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拓撲學(英文名Topology)是研究幾何圖形在一對一的雙方連續變換下保持不變性質的一門數學分支。研究幾何形狀在連續形變下的不變性，即“拓撲不變性”和“拓撲等價性”等內容。在拓撲學里所研究的圖形，大小、形狀都可以改變，但是表面的點、線的結合關系、順序關系應該保持不變。

有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了一些孤立問題，例如，哥尼斯堡七橋問題。1736年，萊昂哈德·歐拉發表了關于哥尼斯堡七橋問題的論文，這篇文章被認為是屬于拓撲學的第一篇論文。歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。1847年，利斯廷提出Topology這一數學名詞，即拓撲學。用這個詞來表示一個新的研究方向——“位置的幾何”。"拓撲"(Topology)一詞源于希臘語，表示地點(topos)和研究(-logy)。拓撲學屬于幾何學的范疇，形成于十九世紀。1858年，莫比烏斯和利斯廷各自獨立發現了單側曲面，莫比烏斯帶。1895年亨利·龐加萊發表了《位置分析》等一系列拓撲學方面的文章，并提出著名的“龐加萊猜想”。到19世紀末，拓撲學已出現了點集拓撲學與組合拓撲學兩個方向。1935年以后，拓撲學得到了大發展。到20世紀50年代，微分拓撲學有了新進展，產生了K理論。2006年，數學界確認龐加萊猜想被格里戈里·佩雷爾曼證明。

拓撲學是現代數學的一個重要分支。拓撲學的許多抽象概念都可以用橡皮泥來形象化、具體化。因此，拓撲學常常被稱為“橡皮幾何學”。按照傳統的分類,拓撲學大致可以分為四個分支: 點集拓撲、代數拓撲、組合拓撲、微分拓撲。拓撲學愈來愈滲入到物理學、化學和生物學領域中，有非常突出的重要應用。

學科簡介

概述

拓撲學(Topology)是研究幾何圖形在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的一門數學分支。這種性質被稱為拓撲性質。拓撲學最初屬于幾何學，叫作“位置分析”或“形勢分析”。1847年德國數學家利斯廷改稱為“拓撲學”，暗指和地形、地勢相類似的學科。經過發展，拓撲學成為研究連續性現象的數學分支，常指與拓撲有關的研究領域。

通常的幾何學是研究平面或幾何體上點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質；拓撲學對研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和位置關系都不關心，而是研究幾何形狀在連續形變下的不變性，即“拓撲不變性”和“拓撲等價性”等內容。在通常的平面幾何和立體幾何中，兩個圖形等價，是要求兩個圖形通過平移、旋轉等操作能夠完全重合；在拓撲學里所研究的圖形，大小、形狀都可以改變，但是表面的點、線的結合關系、順序關系應該保持不變。

拓撲學研究幾何圖形的連續性質，即在連續變形（拉伸、扭曲但不能割斷和粘合）下保持不變的性質，包括拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變量。

在拓撲學中，物體的幾何性質不僅可用尋常的“形狀”或是“大小”來區分，也可用“洞”的數量來衡量，這是物體的拓撲性質。

拓撲學的基本問題是對拓撲空間進行分類，就是研究不同的圖形的拓撲性質怎樣來刻畫以及拓撲分類問題。

拓撲性質

所謂拓撲性質就是幾何圖形在彎曲，變形，拉大，縮小下仍然保留的性質。直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。

拓撲不變量

圖形的拓撲性質就是所有拓撲等價圖形都具有的性質。拓撲不變量則是將拓撲性質用數值或代數式來表達的一個物理量。

19世紀中葉已經知道定向閉曲面部分別和球面、環面（汽車胎內）、兩孔環面、…g孔環面等等之一同胚，而它們兩兩之間顯然不同胚。也就是球面怎樣變形，只要不扯破或粘起來，總也變不成環面。反過來也是一樣。其中g＝0，1，2，…的不同反映曲面拓撲性質的不同，稱為拓撲不變量。

對于復雜的圖形，拓撲學的任務就是去尋找更精致、更普遍的拓撲不變量。

拓撲不變性

圖形在拓撲形變前后仍然保持的性質在拓撲學中被稱作拓撲不變性，而形變前后的圖形則被稱作拓撲等價。兩個圖形若能從一個拓撲形變換成另一個，則他們也同樣被稱作拓撲等價的兩個圖形。

發展歷史

萌芽階段

1679年，戈特弗里德·萊布尼茨發表了《幾何特性》，論文試圖闡述幾何圖形的基本幾何性質，他把他的研究叫做“位置的幾何學”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）。1736年，萊昂哈德·歐拉研究了哥尼斯堡七橋問題，并寫了論文，用點代表陸地，用線段代表橋，將問題一般化成為一筆畫一個連通的圖(graph)的問題，并給出了完全的解答。對哥尼斯堡橋問題答案是否定的．這篇文章是能找到的真正屬于拓撲學的第一篇論文。法國數學家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德，奧古斯丁-路易·柯西先后討論了論文的證明。

發展階段

歐拉在1750年發表了多面體的歐拉定理，并用以對多面體分類。1751年他給了一個證明，但證明中有漏洞。1794年法國數學家勒讓德給了一個很巧妙的證明。1811年法國數學家柯西給了另一個證明。柯西在這篇文章中還推廣了歐拉定理。

1847年，利斯廷提出Topology這一數學名詞，即拓撲學。他還說，“拓撲學的定義是場所的關系的定性的規律之研究”。利斯廷在1847年出版了《拓撲學的初步研究》1862年發表了另一著作《空間復形的概述》，進行了拓撲學的研究。

1851年，德國數學家伯恩哈德·黎曼在復變函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強調為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學；從此開始了現代拓撲學的系統研究。

利斯廷和莫比烏斯在1858年各自獨立地發現了單側曲面，其中最聞名的是莫比烏斯帶。

莫比烏斯在1863年出版了《初等關系的理論》他是對拓撲學研究的本性給出恰當提法的第一人。后來，英國人w．K．Clifford于1877年用有洞的球面來表示Riemann曲面。德國人F．Klein于1882年提出用安了若干個環柄的球面來作為Riemann曲面的模型。這樣，實際上就完成了可定向閉曲面的拓撲分類。

菲利克斯·克萊因在1882年還引進了不可定向的閉曲面克萊因瓶，開始了不可定向閉曲面拓撲分類的研究，W．Dyck于1888年完成組合的曲面分類。

1895～1904年間，亨利·龐加萊發表《位置分析》等一系列拓撲學方面的文章，創立了用剖分研究流形的基本方法，并提出著名的“龐加萊猜想”。

1910-1912年荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾提出用單純映射逼近連續映射的方法，證明了不同維的歐氏空間不同胚，引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，并開創不動點理論，使組合拓撲學達到概念精確、論證嚴密的標準。

1922年美國數學家G.D.伯克霍夫和凱洛格共同將不動點定理推廣到無窮維函數空間。1925年德國數學家A.E.艾米·諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下，霍普夫于1928年定義了同調群，從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。

繁榮階段

1935年以后，拓撲學得到了大發展。1935年霍普夫與ⅡC.亞歷山大羅夫合著《拓撲學》，該書是拓撲學的經典著作，流傳很廣。1945年美國數字家艾倫伯格與斯延羅德開始以公理化的方式總結當時的同調論。1952年他們合著的《代數拓撲基礎》，對代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起了推動作用。1950年前后，法國數學家塞爾和勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起譜序列這個代數工具，在同倫群的計算上取得突破，為其后拓撲學的發展開辟了道路。塞爾也是第一位因拓撲學方面的成就而榮獲菲爾茲獎的數學家。

除一般拓撲學和代數拓撲學蓬勃發展外，20世紀50年代初法國數學家托姆對高維流形的分類理論進行深入研究。1953年創立配邊理論(亦稱之為協邊理論)，從而使微分拓撲學獲得長足進展。1956年美國數學家米爾諾發現7維球面上除了通常的導數結構外，還有不同的微分結構。20世紀50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下產生了K理論，解決了關于流形的一系列拓撲問題，出現了好幾種廣義同調論，成為代數拓撲學研究的新的工具。1956年美國數學家Milnor John Willard證明了在7維球面上存在多種微分結構而引起轟動，由此開創微分拓撲學新紀元。1989年Milnor John Willard因為在拓撲學特別是微分拓撲學方面的貢獻而獲得 Wolf獎。

2003年左右，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼證明了高維龐加萊猜想。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

基本概念

拓撲空間

設是非空集合，是的子集族。如果滿足下列條件:

(1)與空集屬于

(2)的任意兩個元素的交屬于，的任意多個元素的并屬于，則稱為的拓撲。

集合與它的拓撲構成的有序對稱為拓撲空間:稱為拓撲空間的基集，的元素稱為拓撲空間的開集，的點、子集和拓撲分別稱為拓撲空間的點、子集和拓撲。也簡稱為拓撲空間。

連續映射

設，是拓撲空間，為映射，

(1)如果的每一鄰城的原象都是的鄰域，則稱在點連續.

(2)如果的每一開集的原象都是的開集，則稱為連續映射。

拓撲同胚

設是拓撲空間，若是雙射，且與都連續，則稱為同胚映射。

設是拓撲空間，如果存在是同胚映射，則稱與同胚。

同胚是拓撲學中最重要的概念之一。拓撲空間之間的同胚關系實質上是等價關系。拓撲空間按同胚關系分類，而屬于同一類等價類的拓撲空間可看作是相同的。

拓撲性質更精確地表述為：如果一個拓撲空間有某一性質P，而每一個與它同胚的拓撲空間也具有同樣的性質P，那么性質P就是一個拓撲性質，而拓撲學就是研究拓撲空間的拓撲性質的一門數學。

假設一個可以任意變換形態的物體A，不管怎么對這個物體進行拉長、扭曲，從而得到另一個形狀的物體B。只要變換過程中不存在撕開、或者拉斷，或者說形變過程是連續的。就可以將A和B叫做拓撲同胚。

連通空間

設是拓撲空間，若存在非空的開集，使得，則稱是不連通空間，否則稱為連通空間。

同倫

設是兩個映射，如果存在連續映射，使得

就說同倫于。映射稱為從到的一個同倫。

空間同倫

若有映射與，使得，則映射稱為從到的同倫等價，稱為的同倫逆，并且也說與是同倫等價的，或說與具有相同的同倫型。在同倫等價映射下保持不變的空間內在性質稱為同倫型不變性質，如果它是數或代數結構，我們也把它稱為同倫型不變量。

同倫論主要研究空間以及它們之間的映射的同倫分類。

學科分支

點集拓撲

點集拓撲有時也被稱為一般拓撲學，來自于實數集和連續函數的性質 (比如介值定理等).。它研究拓撲空間以及定義在其上的數學結構的基本性質。它把幾何圖形看成是點的集合，同時把整個集合看成是一個空間。數學家們從“鄰域”這個概念出發，引進連續、連通、維數等一系列概念，再加上緊致性、可分性和連通性等性質，建立了這門學科。

代數拓撲

代數拓撲是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。

代數拓撲包含了同調論和同倫論，其中同調論來源于萊昂哈德·歐拉凸多面體定理，同倫論則來源于亨利·龐加萊關于基本群的研究。

代數拓撲的奠基人是法國數學家龐加萊，他將幾何圖形剖分成有限個相互連接的小圖形。他定義了所謂的高維流形、同胚和同調，后來的數學家又發展了同調論和同倫論，并把拓撲問題轉化為抽象代數問題。這個領域最早的一個著名定理是由勒內·笛卡爾（1635）提出后又被歐拉（1752）發現的，即任何沒有洞的多面體的頂點數加上面數再減去棱數等于2。還有一個所謂的龐加萊猜想（1904），即任意一個三維的單連通閉流形必與三維球面同胚。這個猜想曾被懸賞一百萬美元以求得證明。

代數拓撲學的基本思想可以概括為: 把拓撲問題轉化為代數問題，通過計算來進行求解。

同調論與同倫論提供了從拓撲到代數的過渡，它們是代數拓撲學的兩大支柱。在拓撲學研究中，發展了許多不變量可以用來區別空間的“不同”，其中同調群是最重要的不變量之一。同調論研究得出的不變量是拓撲學中最易于計算和最常用的不變量，它對多個數學分支有著直接或間接的影響。同調論與同倫論有著密切的聯系。同倫論的發展使得人們從理論上清楚的認識到同調論本質上是同倫論的一部分。

微分拓撲

微分拓撲是研究微分流形和可微映射的一個數學分支。微分流形除了是拓撲流形外，還有一個微分結構。微分拓撲則研究局部微分性質和整體拓撲之間的關系，比如著名的高斯-博納特公式。在幾何拓撲的基礎上，通過幾何的微分形式研究體系的整體性質就是微分拓撲，其包含兩個核心概念：底流形和纖維叢。微分拓撲已在物理研究中發揮重要的作用。

組合拓撲

組合拓撲學的奠基人是法國數學家龐加菜。組合拓撲實際上可以看成代數拓撲的一部分，來源于組合同調論。組合拓撲把幾何圖形看作是由較小的部分組成的，研究這些部分的性質，后來發展成為代數拓撲學。在歷史上，組合拓撲學的研究要先于點集拓撲學。

著名問題

哥尼斯堡七橋問題

十八世紀，哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這里散步。一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。

1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。

掌心和指紋的紋理樣式

所有的指紋都具有共同的特點，如環點和三叉點（三條線融合）。在1965年，英國醫學遺傳學家Lionel·Penrose指出掌紋和指紋服從一個普遍的規律：任何有5只手指的手，三叉點一定比環點多4個。1979年他的兒子Roger使用拓撲學證明了這一規律。

兩種最基本的奇點類型是三叉點和環點，指紋上所有其他的奇點可由這兩種構造出來。

龐加萊猜想

1904年，法國數學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想：“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。”簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。

后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

它是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題。其中三維的情形被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼于2003年左右證明。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

四色猜想

在一個平面或球面上的任何地圖能夠只用四種顏色來著色，使得沒有兩個相鄰的國家有相同的顏色。每個國家必須由一個單連通域構成，而兩個國家相鄰是指它們有一段公共的邊界，而不僅僅只有一個公共點。

這一問題最早于1852年由Francis Guthrie提出，最早的文字記載則現于德摩根于同一年寫給哈密頓的信上。包括凱萊、肯普等在內的許多人都曾給出過錯誤的證明。泰特(Tait)、希伍德(Heawood)、諾曼·拉姆齊和哈德維格(Hadwiger)對此問題的研究與推廣引發了對嵌入具有不同虧格的曲面的圖的圖著色問題的研究。一百多年后，四色問題仍未解決。

1969年，Heinrich Heesch發表了一個用計算機解決此問題的方法。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，做了100億種判斷，終于完成了四色定理的證明。四色定理是第一個主要由電腦證明的理論，這一證明并不被所有的數學家接受，因為采用的方法不能由人工直接驗證。

20世紀80-90年代曾邦哲的綜合系統論（結構論）觀將“四色猜想”命題轉換等價為“互鄰面最大的多面體是四面體”。每個地圖可以導出一個圖，其中國家都是點，當相應的兩個國家相鄰時這兩個點用一條線來連接。所以四色猜想是圖論中的一個問題。它對圖的著色理論、平面圖理論、代數拓撲圖論等分支的發展起到推動作用。

著名模型

數學家介紹

應用領域

物理學

拓撲學在理論物理，尤其是量子力學，量子域和弦理論，宇宙學等研究領域都有應用。

理論物理學研究支配原子世界的基本力，拓撲學這門學科很適合研究描述原子內部四處涌現的各類量子粒子的場的各種可能的形狀和結構。規范理論和現代幾何學不僅彼此相容，還可以互相促進。規范理論方面的研究得出了深刻的幾何學新洞見，而幾何學領域的一些最新發現也提供了研究規范理論的新視角。

拓撲的概念被擴展到光學、聲學、超材料和冷原子體系等領域，極大地促進了拓撲物理學的發展。2016年10月，科學家利用拓撲學等先進數學方法研究超導體、超流體及磁膜等特殊物質形態的相關成果獲得諾貝爾物理學獎。

化學

化學中最重要的形狀問題是分子的三維形狀，即分子的三維空間結構，分子的物理化學性質、反應性、反應機理、生化活性和藥物作用等都與分子的三維結構高度相關。所以化學的幾乎所有分支都需要嚴格的、客觀的分子結構分析方法，分子結構及其變化的研究是理解化學性質和化學反應的基礎.拓撲學是分子形狀分析和基本信息提取的有效工具，更利于描述量子力學對象。分子拓撲分析最重要的任務之一是對三維拓撲結構進行精確分析和簡明描述，而代數拓撲中的同調群和 Betti 數，為分子結構提供了精確的描述，為分子結構相似性和結構互補性提供了直接、客觀的數值度量，為分子結構的分類提供了計算手段。

統計學

拓撲在統計領域中非常有用。統計學中一個新興的研究領域是拓撲數據分析。有用的數據通常具有某種結構，這些結構具有某種規律或趨勢，而數據分析本質上是揭示此結構的過程。從拓撲結構中，我們知道看起來完全不同的事物實際上可以具有相同的結構。在拓撲數據分析中，數據的結構將會進行拓撲處理，尋找在經過各種處理方式之后保持不變的屬性。通過這種方式，我們可以確定數據的真實結構，并且不再依賴數據的觀察方式。

經濟學

在一個經濟系統中，在適當的假定下，可求得一個平衡狀態，使消費者得到最大的效用，生產者得到最大的利潤。這種 “ 平衡解 ”存在的嚴格數學證明，恰恰基于拓撲學的結果。在一般均衡理論方面，拓撲分析在經濟理論的構建方面起到了關鍵的作用。理論經濟學論證了在理想條件下，市場經濟是人類最好的制度選擇，這是一般經濟均衡理論在20世紀50和60年代的重大成果。Arrow-Debreu模型運用拓撲學不動點定理論證經濟將達到均衡。拓撲學本質上整體的討論方式適應了經濟學領域的要求，為經濟學研究提供了其數學描述的一種方法。

應用數學

代數拓撲理論與微分幾何、復分析、偏微分方程，計算機等學科相結合，產生了跨領域的新學科——“計算共形幾何”。該理論被應用于計算機科學中的諸多領域，包括計算機圖形學，計算機視覺，幾何建模，醫學圖像和計算幾何等。這些應用絕大多數基于平面區域之間的共形變換。隨著三維掃描技術的發展，計算能力的提升，以及數學理論的進一步發展，人們已經把計算共形幾何理論和算法從平面區域推廣到了具有任意拓撲的度量曲面。

參考資料 >

科學傳播_中國科學院金屬研究所.中國科學院金屬研究所.2024-01-18

數學分支簡介 | 第二期:拓撲.微信公眾平臺.2024-02-13

拓撲為何?.微信公眾平臺.2024-02-13

拓撲到底是什么.今日頭條.2024-02-13

“拓撲”與磁性的結合.今日頭條.2024-02-13

什么是拓撲學？.學習強國.2024-02-20

“學習強國”學習平臺.學習強國.2024-02-19

拓撲學講義.華東師范大學數學科學學院.2024-02-13

走向抽象化的數學.今日頭條.2024-02-14

著名數學家吳文俊:探秘數海樂無涯-科教臺-中國網絡電視臺.央視網.2024-02-14

拓撲學的定義和物體的拓撲性質.news.changsha.2024-01-28