單連通（simply connected）是拓?fù)鋵W(xué)的概念，指的是一個拓?fù)淇臻g中所有閉曲線都能連續(xù)地收縮至一點(diǎn)。這種性質(zhì)可以通過空間的基本群來刻畫，即當(dāng)一個道路連通的拓?fù)淇臻g的基本群是平凡群（只有單位元素）時，該空間是單連通的。
簡介
設(shè)X是拓?fù)淇臻g，如果X中任何一個點(diǎn)的回路都可以連續(xù)地收縮成這個點(diǎn)，那么就稱X為單連通的。
平面、球面都是單連通的，但是環(huán)面不是單連通。 打個比方，救生圈就是環(huán)面，你在救生圈的環(huán)壁上繞一圈橡皮筋，打個結(jié)。 這個結(jié)就是一個點(diǎn)，橡皮筋張成的圈就是回路，無論如何橡皮筋不會收縮到一個點(diǎn)，因?yàn)樗画h(huán)壁撐住了。
性質(zhì)
- 一個表面（二維拓?fù)淞餍危┦菃芜B通的當(dāng)且僅當(dāng)它是連通的且虧格為0。
- 任何空間X的通用覆蓋都是單連通的，它通過覆疊映射映射到X。
- 若X和Y是同倫等價的，且X是單連通的，那么Y也是單連通的。
- 單連通集合的圖像經(jīng)連續(xù)函數(shù)變換后不一定是單連通的，例如復(fù)數(shù)平面經(jīng)指數(shù)映射后得到的C\{0}就不是單連通的。
- 在單連通流形上，一次微分形式ω正合的充要條件是dω=0。
應(yīng)用
單連通性在復(fù)分析中非常重要。柯西積分定理和黎曼映射定理都依賴于單連通性。柯西積分定理保證了在單連通開集上的全純函數(shù)有不定積分，而黎曼映射定理則保證了除了復(fù)數(shù)域C自身外，任何非空的單連通的復(fù)數(shù)域C的開子集都共形等價于單位圓盤。單連通性也是龐加萊猜想的一個重要條件。
參考資料 >