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A.-L. 奧古斯丁-路易·柯西研究復變函數的積分所得到的基本定理。應用這一定理可導出解析函數的一系列重要性質。例如，可證明如果一復變函數在一區域內是解析的(即有導數)，則其導數必連續且任意階導數必存在；還可計算一些定積分或反常積分，等等。
簡介
復積分定義 設函數?(z)=u+iv在可求長曲線Г上是連續的，其中u和v分別是?(z)的實部和虛部。在Г上依次取分點。Г上從到zk的小段記為Гk,在Гk上任取一點,作和數。如果當（sk是Гk的弧長）趨于零時,s趨于一極限值，則稱這個極限值為?(z)沿曲線Г的積分，記為，考慮到，亦有。
柯西積分定理 設?(z)在有限單連通區域（即“無洞”且不含無窮遠點的區域）D內解析,Г是D內任一條可求長、簡單（即本身不相交）、閉(即兩端點重合)曲線，則。
柯西定理有一逆定理，即莫雷拉定理，這一定理與柯西積分定理相結合，可敘述為：設在有限單連通區域D內連續，則?(z)在D內解析的充分必要條件是：對D內任一條可求長簡單閉曲線（或任一三角形）Г，。
柯西積分公式 由柯西積分定理可導出柯西積分公式，這一公式把解析函數用曲線積分表示出來。特別，它用解析函數在一閉曲線上的值，表示出它在曲線內側的值。柯西積分公式可表述如下：設?(z)在有限單連通區域D內解析，Г是D內任一條可求長簡單閉曲線，則對Г所圍區域內任一點z， （式中積分是在Г上沿反時針方向取的）。
推論
該定理的一個直接推論，是在單連通域內解析函數的路徑積分可以用類似于微積分基本定理的方法來計算：設D是復平面的一個開子集。f是一個D上的解析函數。函數f在D內的路徑積分，只與積分的起點和終點有關，與中間經歷的路徑無關。柯西積分定理與柯西積分公式是等價的。從柯西積分定理可以推導出柯西積分公式和留數定理。
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