在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用來計算解析函數(shù)沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實(shí)函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。
定律定義
假設(shè)是復(fù)平面上的一個單連通開子集， ，是復(fù)平面上有限個點(diǎn)，是定義在 的全純函數(shù)。如果是一條把 包圍起來的可求長曲線,但不經(jīng)過任何一個，并且其起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，那么：
如果是若爾當(dāng)曲線，那么, 因此：
在這里，表示在點(diǎn)的留數(shù)，表示關(guān)于點(diǎn)的卷繞數(shù)。卷繞數(shù)是一個整數(shù)，它描述了曲線繞過點(diǎn)的次數(shù)。如果依逆時針方向繞著移動，卷繞數(shù)就是一個正數(shù)，如果根本不繞過，卷繞數(shù)就是零。
推導(dǎo)過程
以下的積分
在計算柯西分布的特征函數(shù)時會出現(xiàn)，用初等的微積分是不可能把它計算出來的。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限，積分路徑為沿著實(shí)直線從?a到a，然后再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從a到?a。取a為大于1，使得虛數(shù)單位i包圍在曲線里面。路徑積分為：
由于是一個整函數(shù)（沒有任何奇點(diǎn)），這個函數(shù)僅當(dāng)分母為零時才具有奇點(diǎn)。由于，因此這個函數(shù)在或時具有奇點(diǎn)。這兩個點(diǎn)只有一個在路徑所包圍的區(qū)域中。
由于是
在的留數(shù)是：
根據(jù)留數(shù)定理，我們有：
路徑C可以分為一個“直”的部分和一個曲線弧，使得：
因此
如果，那么當(dāng)半圓的半徑趨于無窮大時，沿半圓路徑的積分趨于零：
因此，如果，那么：
類似地，如果曲線是繞過?i而不是i，那么可以證明如果t< 0，則
因此我們有：
（如果，這個積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為。）
相關(guān)術(shù)語
參考資料 >
留數(shù)定理.科普中國.2024-05-24