(jié)合，得到一些復(fù)雜推廣的結(jié)論。級數(shù)作為一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)工具，在物理、生物和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。
定義
級數(shù)即無窮個(gè)數(shù)相加，可分為數(shù)項(xiàng)級數(shù)以及函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。
數(shù)項(xiàng)級數(shù)
假設(shè)是一個(gè)數(shù)列。數(shù)列中所有的數(shù)依次相加：就稱為級數(shù)。
假設(shè)是一個(gè)數(shù)列。對于任意正整數(shù)，稱為級數(shù)的通項(xiàng)，或一般項(xiàng)。稱為級數(shù)的第部分和，或者前項(xiàng)部分和。由部分和構(gòu)成的數(shù)列稱為該級數(shù)的部分和序列。如果級數(shù)的部分和序列存在極限，則稱級數(shù)收斂，并稱為該級數(shù)的和，記作。如果部分和序列的極限不存在，就稱級數(shù)發(fā)散。發(fā)散的級數(shù)沒有和數(shù)。
函數(shù)級數(shù)
設(shè)是定義在區(qū)間上的一列函數(shù)。如果對每個(gè)，級數(shù)收斂，并且令，則就是定義在上的一個(gè)函數(shù)。級數(shù)稱為函數(shù)級數(shù)，稱為該函數(shù)級數(shù)的和函數(shù)。
如果函數(shù)級數(shù)在點(diǎn)收斂，則稱為級數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)，全體收斂點(diǎn)組成的集合稱為它的收斂域。
歷史
古代
無窮級數(shù)的理論在歷史上經(jīng)歷了長期的發(fā)展過程。古希臘時(shí)代已經(jīng)有了公比小于1的無窮幾何級數(shù)的概念，亞里士多德（Aristotle）認(rèn)識到了這類級數(shù)的收斂性。在古代中國，沈括提出了求取連續(xù)相鄰整數(shù)平方和的公式，成為中國數(shù)學(xué)史上求解高階等差級數(shù)之和的首個(gè)例證。繼沈括之后，楊輝利用等差級數(shù)的求和公式，創(chuàng)造性地構(gòu)建了三階和四階幻方，展示了等差級數(shù)在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。朱世杰在沈括和楊輝的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入研究高階等差級數(shù)求和問題，提出了“垛積術(shù)”，給出了更為復(fù)雜的三角垛計(jì)算公式，相關(guān)的計(jì)算方法被稱為“招差術(shù)”。到了15世紀(jì)中葉，歐洲數(shù)學(xué)家開始研究特殊的數(shù)項(xiàng)級數(shù)，法國數(shù)學(xué)家奧爾斯姆（Oresme）證明了調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性。
近代
17世紀(jì)，級數(shù)已成為微積分證明和計(jì)算的重要工具。在1669年，英國數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓（Newton）利用二項(xiàng)式展開定理，把一個(gè)函數(shù)在特定點(diǎn)的面積增量（或變化率）與該點(diǎn)處的函數(shù)值之間的關(guān)系表述為一個(gè)無窮級數(shù)。而德國數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）在1673年發(fā)現(xiàn)了圓周率的無窮級數(shù)表達(dá)式。18世紀(jì)，級數(shù)理論取得顯著進(jìn)展，包括函數(shù)展開成級數(shù)的研究、泰勒級數(shù)的提出以及三角級數(shù)的研究。這一時(shí)期，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（Bernoulli）發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)出指數(shù)級數(shù)的伯努利數(shù)。英國數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor）得出了“泰勒公式”，使得任意函數(shù)都可能展開為冪級數(shù)。英國數(shù)學(xué)家科林·麥克勞林（Maclaurin）得出了泰勒級數(shù)中的特殊情形——“科林·麥克勞林級數(shù)”。法國數(shù)學(xué)家讓·達(dá)朗貝爾（d'Alembert）發(fā)明了“達(dá)朗貝爾判別法”，通過比較正項(xiàng)級數(shù)相鄰兩項(xiàng)的比值來判斷該級數(shù)是收斂還是發(fā)散。法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日（Lagrange）用連分?jǐn)?shù)給出了求方程實(shí)根近似值的方法，并致力于用冪級數(shù)來表示任意函數(shù)。瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Euler）不僅提出了大量公式，還將復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)用于數(shù)論等領(lǐng)域。然而，當(dāng)時(shí)對級數(shù)的收斂與發(fā)散的理解仍不夠清晰，缺乏嚴(yán)格的處理。
19世紀(jì)初，級數(shù)理論的嚴(yán)密化工作開始取得進(jìn)展。1811年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉（Fourier）給出了級數(shù)收斂性的明確定義。1812年，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）嚴(yán)格處理了超幾何級數(shù)，標(biāo)志著級數(shù)理論的一個(gè)重要發(fā)展。1821年，法國數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）在其《分析教程》中建立了收斂性的近代理論基礎(chǔ)，并對復(fù)變函數(shù)論的形成產(chǎn)生了重要影響。1826年，挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Abel）對二項(xiàng)級數(shù)給出了第一個(gè)嚴(yán)格證明，并研究了冪級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性。19世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass）明確了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與含參數(shù)反常積分一致收斂的充分條件。1862年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）在文章中發(fā)表了關(guān)于數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)級數(shù)、廣義積分和含參量廣義積分的收斂與一致收斂性的四個(gè)判別法，即“狄利克雷判別法”。德國數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼（Riemann）證明了黎曼局部化原理，明確了一致收斂的概念，研究了級數(shù)的逐項(xiàng)積分和項(xiàng)的重排問題，從而使無窮級數(shù)的收斂性理論趨向完整。
分類與常見實(shí)例
數(shù)項(xiàng)級數(shù)
正項(xiàng)級數(shù)
級數(shù)指無窮多個(gè)數(shù)相加。如果對都有，就稱級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)。例如，，都是正項(xiàng)級數(shù)。
幾何級數(shù)：，，為常數(shù)。當(dāng)時(shí)，，，所以該級數(shù)收斂，其和為。當(dāng)時(shí)，級數(shù)的通項(xiàng)不趨向于零，所以發(fā)散。
超幾何級數(shù)：定義為級數(shù)當(dāng)和且時(shí)收斂，且滿足常微分方程。
級數(shù)：，且當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，級數(shù)即為調(diào)和級數(shù)。例如，。
任意項(xiàng)級數(shù)
任意項(xiàng)級數(shù)是指可正可負(fù)的級數(shù)，例如，，。
交錯(cuò)級數(shù)：任意項(xiàng)級數(shù)中較為特殊的一種，它的項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)地出現(xiàn)。例如，，一般記為，其中。
函數(shù)級數(shù)
冪級數(shù)
一般項(xiàng)為的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，即稱為冪級數(shù)。當(dāng)時(shí)，它具有更簡單的形式，其中是一個(gè)數(shù)列。例如，，，。
泰勒級數(shù)：若在的某個(gè)鄰域中有任意階偏導(dǎo)數(shù)，則稱形如的冪級數(shù)為在的泰勒級數(shù)，記為。
洛朗級數(shù)：把函數(shù)展開為關(guān)于的級數(shù)形式，即，這種既含有的正方冪項(xiàng)，又含有負(fù)方冪項(xiàng)的級數(shù)形式稱為洛朗級數(shù)，一般形式為，標(biāo)準(zhǔn)形式為。
矩陣級數(shù)：設(shè)是中的矩陣序列，其中，無窮和稱為矩陣級數(shù)。稱為矩陣級數(shù)的部分和。如果部分和序列的極限存在，即，則稱矩陣級數(shù)收斂，并稱為矩陣級數(shù)的和，記為；不收斂的矩陣級數(shù)稱為發(fā)散級數(shù)。
三角級數(shù)
將正弦函數(shù)按三角公式變形，得，并且令，，，（即），則正弦函數(shù)可以改寫為三角級數(shù)，其中都是常數(shù)。
傅里葉級數(shù)：對于任意的，稱由和確定的和為的傅里葉系數(shù)；由這些傅里葉系數(shù)組成的三角函數(shù)級數(shù)為的傅里葉級數(shù)。
相關(guān)概念
絕對收斂和條件收斂
如果級數(shù)各項(xiàng)的絕對值所構(gòu)成的正項(xiàng)級數(shù)收斂，那么稱級數(shù)絕對收斂。
如果級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，那么稱級數(shù)條件收斂。
一致收斂
設(shè)有函數(shù)級數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)，都存在著一個(gè)只依賴于的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對區(qū)間上的一切，都有不等式成立，那么稱函數(shù)級數(shù)在區(qū)間上一致收斂于和，也稱函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于。
級數(shù)收斂的性質(zhì)
數(shù)列級數(shù)
性質(zhì)一：如果級數(shù)收斂于，那么級數(shù)也收斂，且其和為。
性質(zhì)二：如果級數(shù)與分別收斂于和與，那么級數(shù)也收斂，且其和為。
性質(zhì)三：在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會改變級數(shù)的收斂性。
性質(zhì)四：如果級數(shù)收斂，那么對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變。
性質(zhì)五：若級數(shù)收斂，則必有，該性質(zhì)又稱級數(shù)收斂的必要條件。
函數(shù)級數(shù)
性質(zhì)一：如果級數(shù)的各項(xiàng)在區(qū)間上都連續(xù)，且在區(qū)間上一致收斂于，那么在上也連續(xù)。
性質(zhì)二：如果級數(shù)的各項(xiàng)在區(qū)間上連續(xù)，且在上一致收斂于，那么級數(shù)在上可以逐項(xiàng)積分，即，其中，并且上式右端的級數(shù)在上也一致收斂。
性質(zhì)三：如果級數(shù)在區(qū)間上收斂于和，它的各項(xiàng)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且級數(shù)在上一致收斂，那么級數(shù)在上也一致收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即。
性質(zhì)四：如果冪級數(shù)的收斂半徑為，那么此級數(shù)在內(nèi)的任一閉區(qū)間上一致收斂。
性質(zhì)五：如果冪級數(shù)的收斂半徑為，那么其和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。
審斂法
數(shù)項(xiàng)級數(shù)
比較審斂法
設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù)，且。若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；反之，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。
比較審斂法的極限形式：設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù)，
比值審斂法
設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，如果，那么當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，（或）時(shí)級數(shù)發(fā)散，時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。
根值審斂法
根值判別法也稱柯西判別法。設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，如果，那么當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，（或）時(shí)級數(shù)發(fā)散，時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。
極限審斂法
設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)：
萊布尼茲判別法
如果遞減趨于，那么交錯(cuò)級數(shù)收斂。
函數(shù)級數(shù)
魏爾特拉斯判別法
如果函數(shù)級數(shù)在區(qū)間上滿足條件：
那么函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。
狄利克雷判別法
設(shè)級數(shù)在區(qū)間上滿足下面兩個(gè)條件：
那么級數(shù)在上一致收斂。
阿貝爾判別法
設(shè)級數(shù)在區(qū)間上滿足下面兩個(gè)條件：
那么級數(shù)在上一致收斂。
級數(shù)求和
利用定義
已知：常定義為，這樣若求得之后，再取極限即可。在求時(shí)，常結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法。
例如：試求。
解：先將級數(shù)通項(xiàng)變形，然后將級數(shù)前后項(xiàng)相消，有。故。
逐項(xiàng)微分積分
將一個(gè)級數(shù)求和問題化為兩個(gè)級數(shù)求和問題時(shí)，在同一個(gè)級數(shù)求和式中既需要逐項(xiàng)微分，又需要逐項(xiàng)積分。
例如：求級數(shù)的和函數(shù)，其中。
解：令，則考慮，而，則。故。
函數(shù)展開
數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求和問題，除了直接方法（如利用定義、通項(xiàng)變形），多是通過函數(shù)冪級數(shù)或傅里葉級數(shù)展開后賦值而得到。
例如：求級數(shù)的和。
解：作。而，故，取，則有。
利用乘積
有些級數(shù)可以視為兩個(gè)無窮級數(shù)的乘積，這時(shí)便可將所求級數(shù)和問題化為先求兩個(gè)級數(shù)積，再計(jì)算它們的乘積。若級數(shù)與均收斂，又也收斂，其中，則。若級數(shù)與都收斂，且至少其中之一絕對收斂，則收斂于。
例如：求級數(shù)的和函數(shù)，這里。
解：。
利用歐拉公式
歐拉公式，常可使用某些含有三角函數(shù)的級數(shù)求和問題，轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)問題。
例如：求級數(shù)
解：考慮等式，又。比較兩邊虛實(shí)部則有：
推廣
拓?fù)渑c級數(shù)
在賦范空間中，級數(shù)的無條件柯西性質(zhì)等及對應(yīng)的收斂性有如下定義：
稱是無條件柯西（相應(yīng)地，無條件收斂）級數(shù)，若（相應(yīng)地，滿足），，使得且時(shí)，有（相應(yīng)地，當(dāng)時(shí)，）。
稱是子列奧古斯丁-路易·柯西（相應(yīng)地，子列收斂）級數(shù)，若對中任意遞增數(shù)列，級數(shù)滿足柯西條件（相應(yīng)地，在中收斂）。
稱是有界乘子柯西（相應(yīng)地，有界乘子收斂）級數(shù)，若對中任意有界序列，滿足柯西條件（相應(yīng)地，在中收斂）。
稱是重排奧古斯丁-路易·柯西（相應(yīng)地，重排收斂）級數(shù)，若對的任意重排，滿足柯西條件（相應(yīng)地，在中收斂）。
稱是符號奧古斯丁-路易·柯西（相應(yīng)地，符號收斂）級數(shù)，若對任意只取值于的序列，滿足柯西條件（相應(yīng)地，在中收斂）。
若是賦范空間，定義1中的5種收斂性質(zhì)有如下關(guān)系：有界乘子收斂符號收斂子列收斂無條件收斂重排收斂。
若是Banach空間，定義1中的5種收斂性質(zhì)等價(jià)。
數(shù)論與級數(shù)
模形式和傅里葉級數(shù)以及由相同的系數(shù)（除了）外構(gòu)成的狄利克雷級數(shù)之間有所聯(lián)系。如果，那么當(dāng)是一個(gè)尖點(diǎn)形式時(shí)，有，而當(dāng)不是尖點(diǎn)形式時(shí)，。因此，如果是一個(gè)尖點(diǎn)形式，那么當(dāng)時(shí)，狄利克雷級數(shù)絕對收斂，而如果不是尖點(diǎn)形式，那么當(dāng)時(shí)，狄利克雷級數(shù)絕對收斂。
當(dāng)系數(shù)滿足積性時(shí)并且狄利克雷級數(shù)是絕對收斂時(shí)，它將具有形如的歐拉乘積表達(dá)式。
應(yīng)用
物理學(xué)
在物理學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，無窮級數(shù)被廣泛應(yīng)用于各種分析和現(xiàn)象的描述中。例如，對于質(zhì)點(diǎn)位置的變化分析，通過將位置、速度、加速度等物理量與時(shí)間的關(guān)系展開成無窮級數(shù)（或泰勒級數(shù)），可以實(shí)現(xiàn)對質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)間點(diǎn)位置的精確預(yù)測。此方法對于加速度非恒定情況尤其適用，即考慮到加速度的變化率（即加速度對時(shí)間的高階偏導(dǎo)數(shù)），能夠提供關(guān)于質(zhì)點(diǎn)位置更為精確的估算。在磁力分析方面，在考慮電流密度及應(yīng)用特殊相對論理論的情況下，當(dāng)電子在導(dǎo)體內(nèi)移動時(shí)，其速度與光速的比值遠(yuǎn)小于1，允許利用泰勒級數(shù)展開對負(fù)電流密度進(jìn)行近似計(jì)算，從而分析導(dǎo)體內(nèi)總電流密度的變化情況。
生物學(xué)
在生物領(lǐng)域中，級數(shù)的應(yīng)用顯著體現(xiàn)在對新冠肺炎疫情擴(kuò)散速度的預(yù)測以及生物節(jié)律分析上。2020年3月，美國新冠肺炎疫情期間，通過分析20天的確診病例數(shù)據(jù)，研究人員發(fā)現(xiàn)確診人數(shù)的增長趨勢符合幾何級數(shù)的“J”型曲線，估算出病例每日增長倍數(shù)約為1.33。通過更精確的SEIR傳染病模型對疫情發(fā)展進(jìn)行預(yù)測，有助于科學(xué)制定防控策略。另一方面，通過對人體生物節(jié)律的研究，即體力、情緒和智力的周期性變化，使用冪級數(shù)和麥克勞林級數(shù)作為估算工具，可以預(yù)測個(gè)人在任何一天的狀態(tài)，為個(gè)人安排工作和生活提供科學(xué)依據(jù)。
經(jīng)濟(jì)學(xué)
在經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中，無窮級數(shù)被用來處理涉及財(cái)務(wù)、投資回報(bào)、成本評估和預(yù)測等多種經(jīng)濟(jì)模型和計(jì)算。例如，無窮級數(shù)在獎勵(lì)基金創(chuàng)立問題中用于計(jì)算初始資金需求，通過不同的利息計(jì)算方式（年復(fù)利與連續(xù)復(fù)利）得到不同的籌資金額。同樣，合同訂立問題、增添機(jī)器設(shè)備的決策、房子出售方案的比較，以及銀行存款問題等，都可以通過無窮級數(shù)的應(yīng)用，提供了精確的財(cái)務(wù)分析和解決方案。
參考資料 >